浅析换元法在不等式问题中的一般规律

孙宇

摘 要：“换元法”是高中数学学习中的最重要的思想方法之一，其在不等式中的应用是最为典型的，也是最巧妙、最广泛的.本篇文章对换元法在不等式中的应用进行了一般性规律的探究.

关键词：换元法;不等式;思想方法;规律

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0023-02

一、换元法的理解

“换元法”，顾名思义，就是指未知元进行更换，从而使得代数式更加简单或者更容易理解.在进行换元法使用后，一般代数式的形式就会更加简洁明了——变成“基本不等式”（“勾函数”形式）或者“二次函数”形式.而在不等式题的证明中有很多重要方法，蕴含着高度的概括性、深刻性、内隐性、层次性、发展性、迁移性、启发性、广泛性，因此研究透换元法是非常有必要的.

二、换元法在不等式中的一般规律

在大部分的不等式的考题中，其问题的设置基本上可分为三类：第一类是二元多项式形式，第二类是二元齐次式分式，第三类是二元非齐次分式.笔者分别对这三类不等式最值的求解，用换元法进行详细的规律探究.

知识储备 对于一元分式，有两种基本类型，一类是一元非齐次分式P=kxax2+bx+c，a≠0，且一般情况下a，c是同号的，可以进行分子分母同时除以x，原式就可以变换成P=kax+cx+b，这就是我们熟知的基本不等式（“勾函数”）形式.其推广形式是P=mx+nax2+bx+c，此时为了方便理解，可以令t=mx+n（注意t的取值范围），从而x=t-nm，此时原式被还原成其本质形式.另一类是一元齐次式分式P=kx2ax2+bx+c，a≠0，此时分子分母同时除以x2，原式就可以变换成P=kc·1x2+b·1x+a，这是我们熟知的二次函数的形式.

例1 若实数x，y满足2x2+xy-y2=1，则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为.

分析理解 题设的条件已经比较复杂，不能进行消元变换.而问题的设置是二元变量的非齐次分式，我们需要一些技巧性“眼光”.读题，我们可以发现题设的条件，可以变换成2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y）=1，从而设t=2x-y，则x+y=1t，从而x=13t+13t，y=23t-13t.此时原式x-2y5x2-2xy+2y2=t-1tt2+1t2.令u=t-1t，则x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2=1u+2u，这样就一目了然了.例2 已知正数x，y，z满足（x+2y）（y+z）=4yz，且z≤3x，则P=3x2+2y23xy的取值范围是.

分析理解 由于题设的问题已经是二元齐次式分式，因此我们可以直接将其进行变换：原式P=3（xy）2+23·xy，令t=xy，则P=3t2+23t=t+23t.进行这样的变换后，我们把目光再转向题设的条件就会比较清晰了：将z进行消元，从而得到x，y之间的关系式，限定t的取值范围，就可以得到最终的结果.由题设条件（x+2y）（y+z）=4yz，可得（x+2y）y+（x+2y）z=4yz（x+2y）y=（2y-x）z≤（2y-x）3x，从而得到3x2-5xy+2y2≤0，两边同时除以y2，则3t2-5t+2≤023≤t≤1.这样就可以得到最终结果了.

三、综合分析

以上两道例题，我们基本可以说换元法在整个不等式问题的求解中占据着最重要的位置，分析出一般性的一些不等式的求解方法：总体而言就是“化繁为简”.题设中，①涉及到比较复杂的分式多项式等式，我们可以进行二元变量的换元法（将分式的分母分别进行换元，简化分式的形式）;②涉及到非齐次等式，一般有两种操作：一是进行直接消元（将y表示成x的形式），另一种就是進行因式分解后进行消元（将x，y分别用t表示，如例1）;③涉及到齐次式等式，可以直接进行二元变量一元化消元（同时除以x2，令t=yx，如例2）.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中课程方案（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]