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非特殊角三角函数的求值技巧

2020-09-10杜红全

数理化解题研究·高中版 2020年8期
关键词:三角函数

摘 要:非特殊角三角函数求值问题用一般方法很难求解,求解此类问题的关键是设法化去非特殊角.本文将从消去非特殊角、约去非特殊角、凑出特殊角这三个方面举例说明,供参考.

关键词:非特殊角;三角函数;求值技巧

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2020)22-0022-01

非特殊角三角函数求值问题较为常见,求解此类问题的关键是设法化去非特殊角,而化去非特殊角的主要方法是“消、约、凑”,下面举例说明.

1.消去非特殊角例1 求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值.

解 原式=1+cos142°2+12(cos120°+cos22°)+1+cos98°2

=12+12cos142°-14+12cos22°+12+12cos98°

=34+12(cos142°+cos98°)+12cos22°

=34+cos120°cos22°+12cos22°

=34-12cos22°+12cos22°

=34.

点评 本题中的71°和49°都不是特殊角,直接求解很困难,但是利用降幂公式cos2α=1+cos2α2和积化和差公式cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)],进行化简整理消去了cos22°,出现了意想不到的效果,达到了解题的目的.

2.约去非特殊角

例2 求cot9°-cot27°-cot63°+cot81°的值.

解 原式=(cot9°+cot81°)-(cot27°+cot63°)

=(cot9°+tan9°)-(cot27°+tan27°)

=(cos9°sin9°+sin9°cos9°)-(cos27°sin27°+sin27°cos27°)

=1sin9°cos9°-1sin27°cos27°

=2sin18°-2sin54°

=2(sin54°-sin18°)sin18°sin54°

=4cos36°sin18°sin18°cos36°

=4.

點评 本题中的9°、27°、63°和81°都不是特殊角,但是利用诱导公式cot(90°-α)=tanα、商数关系tanα=sinαcosα(α≠π2+kπ,k∈Z)及cotα=cosαsinα(α≠π+kπ,k∈Z)、平方关系sin2α+cos2α=1、逆用二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα,化简整理约去cos36°、sin18°就可以求出原式的值.

3.凑出特殊角

例3 求tan18°+tan42°+3tan18°tan42°的值.

解 tan60°=tan(18°+42°)=tan18°+tan42°1-tan18°tan42°,即tan18°+tan42°

=tan60°(1-tan18°tan42°),整理得tan18°+tan42°+3tan18°tan42°=3.

点评 本题中的18°、42°都不是特殊角,不难发现由18°+42°凑出60°,然后利用两角和的正切公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,变形整理就可以求出原式的值.

参考文献:

[1]杜红全.例谈高考数学三角形中最值问题[J].中学生数理化(高二数学),2018(Z1):5-6.

[责任编辑:李 璟]

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