借助构造法 打破圆锥曲线“藩篱”

摘 要：圆锥曲线是高中数学阶段的重难点之一，构造法旨在抓住题目重点，根据题目已给信息来构造各种有利于解题的工具，比如构造方程或不等式，帮助学生有效解决圆锥曲线的问题，突破圆锥曲线解题的藩篱.

关键词：高中数学;圆锥曲线;构造法

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0011-02

在圆锥曲线类型的题目中，构造法能很好地发挥学生的创造性思维.在应用构造法解决圆锥曲线时，我们要善于结合题目要求以及自身联想构造出满足条件的数学对象，使圆锥曲线题型的解法突破常规，另辟蹊径.

一、构造不等式求解参数范围

探求圆锥曲线中的参数取值范围是近几年高考考查的热点与难点，学生要善于深入题目条件，挖掘题中的隐含信息构建与参数有关的不等式或者不等式组，将题目所求问题转化为求解不等式或不等式组的问题.

例1 设点M和N分别是椭圆C：

x2a2+y2=1（a>0）上不同的两点，线段MN最长为4.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若直线MN过点Q（0，2），且OM·ON>0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围.

分析 （1）当线段MN为长轴时，长度最长，4=2a，a=2，可得椭圆C的标准方程;（2）直线MN的斜率存在且不为0，设方程为y=kx+2，将其与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由Δ>0来构造不等式，并求解不等式，结合韦达定理求出直线OP斜率的取值范围.

解答 解：（1）因为线段MN最长为4，所以4=2a，即a=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.

（2）直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为y=kx+2，

二、构造方程求解最值问题

对于圆锥曲线这类复杂的数学题，往往会出现自变量与因变量的概念，因此我们可以根据需要结合有利的数学条件来进行思路框架的设计.针对题目的未知参数，将有关的条件构成方程组，通过解方程组最终确定最值或是确定范围.

例3 已知动圆C过点P（0，4），且在x轴上截得的弦长为8.

（1）求动圆的圆心C的轨迹方程;

（2）当点Q在椭圆E：y24+x2=1上移动，过点Q作曲线C的两条切线记作QA，QB，其中A，B为切点，椭圆的一个顶点为D（0，2），求|AD||BD|的最大值.

分析 （1）设圆心C的坐标，及圆与x轴的其中一个交点M，由椭圆可得C的坐标之间的关系，即求出动圆C的轨迹方程;

（2）设A，B，Q的坐标，求直线AB的方程并与椭圆方程联立，构造方程组，求出两根之和及两根之积，由题意得|AD||BD|的表达式，由Q的坐标的范围求出其最大值.

解答 （1）设动圆的圆心C（x，y），M为圆与x轴的其中一个交点，则|PC|=|CM|，则x2+（y-4）2=y2+42，可得x2=8y（x≠0），当x=0也满足方程，所以圆心C的轨迹方程为x2=8y.

构造法善于利用题目的有利条件，将难以直接解决的参数问题转化到方程或函数等数学问题上来，便于学生理解，也能提高学生的解题效率.应用构造法解决圆锥曲线的问题，有助于学生理解圆锥曲线的实际应用.

参考文献：

[1]张建中.巧用高中数学构造法解题[J].数理化学习（高三）， 2013（10）：14-15.

[2]蒋大明.构造齐二次式解决圆锥曲线的两类定值问题[J].数学教学通讯，2010（5）：39-40.

[3]崔世轮.试分析“构造法”在高中数学解题中的运用[J].数理化解题研究，2017（16）：57-58.

[責任编辑：李 璟]

收稿日期：2020-09-05

作者简介：宋德银（1981.8-），男，安徽省天长人，硕士研究生，中学一级教师，从事数学教学研究.