概念，非一“概”而“念”

张鸽

[摘  要] 数学概念是数学理论的基石，也是数学方法的依据，是有效数学学习的支柱. 在中考一轮复习的过程中，如何夯实这一基础，如何达成知识与技能的同步提升成为一线教师重点研究的一项课题.

[关键词] 概念;初中数学;一轮复习

初三一轮复习以温故基础、提高能力为主要目标，概念教学在复习中起着重要的作用. 但在教学实践中不难发现，学生对数学概念往往比较轻视，认为概念的复习显得有些“多余”. 传统的复习课对概念大都以“念”的方式进行灌输式教学，这种方式虽有一定的效果，但成效并不显著. 如何提高一轮复习中概念教学的成效是一线教师持续热议的话题. 笔者通过实践与研究，在自身的教学观察及经验积累中总结了一些概念复习的方法，并在自己及所教授的班级中进行了实践与改进，下面結合教学实际案例来谈谈笔者在概念复习上的几点尝试.

问题引导式：直击考点，促进

理解

问题是组成数学的基本属性之一，解决问题是数学学习的主要目标之一，以问题贯穿教学是数学教学常用的方法之一. 以问题引导的方式进行概念复习，能够有效地避免学生对概念产生“乏味”的感觉，同时可以让学生清楚每一个概念的运用方式，促进学生对概念的理解，从而明晰每一个考点.

下面是一轮复习“方程与不等式”的教学片段.

快速完成下列问题，并思考每个问题所对应的考点.

（完成方式：学生独立完成，组内纠错，学生代表展示成果）

1. 解方程（组）：

（1）x2-2x-6=0;

（2）x2-7x+10=0;

（3）3x+2y=5，2x-3y=-14;

（4） +1= .

2. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来：2x+3>3（x+1）， ≤ .

3. 已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2-2k+3=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数k的取值范围.

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在实数k，使得x1-x2= ？若存在，试求出k的值;若不存在，请说明理由.

4. 为了筹办毕业晚会，八年级（九）班准备去商店购买20个气球做游戏道具，并买一些杯子作为游戏奖品. 已知每个气球的价格是1.5元，每个杯子的价格是25元. 如果预算金额是260元，那么他们最多能买多少个杯子？

5. 某化工企业预计每月将产生1960 t废渣，为响应环保号召，该企业计划购置废渣转化处理器进行环保处理. 经过调查可知，现市面上有如下两种型号的处理器：

已知某商家售出3台A型、1台B型废渣转化处理器的总价为38万元，售出2台A型、3台B型废渣转化处理器的总价为44万元.

（1）求每台A型、B型废渣转化处理器的价格;

（2）为确保将每月产生的废渣全部处理完，该企业如何购买上述废渣转化处理器才可以使所花的价格最少？

成果展示：

生1：上述问题对应的考点分别是（第1题）一元二次方程、二元一次方程组及分式方程的解法;（第2题）不等式组的解法;（第3题）一元二次方程根的判别式及求根公式;（第4题）不等式的实际运用;（第5题）二元一次方程组及不等式的综合运用.

师：你分析得真透彻. 在此基础上，我们是否可以分别对每一个考点进行更具体的处理，即理一下每个考点后面所隐藏的基本概念？

生2：从第1题中还可以归纳出一元二次方程、二元一次方程组及分式方程的定义以及解这些方程的注意点（定义及注意点内容此处不再赘述）.

生3：根据第2题的解法我们可以归纳一下不等式（组）的解法及注意点.

生4：由第3题我们还可以引申出根与系数的关系x +x =- ，x x = ，及常见变形式，如x +x =（x +x ）2-2x x ， + = 等.

生5：由第4题我们可以归纳出用不等式解决实际问题的基本步骤：审（题）→设（未知数）→找（不等关系）→列（不等式）→解（不等式）→答.

生6：由第5题同样可以归纳出用方程（组）解决实际问题的基本步骤：审（题）→设（未知数）→找（等量关系）→列（方程（组））→解（方程（组））→答.

初三复习课与新授课相比，相对“朴实”，课堂教学没有过多的丰富形式，而问题却能很好地激发学生的参与热情，因此，提问这种方法可以在概念复习中广泛使用. 以问题引导的形式进行概念教学对于学生来说有着双重意义，其一在于达到概念复习与概念运用的目的，其二在于引导学生养成自主归纳、自觉思考的习惯.

思维导图式：揭示内涵，注重

联系

概念的再回顾是让已经学过的知识更加稳固，并且能够透过文字表面看到概念的内涵，明晰知识与知识之间的联系. 在这个过程中，教师的引导方式起着决定性的作用. 如何让抽象的知识变得形象具体，从而让学生相对直观地感悟到知识之间的联系？这个问题早有学者及专家进行过探索. 思维导图的提出及推广为这个问题找到了理想的答案. 笔者也在以思维导图进行概念教学的过程中体会到了成效.

如笔者进行“平行四边形”的概念复习时，与学生共同梳理、绘制了如图1所示的思维导图.

在几何教学中，思维导图可以将图形与文字相结合，使概念变得更加形象、直观. 思维导图可以直接给学生展示各概念之间的联系及关系，将零碎的知识串联成一张知识网，让知识间的内涵在知识网中更加直接地体现，这有利于学生更深刻地掌握数学概念，提高数学能力.

查漏补缺式：扩充储备，形成

体系

查漏补缺式概念教学就是让学生以自己的掌握程度为认知基础，通过复习来进行查漏补缺，以达到扩充知识储备、促进概念形成完整体系的效果.

以复习课“二次函数”为例进行查漏补缺式概念复习的教学片段如下.

师：这节课我们进行二次函数的复习，你能回忆出二次函数的哪些基本概念呢？

生1：二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0），定义的要点是①a≠0，②最高次数为2，③代数式一定是整式.

师：对于这个定义，在平时遇到的问题中你是怎样运用的呢？

（生1迟疑……）

生2（补充回答）：问题中出现“二次函数”“抛物线”等字样时，首先要考虑二次项系数不为零.

师：没错！二次函数的定义中最重要的就是“二次项系數不为零”这一要点. 我们要将此作为考虑二次函数问题的首要因素.

生3：二次函数的图像是抛物线，从图像上我们可以看出它的一系列性质：开口方向、对称轴、增减性、最值.

师：你回答得很完整. 那么请你再告诉大家，对于y=ax2+bx+c（a≠0），如何由它的函数图像来确定系数a，b，c的符号呢？

生3：a的正负由抛物线的开口方向决定，b与a的符号相对于对称轴有着“左同右异”的规律，c的符号由图像与y轴交点的位置来决定.

生4：二次函数中还有一个重要的概念，那就是它的解析式有三种不同的形式：顶点式、一般式、交点式.

师：很棒！那我们应该如何根据题中所给的条件来求二次函数的解析式呢？

生4：如果题中提供了顶点、对称轴等条件，就用顶点式来求;如果题中给出了三个普通的点，就用一般式来求;如果题中有图像与x轴的交点，就用交点式来求.

师：你归纳得真好，完整呈现了待定系数法求二次函数解析式的所有类型.

生5：二次函数的概念中还涉及二次函数与一元二次方程的关系. 二次函数图像与x轴交点的横坐标就是其相对应的一元二次方程的根，可以利用这个概念来确定一元二次方程的近似解.

生6：我觉得还需要补充二次函数与不等式的关系，根据函数图像还可以确定相应不等式的解集.

……

从上述教学片段中不难看出，学生才是学习的主角，他们掌握了概念复习的主动权，教师只做了适当的引导与补充. 学生与学生之间的相互查漏补缺，使得概念复习不再是机械的知识传送，而是学生的主动汲取，课堂气氛活跃的同时也提高了概念复习的效率.

自我审查式：自主评价，深化

提高

自我审查式复习是以“生本课堂”作为指导思想的一种复习方式，是让学生根据自己的实际情况进行个性化评价，以正确认识自己为前提进行“对症下药”，从而让每个学生都能在自己的知识掌握基础上得到提高，获得复习的价值.

如在复习课“圆的有关概念”中，概念复习是该课的主要教学内容，笔者将所涉及的概念以简单提纲的形式呈现在学程单中，让学生以填空的形式来审查自身对概念的掌握情况.

1. 圆的定义1：_______________;

圆的定义2：_______________.

2. 弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧：_______________.

3. 圆的对称性：_______________.

4. 垂径定理：_______________;

垂径定理的推论：_____________.

5. 圆心角、弧、弦之间的关系定理：____________.

6. 圆周角定理：____________;

圆周角定理的推论：___________

________________________________.

7. 圆内接四边形的性质：_______

________________________________.

（完成方式：学生课前完成，课上组内交流，相互补充）

？摇？摇自我审查式概念复习，实质上是一种开放式的概念复习——教师基本不干预过程，完全放手让学生自己完成，怎么学、学多少完全由学生自己决定. 在这个过程中，生生互助起着重要的作用，学生与学生之间的平等交流更利于发现自己在知识上的欠缺，从而对自己形成正确的认识. 学生间的相互促进有利于对概念的深化理解与提高.

概念是数学的基石，概念的复习是数学复习的基础;概念是数学的理论，概念的复习也是提高学生数学素养的过程. 概念的复习并非只是为了考试，而是有着发展数学素养的长远意义. 教学有法而无定法，教师应积极反思、勤于实践，铢积寸累，避免一“概”而“念”，应让概念的复习变得多样化、生动化，从而提高复习效率，提升学生素养.