直线“系”进化的收获

乐加灵

摘要：曲线系的方程思想可以大大减少计算量，但是学生不容易理解，更加不会应用，笔者就从几个简单的曲线系着手，让同学们感受“系”的魅力，最后来一个应用。

关键字：系;直线系;圆系;曲线系;四点共圆

一、最初的直线“系”：过定点的直线系方程

过定点 的直线系方程：

二、直线“系”的演变：过两直线交点的直线系方程

过直线 ： （ 不同时为0）与 ： （ 不同时为0）交点的直线系方程为：  （ ， 为参数）

三、直线“系”的进化：代表两条直线方程的系

的曲线方程为

例3、已知椭圆 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在椭圆 上

（1）求椭圆 的方程;

（2）设不过原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 ，直线 与椭圆 交于 ，证明：

（1）易方程为：

（2）分析：由证明结论可知只要证明 四点共圆再利用圆幂定理可得，即证明 两条直线与椭圆的交点四点共圆.

设 即 由

∴ ，可设 ，利用“系”的思想，可设出曲线系

， 时推出 代表圆，所以 ，由圆幂定理可得

从此题中我们可以发现“系”的思想可以大大减少计算量，笔者将第二小题变式.

变式1、 两条相交直线与椭圆 交于 四点交点为 ，且两直线且斜率为相反数，证明：

也可以用系的思想：设：

则曲线系为： ，只需 该方程也可以演变成一个圆的方程同理得出 .笔者在此基础上再次变式.

变式2、将椭圆 改为椭圆的一般式，其余条件与变式1相同;

变式3、将椭圆的一般式改为双曲线一般式，其余条件与变式1相同;

变式4、将双曲线的一般式改为抛物线一般式，其余条件与变式1相同;

以上几个变式都可以用“系”的思想容易证出四点共圆.

变式5、如果四点共圆能不能反过来证明斜率互为相反数

我們就以原题的椭圆为例就此证明

∵四点共圆，所以圆的方程为：

曲线系为 要让

写出 ，即可推出 ，∴两条直线斜率互为相反数.

同理可证明双曲线，抛物线也成立.

∴根据直线系我们得到一个意外的收获

两条直线与圆锥曲线交于四点，若果两条直线斜率互为相反数，则四点共圆;若四点共圆则两条直线写率互为相反数。

参考文献：

[1]蔡小雄，更高更妙的高中数学思想与方法[M].浙江：浙江大学出版社，2018.179-188