例谈分类讨论的依据

张蔡莉

摘 要：分类讨论是一种重要的数学思想，通过把一个复杂的问题分割成若干个简单的问题，再逐一解决，归纳整理.本文将分类讨论题型的解题思路归纳成“寻找变量的临界值”、“划分变量区域”、“分区间讨论” 三个步骤，借助几个典型的考题进行阐述，做到化整为零，讨论不重不漏.

关键词：不等式;分类讨论;分界点;最值;单调性

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0024-02

分类讨论贯穿于整个高中数学，对学生分析问题，解决问题的有很大的作用.高中数学分类讨论主要有两种类型：一，对参数进行讨论，求自变量的取值范围.二，给出某个结论，求参数的取值范围.学生思维能力不强， 经常分不清是否需要讨论，讨论的依据是什么，以及分几种情况进行讨论.

本文通过：第一，求出变量的临界值，即变量的分界点;第二，在数轴上按照分界点的大小，将变量的取值划分成不同区间;第三，按从小到大的顺序，在各个区间中依次进行讨论;第四，积零为整，适当归纳总结.做到分类标准统一，不重不漏.

一、由数学概念引起的讨论，如“圆锥曲线”，“绝对值”等

例1 （2017全国课标Ⅰ卷）设函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|，

（1）当a=1时，求f（x）≥g（x）的解集;

（2）略.

分析 由f（x）≥g（x）得， x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.根据绝对值的定义：被绝对值的数x+1，x-1需要和0比较大小，因此，在数轴上-1，1是自变量x的分界点，按照从小到大，分成x≤-1，-1<x<1以及x≥1三种情况讨论，从而把问题转化成解不等式组和集合间的运算.

二、由数学运算引起的讨论，如“给定区间”，“某个新函数的定义域”等

例2 （2014四川高考）已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数.

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值;

（2）略.

分析 函数的最值和单调性有关，由g′（x）=ex-2a，令g′（x）=0，得到极值点x=ln（2a），此时由于计算引起的保证真数2a>0，得到参数a的第1个分界点0;另一方面，由于受给定区间的限制，还需要考虑极值点x=ln（2a）是否在区间[0，1]内，即要比较ln（2a）与0，1的大小关系，得到第2和3个分界点：12，e2.这样按照数轴上从小到大，分成a≤0，0<a<12，12≤a≤e2和a>e2四种情况进行讨论：

（1）当a≤0时，在区间[0，1]内，g′（x）>0，故y=

g（x）在[0，1]内递增，g（x）的最小值为g（0）.

（2）当0<a<12时，在区间[0，1]内，g′（x）>0，y=g（x）在[0，1]内递增，g（x）的最小值为g（0）.

（3）当12≤a≤e2时，在区间[0， ln2a]内，g′（x）<0，故y=g（x）在[0， ln2a] 内递减，

在区间[ln2a，1]内，g′（x）>0在区间[ln2a，1]内递增，g（x）的最小值为g（ln2a）.

（4）当a>e2时，在区间[0，1]内，g′（x）<0，y=g（x）在[0，1]内递减，g（x）的最小值为g（1）.

然后再积零为整，利用集合运算，归纳总结，从而求出函数在区间[0，1]上的最小值.

三、由图象的位置引起的讨论，如“一元二次函数”，“指数函数”，“对数函数”图象等

例3 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）略.

分析 函数的单调性和其导函数的正负号有关.由f ′（x）=（ex+2a）（x-1），令f ′（x）=0，得到极值点x=1和x=ln（-2a）.首先保证真数-2a>0，得到参数a的第1個分界点0;其次两根1和ln（-2a）比较大小，得到第2个分界点-e2.按照参数a在数轴上从小到大的位置，分成a<-e2，a=-e2，-e2<a<0和a≥0四种情况讨论.

例4 （2014全国课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=alnx+1-a2x2-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0.

（1）求b;

（2）若存在x0≥1，使得f（x0）<aa-1，求参数a的取值范围.

分析 （2）由给出的结论：不等式f（x0）<aa-1有解，得到在区间[1，+∞）内，求出函数f（x）的最小值，使得aa-1>f（x）min即可.因为f ′（x）=1-ax（x-a1-a）（x-1）为分式形式，在x≥1时，可以转化为函数y=（1-a）（x-a1-a）（x-1）.这时需要考虑函数的开口，和两根的大小，因此二次型系数（1-a）和0比较大小，得到第一个分界点1;两根a1-a和1比较大小，得到第二个分界点12.按照参数a从小到大的顺序，分成a≤12，12<a<1，和a>1三种情况讨论.

由上可见，不等式的讨论覆盖知识点多，范围广，难度大.但万变不离其宗，其核心思想还是抓住要求的变量，统一分类标准，找出分界点，在同级中划分区域逐步讨论，才能做到思路严谨，不缺不漏.

参考文献：

[1]莫祚银.浅谈分类讨论思想[J].宿州教育学院学报，2006（04）：94-112.

[2]陈传春.函数策略处理不等式恒成立问题[J].数学之友，2012（4）：64-66.

[责任编辑：李 璟]