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例谈分类讨论的依据

2020-09-10张蔡莉

数理化解题研究·高中版 2020年8期
关键词:单调性分类讨论不等式

张蔡莉

摘 要:分类讨论是一种重要的数学思想,通过把一个复杂的问题分割成若干个简单的问题,再逐一解决,归纳整理.本文将分类讨论题型的解题思路归纳成“寻找变量的临界值”、“划分变量区域”、“分区间讨论” 三个步骤,借助几个典型的考题进行阐述,做到化整为零,讨论不重不漏.

关键词:不等式;分类讨论;分界点;最值;单调性

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2020)22-0024-02

分类讨论贯穿于整个高中数学,对学生分析问题,解决问题的有很大的作用.高中数学分类讨论主要有两种类型:一,对参数进行讨论,求自变量的取值范围.二,给出某个结论,求参数的取值范围.学生思维能力不强, 经常分不清是否需要讨论,讨论的依据是什么,以及分几种情况进行讨论.

本文通过:第一,求出变量的临界值,即变量的分界点;第二,在数轴上按照分界点的大小,将变量的取值划分成不同区间;第三,按从小到大的顺序,在各个区间中依次进行讨论;第四,积零为整,适当归纳总结.做到分类标准统一,不重不漏.

一、由数学概念引起的讨论,如“圆锥曲线”,“绝对值”等

例1 (2017全国课标Ⅰ卷)设函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|,

(1)当a=1时,求f(x)≥g(x)的解集;

(2)略.

分析 由f(x)≥g(x)得, x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.根据绝对值的定义:被绝对值的数x+1,x-1需要和0比较大小,因此,在数轴上-1,1是自变量x的分界点,按照从小到大,分成x≤-1,-1<x<1以及x≥1三种情况讨论,从而把问题转化成解不等式组和集合间的运算.

二、由数学运算引起的讨论,如“给定区间”,“某个新函数的定义域”等

例2 (2014四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e为自然对数的底数.

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;

(2)略.

分析 函数的最值和单调性有关,由g′(x)=ex-2a,令g′(x)=0,得到极值点x=ln(2a),此时由于计算引起的保证真数2a>0,得到参数a的第1个分界点0;另一方面,由于受给定区间的限制,还需要考虑极值点x=ln(2a)是否在区间[0,1]内,即要比较ln(2a)与0,1的大小关系,得到第2和3个分界点:12,e2.这样按照数轴上从小到大,分成a≤0,0<a<12,12≤a≤e2和a>e2四种情况进行讨论:

(1)当a≤0时,在区间[0,1]内,g′(x)>0,故y=

g(x)在[0,1]内递增,g(x)的最小值为g(0).

(2)当0<a<12时,在区间[0,1]内,g′(x)>0,y=g(x)在[0,1]内递增,g(x)的最小值为g(0).

(3)当12≤a≤e2时,在区间[0, ln2a]内,g′(x)<0,故y=g(x)在[0, ln2a] 内递减,

在区间[ln2a,1]内,g′(x)>0在区间[ln2a,1]内递增,g(x)的最小值为g(ln2a).

(4)当a>e2时,在区间[0,1]内,g′(x)<0,y=g(x)在[0,1]内递减,g(x)的最小值为g(1).

然后再积零为整,利用集合运算,归纳总结,从而求出函数在区间[0,1]上的最小值.

三、由图象的位置引起的讨论,如“一元二次函数”,“指数函数”,“对数函数”图象等

例3 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)略.

分析 函数的单调性和其导函数的正负号有关.由f ′(x)=(ex+2a)(x-1),令f ′(x)=0,得到极值点x=1和x=ln(-2a).首先保证真数-2a>0,得到参数a的第1個分界点0;其次两根1和ln(-2a)比较大小,得到第2个分界点-e2.按照参数a在数轴上从小到大的位置,分成a<-e2,a=-e2,-e2<a<0和a≥0四种情况讨论.

例4 (2014全国课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=alnx+1-a2x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0.

(1)求b;

(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<aa-1,求参数a的取值范围.

分析 (2)由给出的结论:不等式f(x0)<aa-1有解,得到在区间[1,+∞)内,求出函数f(x)的最小值,使得aa-1>f(x)min即可.因为f ′(x)=1-ax(x-a1-a)(x-1)为分式形式,在x≥1时,可以转化为函数y=(1-a)(x-a1-a)(x-1).这时需要考虑函数的开口,和两根的大小,因此二次型系数(1-a)和0比较大小,得到第一个分界点1;两根a1-a和1比较大小,得到第二个分界点12.按照参数a从小到大的顺序,分成a≤12,12<a<1,和a>1三种情况讨论.

由上可见,不等式的讨论覆盖知识点多,范围广,难度大.但万变不离其宗,其核心思想还是抓住要求的变量,统一分类标准,找出分界点,在同级中划分区域逐步讨论,才能做到思路严谨,不缺不漏.

参考文献:

[1]莫祚银.浅谈分类讨论思想[J].宿州教育学院学报,2006(04):94-112.

[2]陈传春.函数策略处理不等式恒成立问题[J].数学之友,2012(4):64-66.

[责任编辑:李 璟]

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