对比习题研模式 统一解法促效能

李秀元

摘 要：数学解题注重模式.研究解题模式，不仅对理解题意有帮助，而且可以降低解题难度，提高解题速度和准确度.

关键词：比较研究;解题模式;教学效能

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0071-03

数学是一门寻求“完美”模式的学问.数学解题一般都是有模式的.研究解题模式，熟练运用模式解题，对提高数学学习成绩的现实意义是积极的.而且，研究解题模式，对于理解不同题目的关系，快速解题也是非常有好处的.下面基于不等式问题，举例说明统一求解模式在不同题目中的应用，借此彰显统一解题模式的积极意义.

一、统一模式，加深对问题的理解

例1（1）若1<a<3，-4<b<2，则a2-b的取值范围是;

（2）已知-1<a+b<3，2<a-b<4，则2a+3b的取值范围是.

分析 对于问题（1），由于a，b单独变化，互不影响，可直接利用不等式的性质求解.求解问题（2）时，学生往往受问题（1）的影响，总是先求a，b的取值范围，再求2a+3b的范围.事实上，a和b在变化过程中是相互制约的，因此不能单独确定a和b各自的取值范围.如果对a+b和a-b分别换元后，则问题（2）可以回归到问题（1）的模式.

解 （1）由1<a<3，得12<a2<32;由-4<b<2，得-2<-b<4.两式相加得-32<a2-b<112.

（2）令a+b=t，a-b=s，则a=t+s2，b=t-s2，且2a+3b=52t-12s.

于是原问题可转化为：已知-1<t<3，2<s<4，求52t-12s的取值范围.这样，就变成问题（1）了.

根据不等式的性质可得-92<52t-12s<132，从而2a+3b的取值范围是（-92，132）.

评析 问题（2）是学生最易出错的一道题，人教A版课标实验教科书必修5，用一个“阅读与思考”来解释，为什么正确应用不等式性质的求解，结果却是多样的、错误的.应用模式化方法，使新问题回归到已有模型，复杂问题简单化，求解不会出现偏差，也根本不需要任何解释.转化为问题（1）的模型，本质上是用a+b和a-b这两个整体变量来表示2a+3b，不破坏单独变量a和b之间的依赖性，然后借助不等式的性质，确定其取值范围.

二、统一模式，提高解题速度

例2 （1）已知f（x）=（ax-1）（x+b），如果fx>0的解集为（-1，3），求f-2x+3<0的解集;

（2）若不等式ax2+bx+c>0的解集为x|-1<x<2，求不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集.

分析 对于问题（1），一般先根据函数结构，和不等式解的形式，确定函數类型，求出参数a和b的值，进而解一个基于f（x）的更复杂不等式.但这样求解无视结构特点，毫无灵性，无法提高解题的速度和准确度.

解 （1）方法1：由已知得a<0.又-1和3是方程ax-1x+b=0的两根，故1a=-1，-b=3，即a=-1，b=-3.此时fx=（-x-1）（x-3），不等式

f-2x+3<0可化为-2x+3-1-2x+3-3<0，解得x<12，或x>2.所以f-2x+3<0的解集为x|x<12，或x>2.

方法2：由已知得a<0（其实已经没必要了），令t=-2x+3，则ft<0的解集为t|t<-1，或t>2.

因此，-2x+3<-1或-2x+3>2，解得x<12，或x>2.

从而f-2x+3<0的解集为x|x<12，或x>2.

（2）方法1：依题意，-1和2为方程ax2+bx+c=0的两根，故ba=-1，ca=-2，且a<0.

不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax可化为x2+ba-2x+1+ca-ba<0，即x2-3x<0，解得0<x<3.

所以不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集为（0，3）.

方法2：不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax可化为a（x-1）2+bx-1+c>0，由题意知-1<x-1<2，所以0<x<3.

因此，不等式ax2+1）+bx-1+c>2ax的解集为（0，3）.

评析 这两个不等式的求解，并不是多么困难，甚至可以说是简单的，基于一般化思想未尝不可，但如果关注到不等式的结构特点，则为快速而准确解题，提供了必要条件，这也许就是模式化的极大好处.

三、统一模式，降低解题难度

例3 （1）已知x，y均为正数，且满足1x+12y=1，求x+4y的最小值;

（2）已知a，b为正数，且a+b=1，求4a+9b的最小值.

分析一 这是等式条件下利用均值不等式求最值的典型试题.问题（1）条件形式复杂，目标结构更简单，从复杂到简单容易操作，既可以利用消元法，又可以利用“1”的代换.问题（2）则是条件简单，目标复杂，从简单到复杂构造难.在解题技巧上可以利用“1”的代换，如果用消元法，则目标式会越来越复杂，除了借助特殊不等式，似乎没有更好的办法.若能把问题（2）转化为问题（1）的形式，则两者的求解就统一了.

解 （1）方法1：消元法.

由1x+12y=1，得12y=1-1x=x-1x，即2y=xx-1，因为y>0，所以x>1.

x+4y=x+2xx-1=（x-1）+2x-1+3≥3+22，当且仅当x-1=2，即x=2+1时等号成立.

故x+4y的最小值为3+22.

方法2：“1”的代换.

x+4y=（x+4y）（1x+12y）=3+4yx+x2y≥3+22，当且仅当x=22y，1x+12y=1，即x=2+1，y=2+24时等号成立.

（2）方法1：“1”的代换.

4a+9b=（4a+9b）（a+b）=13+4ba+9ab≥13+236=25，当且仅当2b=3a，即a=25，b=35时取等号.

方法2：消元后利用特殊不等式.

为了说明问题，我们先证明下面的不等式：

已知a，b，x，y为正数，则a2x+b2y≥（a+b）2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.

证明 因为a，b，x，y为正数，

所以（a2x+b2y）（x+y）=a2+b2+a2yx+b2xy≥a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当ax=by时等号成立.

因此，a2x+b2y≥（a+b）2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.

再看问题的解.

解 由a+b=1得b=1-a，则4a+9b=4a+91-a≥（2+3）2a+（1-a）=25，当且仅当a+b=1，2a=31-a，即a=25，b=35时等号成立.

方法3：换元法.

令4a=t，9b=s，则a=4t，b=9s.

于是题目转化为：已知正数s，t满足4t+9s=1，求t+s的最小值.应用问题（1）的求解方法，可得t+s的最小值为25，即x+4y的最小值为25，当且仅当a=4t，b=9s时等号成立.

评析 特殊不等式的证明思路，正是源于问题（1）的求解方法2.問题（2）的方法1用技巧取胜，不太符合新高考命题理念，方法2以特殊不等式为背景，看似简单，实际上增加了识记要求，如能抓住问题的本质，即“1”的代换，不用特殊不等式也是可行的.此时所谓“1”的代换，已经不仅仅限于和为1，只要和为正常数，都是可以的.对条件和目标的结构进行变换，则问题（2）回归到问题（1）的形式，难度自然降低.

分析二 换个角度看问题（1）.一般地，应用均值不等式求最值，结构上往往具有“给和求积”，“给积求和”的特点.如果能将 “分式和结构”的等式条件，变换成“整式积”的形式，那么，试题也就能回归到更一般的解题模式上了.

解 由1x+12y=1，得x>1，y>12，且x+2y=2xy，对等式进行因式分解，得（x-1）（2y-1）=1，进一步，我们有（x-1）（4y-2）=2.

所以，x+4y-3=（x-1）+（4y-2）≥2（x-1）（4y-2）=22，当x-1=4y-2时等号成立.

因此，x+4y的最小值为3+22.

评析 相对于分析一的特殊解法，对于“给分式和求整式和”问题，将分式型等式条件化为整式等式条件，只需要进行一次因式分解，凑一凑就行了，因式的构成完全依赖于目标的线性结构，无论系数与等式是否一致，都是可以的.这样解题难度似乎又降低了不少.

不同知识点的试题，往往具有各自独立而特别的解题模式，如数列问题的构造模式，三角函数问题中的变角模式，解析几何问题的运算模式，等等.研究模式，洞悉模式，进而利用模式，为快速解题创造得分条件，正是试题研究的方向之一，值得拥有.

参考文献：

[1]Keith Devlin.数学的语言[M].南宁：广西师范大学出版社，2013.

[责任编辑：李 璟]