多维视角巧切入 解三角形妙破解

摘 要：解三角形问题主要借助平面几何图形，特别是三角形中的边与角之间的关系，通过正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等加以合理转化与应用，有时还综合三角函数中的相关公式加以综合与运算，从而达到破解相关的边、角、比值、面积、参数等相应的问题.此类问题有助于学生知识体系的进一步融会贯通，数学解题能力与数学应用能力的全面提升，真正达到拓展思维，提升能力，培养素养的目的.

关键词：解三角形;正弦定理;余弦定理;平面几何;变式;拓展

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0037-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：郭建能（1980.12-），女，江苏省启东人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

解三角形问题是每年高考中的基本考点之一，有时以选择题或填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现，一般难度维持在中等档次.解三角形问题主要借助平面几何图形，特别是三角形中的边与角之间的关系，通过正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等加以合理转化与应用，有时还综合三角函数中的相关公式加以综合与运算，从而达到破解相关的边、角、比值、面积、参数等相应的问题.解三角形往往与三角函数、平面向量等相关知识加以综合，一般运算量大、公式应用多.可以很好考查考生的运算求解能力，化归与转化思想等，关键要善于审题，合理转化，采用有效的策略，优化过程，提升效益.

一、真题在线

高考真题 （2019·北京卷文·15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B+C）的值.

二、真题解析

1.破解思维：解三角形思维

方法1 （官方标答——正、余弦定理法）

（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因為b=c+2，所以（c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinA=absinB=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

点评 解三角形问题，多为平面几何图形中边和角的求值与转化问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理以及三角形中的相关公式（三角形的面积公式、三角形内角和公式等），结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其破解问题的基本步骤是：第一步：“定条件”，即确定平面几何图形，特别是三角形中的已知和所求，在平面几何图形中标出来，然后确定转化的方向;第二步：“定工具”，即根据条件和所求，有效、合理选择转化的工具，实施边与角之间的相互转化与应用;第三步：“求结果”.

2.破解思维：平面几何思维

方法2 （平面几何法1）

图1

如图1所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D.

（1）设DB=m，由于cosB=-12，可得AB=c=2m，AD=3m.

而b-c=2，则有b=c+2=2m+2，

在Rt△ADC中，结合勾股定理有AD2+DC2=AC2，即（3m）2+（m+3）2=（2m+2）2，

解得m=52，所以c=2m =5，b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinA=absinB=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，

所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

方法3 （平面几何法2）

图2如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D.

（1）由于a=3，cosB=-12，可得BD=12a=32，CD=32a=332.

而b-c=2，则有b=c+2.

在Rt△ACD中，结合勾股定理有CD2+DA2=CA2，

即（332）2+（32+c）2=（c+2）2，

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）在Rt△ACD中，sinA=CDDA=3327=3314.

在△ABC中，B+C=π-A，所以sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=3314.

点评 解三角形问题本身就是在平面几何中进行的一般化探究与总结，因而解三角形问题往往也可以回归平面几何，借助平面几何的相关知识加以思维与破解.利用平面几何知识破解复杂的解三角形问题时，关键是根据条件加以合理切割、补形等操作，将问题背景转化到特殊的三角形模型中去——直角三角形、等腰三角形或等边三角形等，进而结合特殊三角形中的相关定理与性质（特别是直角三角形，比如勾股定理等）来处理，往往可以更为直观形象、简单快捷地达到解决一些相关的解三角形问题.

三、变式拓展

变式 （2019·北京卷理·15）在△ABC中，a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B-C）的值.

解析 （1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，

得b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因为b=c+2，

所以（c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5，所以b=c+2=7.

（2）由cosB=-12，得sinB=1-cos2B=32.

由正弦定理，得sinC=cbsinB=5314.

在△ABC中，∠B为钝角，所以∠C为锐角.

所以cosC=1-sin2C=1114.

所以sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=437.

四、解后反思

对于解三角形中的相关综合问题，关键是有效发现三角形中的边、角等要素之间的内在联系与变化规律，利用解三角形中的相关知识（包括正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）以及三角函数中的相关公式等加以有效转化，从而充分融合与交汇不同的知识点，构建起知识点的有效联系与合理转化，真正有助于学生知识体系的进一步融会贯通，数学解题能力与数学应用能力的全面提升，真正达到拓展思维，提升能力，培养素养的目的.

参考文献：

[1]蒋凯，钱云祥.法随心动 心由境生——由一道数学题的解法探究产生的若干思考[J].数学通报，2019（03）：42-45.

[责任编辑：李 璟]