图象性质显身手 指数函数妙应用

摘 要：指数函数的图象与性质的应用是指数函数中的一个重要应用问题，可以用来比较两个数的大小、解决含参数问题，以及指数不等式和指数函数的综合应用问题等，巧妙借助指数函数的图象，数形结合，可以有效应用，巧妙破解.

关键词：图象;指数函数;数形结合;转化化归;分类讨论;现实生活

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0027-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：张霆熊（1982.7-），男，江苏省常州人，本科，中學一级教师，从事高中数学教学研究.

指数函数是高中数学最基本的函数模型之一，也是最重要的函数模型，是中学基本初等函数中非常重要的一种，是高考必考内容之一.特别指数函数的图象与性质，其综合了指数函数的解析式、函数值、定义域、值域、图象以及性质等相关知识，应用比较两个数的大小、解决含参数问题，以及指数不等式和指数函数的综合应用问题等.特别对于其图象与性质的应用是比较常见的题型.

一、数形结合巧应用

正确作出指数函数的图象，并借助图象与性质加以数形结合，可以用来解决很多与指数函数相关的数学问题.直观形象，简单快捷.

例1 设函数y=x3与y=（12）x-2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（  ）.

A.（0，1）  B.（1，2）

C.（2，3）  D.（3，4）

分析 直接判断x0所在的区间有图1困难，而通过作出相关指数函数与函数y=x3的图象，数形结合来确定两函数图象的交点，进而确定x0所在的区间.

解析 将y=（12）x的图象向右平移2个单位，得y=（12）x-2的图象.

如图1所示.易见两个图象交点的横坐标满足1<x0<2，故选择答案：B.

点评 对于涉及多个基本初等函数的交点问题，或是涉及指数函数的方程或不等式问题，经常可以合理分解，转化为两个相应的函数问题，数形结合，直观明晰，化难为易，快捷处理.

二、化归转化巧应用

在破解一些比较复杂或不易直接切入的指数函数问题时，往往借助化归与转化思想，利用相关条件的化归与转化，进而把问题具体化，直观化，方便结合指数函数的图象与性质来有效处理，合理化归，巧妙转化.

例2 已知关于x的不等式1+2x+（2a+1）4x>0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.

分析 通过对涉及指数函数的不等式恒成立问题加以化归与转化，引入参数，把相应的指数函数问题转化为二次函数问题，利用二次函数的图象与性质来确定对应的参数取值范围问题，达到等价转化解决的目的.

解析 由于2a+1>-（14）x-（12）x=-（12）2x-（12）x，令t=（12）x.

∵x>0，∴0<t<1，∴-（12）2x-（12）x=-t2-t.

当0<t<1时，由二次函数的图象知-2<-t2-t<0，∴2a+1≥0，解得a≥-12.

故所求实数a的取值范围为{a| a≥-12}.

点评 化归与转化思想可以有效实现抽象问题具体化，复杂问题简单化，同时实现不同问题之间的等价转化与变形.而利用化归与转化思维，结合指数函数的图象与性质是解决指数函数问题的很好方法.

三、分类讨论巧应用

在指数函数y=ax（a>0，且a≠1）中，如果涉及的题目中没有对底数a的取值范围加以确定，往往要根据题目条件分0<a<1和a>1两种不同情况加以分类讨论，进而解决相应问题.

例3 设f（x）=x2-ax<12在（-1，1）上恒成立，试求实数a的取值范围.

分析 结合恒成立的不等式的等价转化，构建熟悉的基本初等函数，通过指数函数与二次函数的构建，结合对应的函数图象加以数形结合，在此基础上分类讨论，从而得到参数的取值范围.

解析 由x2-ax<12Symbol12<ax，在同一坐标系中作出y=x2-12与y=ax图象.

（1）当0<a<1时，在（-1，1）上y=ax图象在y=x2-12的上方，即y=ax通过B（1，12）或在B的上方，∴a≥12，∴12≤a<1;

图2

（2）当a>1时，在（-1，1）上y=ax图象在y=x2-12的上方，即y=ax通过A（-1，12）或在A的上方，∴aSymbolm@@1≥12，即a≤2，∴1<a≤2.

综上，所求实数a的取值范围为{a|12≤a<1或1<a≤2}.

点评 带有参数的函数问题，特别在利用函数图象来分析参数值时，根据参数对函数图象的影响，经常利用分类讨论来分析与处理，特别对于指数函数问题，底数情形比较不同，不能进行统一研究时，则应分类进行研究.

四、现实生活巧应用

指数函数模型来源于现实，并用于解决实际问题.在实际生活中，经常有一些对应的指数函数模型，可以有效借助指数函数的图象与性质来分析与处理.

图3

例4 如图所示，已知某池塘中的浮萍蔓延速度所对应的面积y（m2）与时间t（月）满足函数关系式：y=at，给出以下五个叙述：

①这个指数函数的底数a=2;

②第5个月时，浮萍面积不低于28m2;

③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过2个月;

④浮萍每月增加的面积都相等;

⑤若浮萍蔓延的面积为2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3.

其中叙述正确的所有编号为：.

分析 根据题目条件，关键在于通过特殊点求出对应的指数函数的解析式，从而再根据相应的指数函数判断对应的性质等.

解析 取图象上的点（1，2）代入y=at可得a=2，则①是正确的;

对于指数函数y=2t，当t=5时对应y=25=32>30，则②是正确的;

当y=4时对应t=2，当y=12时对应2t=12，此时对应的t<4，则从

4m2蔓延到12m2需要經过不到2个月，则③是错误的;

对于指数函数y=2t，每月增加的面积都不相等，则④是错误的;

对于指数函数y=2t，若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则有2t1=2，2t2=3，2t3=6，那么有2t1×2t2=2t1+t2=6=2t3，则t1+t2=t3成立，故⑤是正确的.

综上分析，其中叙述正确的是：①、②、⑤.

点评 对于科学生活中的指数函数问题，关键是把实际应用中的问题转化为指数函数，根据指数函数的定义、解析式、性质等加以分析处理，从而得出科学合理的判断与推理.以现实生活为背景材料的新颖的应用题已成为高考命题的热点应用之一.

参考文献：[1]梁王海.指数函数中的参数问题[J].数学之友，2012（03）：63-64..

[2]陈雪平.变活数学例题教学实现课堂有效教学[J].学子（理论版），2015（06）：24-25..

[责任编辑：李 璟]