似是而非却又神机妙算的估算法

滕泽艳

摘 要：数学是描述数量与空间的学科.高考考试大纲（数学）在考核目标板块中对能力要求部分明确规定了六个方面的能力为：“空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.”而其中的运算求解能力是指“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.”大多数情况下我们需要进行精确计算，可是，在生活中，特别是在选择题中，我们会遇到一些不易精确判断或求解的问题，这时，可以根据具体条件及有关知识，通过大体估计、合理猜想或特殊验证等手段，准确、迅速地作出大概的估计和近似计算，从而求解.我们把这种方法称为估算法.

关键词：高考试题;高中数学;解题

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0027-02

历年高考试题中，有相当一部分选择题甚至填空题都可以用估算法简捷地解决.下面通过举例进行说明，并对其解题一般规律进行归纳与整理.

例1 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）.

A. 169πB. 83π

C. 4πD. 649π

解析 选D.

解法一 估算法.如图，2R=OA+OB>AB=2，故R>1，得S球=4πR2>4π，选D.

解法二 直接法.设平面ABC所在截面圆的圆心为O1，连接OO1，AO1，则

OO1=R2，OA=R，AO1=22×2×23=233，

∴43+R23=R2，3R24=43，R2=169，

∴S=4πR2=64π9.

点评

1.比较解法一和解法二，即估算法与直接法后我们不难发现，前者仅运用简单的大小比较（三角形两边之和大于第三边）即选出正确结果，思路清晰，回避了运算.

2.估算法体现了特殊与一般的数学思想方法.

例2 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF与平面ABCD的距离为2，则多面体ABCDEF的体积为（）.

A. 92B. 5 C. 6 D. 152

解析 选D.

解法一 估值法.

连接EB、EC.则易得：VABCDEF>VE-ABCD=13×32×2=6.

故排除A、B、C，应选D.

解法二 特殊值法.

所以取特殊情况：即EF⊥面ADE，如图.取AB与CD的中点M、N，连接MF，NF，作EO⊥AD，垂足为O，则EO⊥平面ABCD.

∴VABCDEF=VADE-MNF+VF-MBCN

=12×3×2×32+13×3×32×2=152.

点評

1.本题中的多面体是非典型的多面体，既非棱柱也非棱锥，直接求体积比较困难.解法一用易求的部分体积“四棱锥E—ABCD”估整体法，极其简捷.而解法二以特殊图形求解，由于四个选项均为定值，所以EF的位置并不影响结果，这样运算也非常简洁.

2.应用估算法解题的一般步骤为：

（1）根据问题条件，对数学对象（变量或图形等）进行特殊处理或缩放等;

（2）对处理后的对象进行计算;

（3）根据计算结果估计结论.

例3 函数y=x2+sinx的图象大致是（）.

解析 选C.

解法一 估算法（取特殊点估算）.

因为函数为奇函数，排除A;当x=10π时，y=5π，排除D;当x=π2时，y=π4+1>0，排除B.选C.

解法二 估算法（以极限位置估算）

当x>0时且无限趋近于0时，y=x2+sinx>0，即图象在y轴的右边无限靠近y轴时，图象应在x轴上方，只能选C.

点评

1.图形（图象）类选择题一般用排除法即可.可以从以下方面进行排除：

（1）特殊点的函数值;

（2）函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性及极限（如渐近线）等.抓住其中其一个某一些性质即可进行排除.

2.估算法一般适用于不易直接求解或不易精确判断的数学问题.

例4 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数共有（）.

A.24B.30C.40D.60

解析 选A.

解法一 估算法.五个数字中有2个偶数，3个奇数，所以所求偶数个数S小于奇数的个数，即S<12×A35=30，所以选A.

解法二 直接法

先排个位，从2与4这两个偶数中选一个有2种选法，再从余下的4个数字中任选2个排十位与百位（有序），有4×3=12种，所以，共有选法2×12=24种.选A.

点评

1.解法一巧妙利用奇偶数的对称性进行估算求解，简洁明了.

2.常见估算的方法有：

（1）以范围估定值：即不直接求出定值，而是通过研究所求元素的取值范围求解;

数形结合列代数式解题，或者反之，借助图形估算

出数;

（2）以特殊估一般，即选取特例或特殊值对一般性问题进行处理;

（3）取近似值估算.

参考文献：

[1]么晓江.由n个事件相互独立所想到的[A].

中国当代教育理论文献——第四届中国教育家大会成果汇编（下）[C].2007：11-12P.

[责任编辑：李 璟]