归一方见本质

摘  要：数学学科的核心是抽象概括和逻辑推理，具备抽象能力和推理能力可以发现事物的共性规律，并由已知导出新结论、解决新问题. 无论在知识教学还是解题训练中，教师都要引导学生变换角度寻找规律，“归一”以求其本质，实现对知识的深度理解和思维的有效提升. 文章结合笔者的教学实践经验和独特思考，用实例阐述数学教学中如何进行思维方法和解题规律的抽象概括，培养学生深度思考的能力，以帮助学生真正把握数学知识的本质和解决问题的策略.

关键词：数学教学;思维培养;教学本质;解题规律

事物的外在表象纷繁复杂，但我们若探求其内在的本质，就能发现它们是相通的、一致的. 学习就是去伪存真、化繁为简的过程，只要善于抓住核心本质，就可以深刻理解知识概念，灵活掌握思维方法，取得最佳的學习效果. 因此，教师在解题教学的过程中尤其要重视对问题本质的探究与剖析，帮助学生实现对所学知识与方法的深度内化. 简而言之，对各种知识概念和解题方法要不断地“归一”，寻找它们之间的联系和共性，然后灵活应用这些共性和规律解决新问题. 这也是一个抽象概括和归纳推理的过程，能够使学生达到更高的理性水平和学科素养.

下面用实例对初中数学中一类常见的问题进行深入剖析，探讨如何在教学中把问题及其解法不断地“归一”，以帮助学生达到了解本质、融会贯通的认知层次.

一、多法归一：从一题多解中寻找共性规律

构造辅助图形解几何题一直是学生学习和教师教学的难点，教学中若能引导学生对常见问题和常用方法的本质和规律进行深入地探究和归纳，形成解题的策略和方法体系，分析问题时便能有法可依、思路清晰，从而快速地找到解决问题的思路. 反之，若只做题不思考，或思考没有触及本质规律，则解题就是一种低效的活动，无益于能力的提升和思维的发展. 我们以一道经典题为例，探讨如何指导学生在解题的同时分析、归纳思考策略和解题方法.

例1  如图1，P是等边三角形ABC内一点，PA = 4，PB = 5，PC = 3，试求∠APC的度数.

1. 问题引导

问题1：条件给出的三条已知线段PA，PB，PC有直接联系吗？

三条线段分散于不同的三角形中，没有直接的关系.

问题2：如何能使三条线段产生直接联系？联想到什么图形？

若三条线段处于同一个三角形中，则可以组成直角三角形;若再构造一个与等边三角形ABC共顶点的等边三角形，则可得与三条线段相关的一对全等三角形.

问题3：构造图形把分散条件集中起来的一般方法是什么？

用旋转、平移、翻折等变换方式可以转移条件到新图形中.

问题4：从此题的条件特征判断可以用哪种变换方式？

图中有共端点的相等线段，其夹角为60°，可以采用旋转变换的方式.

2. 尝试操作

把相等线段所在的三角形进行旋转，看一看能构造出什么图形，得到哪些结论.

（1）如图2，由于线段AB绕点B顺时针旋转60°得BC，绕点A逆时针旋转60°得AC. 故把△ABP分别绕点B，A按顺时针、逆时针旋转60°，得另一等边三角形和Rt△CPP′.

由图2（1），易知∠BPC + ∠BP′C + ∠PBP′ + ∠PCP′ = 360°，即∠BPC + ∠APB + 60° + 90° = 360°. 因为∠BPC + ∠APB + ∠APC = 360°，所以∠APC = 150°.

由图2（2），易知∠APC = ∠APP′ + ∠CPP′ = 60° + 90° = 150°.

（2）如图3，由线段AC绕点A顺时针旋转60°得AB，绕点C逆时针旋转60°得BC，故把△ACP分别绕点A，C按顺时针、逆时针旋转60°，得另一等边三角形和Rt△BPP′.

（3）如图4，由于线段BC绕点C顺时针旋转60°得AC，绕点B逆时针旋转60°得AB，故把△BCP分别绕点C，B按顺时针、逆时针旋转60°，得另一等边三角形和Rt△APP′.

3. 总结归纳

上面的操作可以从两种角度看.

（1）静态视角. 以等边三角形的一个顶点为顶点作等边三角形，构造双等边三角形，从而得到一对全等三角形，常称为“手拉手”模型. 这样，分别以PA，PB，PC为边，向两侧各作一个等边三角形，共有上述六种作法.

（2）动态视角. 把PA，PB，PC所在的三角形绕△ABC三个顶点，分别向两个方向旋转60°，同样有上述六种方法.

两种视角殊途同归、和谐一致. 解题时只有从多种角度思考问题，用多种方法解决问题，并对其进行抽象概括，得到简约的规律，实现不同方法的归一，这样才能达到以简驭繁、化难为易的目的.

二、一法多用：用已有方法解决同类问题

笛卡儿曾说：我所解决的每个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题. 我们解决问题的价值在于获得一种方法和能力，以便将之迁移，从而解决遇到的新问题.

例2  如图5，PM = 1，BM = 2，∠BPC = 90°，PB = PC，求CM的最小值和最大值.

此题可以迁移运用例1的解题方法，思考过程如下.

1. 静态视角

以等腰直角三角形BCP的三个顶点及另一条线段再作一个等腰直角三角形（注意顶点排列方式要和△BCP保持一致），构成“手拉手”相似模型，把已知线段和所求线段（或经过缩放）转化到同一个三角形中，从而使已知条件和所求问题产生联系，问题便得以解决.

如图6，将线段BM绕点M逆时针旋转90°，构造等腰直角三角形BMN，可证得△CBN ∽ △PBM，相似比为[2∶1.]

在△CMN中，求得[MN=2，CN=2.] 从而得[2-2≤][CM≤2+2]（共线时取等号）. 所以CM的最小值为[2-2，] 最大值为[2+2.]

此题通过构造常见的双等腰直角三角形，得到两对相似三角形，这样产生了与CM有关的数量关系，使问题得以解决.

2. 动态视角

（1）把点M所在三角形旋转（缩放）.

由题中条件，可得[BP∶BC=1∶2，∠PBC=45°.]可以看成线段BP绕点B顺时针旋转45°并按[1 ： 2]放大得到线段BC，所以图6也可以看成把△BPM绕点B顺时针旋转45°并按[1∶2]放大得△BCN. 这两种方式得到的效果相同.

类似地，还有如图7所示的五种变换方式.

（2）确定动点C所在的轨迹.

与例1中图形各点都是定点不同，例2中有些点的位置不能确定，可以看作动点，因此可以从点的运动轨迹思考. 如图8，这里的点N为定点，[CN=2]为定长，可以确定点C的轨迹是以点N为圆心、[2]为半径的圆，转化为求点M到⊙N的最短路径.

如图9，当MN所在直线过圆心时，与圆交于两点，分别取得最小值[MC1=2-2，最大值MC2=2+2.]

再来探究一下点C所在轨迹圆的形成来源. 把点M，B看成定点，则点P，C为动点. 根据圆的定义“到定点的距离等于定长的点的集合”，判断点P的轨迹是以点M为圆心、1为半径的圆. 因为线段PB绕点B顺时针旋转45°并放大[2]倍得到线段BC，所以由整体与部分的关系可推知：点P的轨迹绕点B顺时针旋转45°并放大[2]倍亦可得点C的轨迹，即把⊙M绕点B旋转45°并将半径放大[2]倍得⊙N. 如图10，圆心N由线段BM绕点B顺时针旋转45°并放大[2]倍后得到，即⊙N的半徑是⊙M半径的[2]倍.

到这里，自然就会感受到数学的和谐统一之美，不同的思维角度指向同样的构造方式，具有奇妙的一致性. 由此也可以深刻理解局部（点）与整体（轨迹）的紧密联系，同时体会到用“运动变换”的观点解决数学问题才是真正的高位思维.

3. 方法整合

例2是在例1的基础上进行发展变化，由单纯旋转拓展到旋转加缩放，由全等关系拓展为相似关系，由确定图形拓展为动态图形.

问题情境：有一个形状确定的三角形（等腰直角三角形BCP），有一个已知两边的三角形（△BMP），且两个三角形有两个公共点（点B，P），求两个三角形第三个点之间的距离范围（点C，M）.

思维策略：利用旋转缩放构造相似（全等）三角形使关键要素产生联系，把已知条件集中到同一个三角形中.

操作方式：把等腰直角三角形PBC绕其任一顶点顺时针或逆时针旋转并缩放，使其一边与PM，BM，CM中的任一条线段重合. 或把线段PM，BM，CM所在的三角形旋转45°并缩放，使之与△PBC的某一边重合. 这是一种常用的图形构造方法，即把一个三角形绕一个顶点旋转缩放，再把对应点连线后可得另一对相似三角形，也称为“手拉手”模型.

4. 同型变式

例2可以用同类条件替换进行一般性拓展，等腰直角三角形可以变为其他任意形状确定的三角形，解法不变.

变式  如图11，在△ABC中，[∠ACB = 90°，tan∠BAC=][43，AD=6，BD=5，] 求CD的最大值.

变式的解法与例1和例2类似，有六种构造方式，如图12所示是其中之一.

三、多题归一：把未知问题改为已知问题

陌生问题包含已知问题，复杂问题包含简单问题. 当然，它们形式上并不完全一样，往往需要对原问题进行分解、组合、构造、变换，转化为已知问题或简单问题，这一过程也是对思维方法和解题能力的训练.

例3  如图13，AB = 4，M是AB的中点，PM = 1，∠BPC = 90°，PB = PC，求AC的最小值.

容易发现此题图中含有与例2相同的部分，于是迁移其方法. 如图14，构造等腰直角三角形BMN（把△BCP旋转缩放，得△BNM），可证得△CBN ∽ △PBM. 同样可得△ACN中有两边长度确定，或看成点C在半径为[2]的⊙N上，易求AC的最小值为[AN-CN=2.]

图15的构造方式可以解决问题吗？

图15所示的构造方式似乎与例2的思路相同，但以此种构造无法完成解题，这是为什么呢？

图15的构造方式导致PM = 1这个条件无法利用，所以此种构造无效. 其实此题与例2的问题情境不同，例3中的AC与例2中CM的角色是不一样的，它并不是两个共边三角形第三点的连线. 前提变了，情境不同，方法当然不能套用了. 这时需要根据条件特征把问题进行转化.

1. 中点的转化一：把已知线段放大

我们可以通过构造把例3转化成与例2情境完全相同的问题. 如图16，倍长BP，构造等腰直角三角形BCD，于是有AD = 2，AB = 4，问题情境与例2相同.

此时，删掉P，M两点，即如图17所示，这样与例2的图形结构和条件特征完全相同. 现在可以直接迁移例2的方法，把等腰直角三角形BCD分别绕三个顶点旋转缩放使之与AB，AC，AD中的某条线段重合，依然可以产生与例2相同的六种构图方式，读者可自行尝试.

图16的构造可以从中点的角度思考：把△BPM以点B为中心缩放，构造“A”型相似，即把定长线段PM放大2倍得到定长线段AD，从而实现条件的迁移转化，变为前面已经解决的问题. 这种抽象概括、转化与化归正是数学的基本思想和核心能力.

2. 中点的转化二：把所求线段缩小

我们再用类比或对称的思维考虑：把△ABC以点B为中心缩放，构造“A”型相似，即可把所求线段AC缩小一半得DM，如图18所示，同样可以构造出与例题相同的结构，求DM的最小值即可得到AC的最小值.

对于图18中的四边形PMBD，同样可以有六种构造方式求DM的最小值，此处不再赘述.

3. 高位视角：轨迹观念具有普适性

从轨迹观念来看，无需对原问题进行改造，只要确定动点C的轨迹即可. 如图19，点P的轨迹是以点M为圆心、PM为半径的圆，线段PB绕定点B顺时针旋转45°并放大[2]倍得线段BC，所以将点P的轨迹作同样的变换可得点C的轨迹，即把⊙M绕点B顺时针旋转45°并放大[2]倍，得到点C的轨迹是以点N为圆心、[2]为半径的圆. 这样把问题转化为定点A到定圆⊙N的最短路径问题，连接AN交⊙N于C1，AC1即为所求最小值，如图20所示.

四、一以贯之：把核心策略方法迁移推广

学生在解题中所获得的经验、结论、方法和策略要能够迁移到相同或相似的问题解决中，在解决新问题时要适时地分析和发现其中所包含的不变的、熟悉的内容，创造性地应用已掌握的策略和方法，并加以发展改造，使其适用于新问题. 虽然具体问题千变万化，但是解决问题所用的基本策略和思维方法却是不变的、相通的，这就要求学生在解题时不仅要识其“形”，更要得其“神”.

1. 从特殊到一般的迁移

例4  如图21，正方形BEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AB = 4，求AF的最小值.

我们首先可以把图形简化，图中的BG，FG与问题并无实在的联系，可以删掉，如图22所示.

与例2相比，图22中仍有一个形状确定的等腰直角三角形BEF，稍有不同的是：与其有两个公共点的△ABE中是确定一边及一边上的高（AB为定长，点E到AB的距离为定长）. 这里的不同之處从轨迹视角看，例2是点到点的距离为定值（点P到点M的距离为定长），此题是点到线的距离为定值（点E到直线AB的距离为定长），一个轨迹是圆，一个轨迹是线，属同类问题，解题方法当然可以迁移.

如图23，构造等腰直角三角形BDP，可证△BPF ∽ △BDE，得∠BPF = ∠BDE = 45°，∠DPF = 90°. 所以点F的运动轨迹是过点P垂直于DP的线段. 易知当AF⊥PF时，AF取最小值，最小值为[62.]

从轨迹的视角来看，点E的运动轨迹是线段CD，线段BE绕点B顺时针旋转45°并放大[2]倍得到线段BF，所以点F的运动轨迹是线段CD绕点B顺时针旋转45°并放大[2]倍得到的线段[CD，] 如图24所示. 还可以采用如图25和图26所示的构造方法.

图27的构造方法可以解决问题吗？

初看图形似乎看不出什么思路，但是我们要明白解题的基本原则是“条件用足，模型完整，则问题得解”. 问题解决的前提是所构造的模型能够使条件进行充分地转化利用. 以此来分析，如图28，图中△ABE绕点B旋转45°并放大[2]倍得△DBF，这样得到与点F相关的条件是什么？显然，条件要从△ABE中转化到△DBF中，△ADE满足的条件是AB = 4，点E到AB的距离为4. 相应地，此条件通过相似关系传递到△BDF中得[BD=42，] 点F到BD的距离为[42，] 可知AF与FM，AN共线时取得最小值. 由点F到BD的距离为[42]亦可推知点F的轨迹是到BD距离为[42]的平行线[CD，] 这样便转化为定点A到定线段[CD]的最短路径问题，当[AF⊥CD]时取得最小值.

2. 从一般到特殊的迁移

例5  如图29，在四边形ABCD中，∠BAD = 90°，∠BCD = 30°，AD = 2AB，BC = 2，CD = 1，求AC的长.

此题与前面的问题相比，图形结构与条件特征具有相似性. 不同之处在于这里的A，B，C，D四点都是定点，故此题更具有特殊性，前面的一般方法适用于此题.

如图30，构造Rt△ACP，使AC = 2AP，则△ACP ∽ △ADB. 再得△ABP ∽ △ADC，相似比为[1∶2.] 得[BP=][12CD=12，] ∠ABP = ∠ADC. 所以∠CBP = 360° - ∠ABP - ∠ABC = 360° - ∠ADC - ∠ABC = ∠BAD + ∠BCD = 120°.

如图31，在△BCP中已知两边及其夹角，解三角形即可求得[CP=212.] 在图30中，再由[AC∶CP=][AD∶BD=2∶5，] 得[AC=1055.]

此类问题的解决方法不但体现了数学中的转化与化归、运动变换等基本思想方法，还蕴含着深刻的哲理. 在图30中，△ADB的三边比例是已知的、形状是确定的，AC是一条孤立的线段，它没有在含特定条件的三角形中，与另两条已知线段BC，CD无联系. 故以△ADB的形状为模板构造与之相似的△ACP，更重要的是，这对相似三角形相互作用，产生了另一对相似三角形（△ACD和△APB），从而再产生丰富的边角关系使问题得以解决. 这一过程颇有“一生二，二生三，三生万物”的意境. 从这个层次理解问题就会有豁然开朗、万物一理的深刻感悟，不但有助于学生对此类问题的理解和掌握，而且再以此迁移到其他方面的学习，还会产生更大的效益，得到更大的收获.

参考文献：

[1]波利亚. 怎样解题[M]. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]卜以楼. 生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M]. 西安：陕西师范大学出版总社，2018.

收稿日期：2020-08-25

作者简介：谈志国（1977— ），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学和数学思维开发研究.