非特殊角三角函数的求值技巧

摘 要：非特殊角三角函数求值问题用一般方法很难求解，求解此类问题的关键是设法化去非特殊角.本文将从消去非特殊角、约去非特殊角、凑出特殊角这三个方面举例说明，供参考.

关键词：非特殊角;三角函数;求值技巧

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0022-01

非特殊角三角函数求值问题较为常见，求解此类问题的关键是设法化去非特殊角，而化去非特殊角的主要方法是“消、约、凑”，下面举例说明.

1.消去非特殊角例1 求cos271°+cos71°cos49°+cos249°的值.

解 原式=1+cos142°2+12（cos120°+cos22°）+1+cos98°2

=12+12cos142°-14+12cos22°+12+12cos98°

=34+12（cos142°+cos98°）+12cos22°

=34+cos120°cos22°+12cos22°

=34-12cos22°+12cos22°

=34.

点评 本题中的71°和49°都不是特殊角，直接求解很困难，但是利用降幂公式cos2α=1+cos2α2和积化和差公式cosαcosβ=12[cos（α+β）+cos（α-β）]，进行化简整理消去了cos22°，出现了意想不到的效果，达到了解题的目的.

2.约去非特殊角

例2 求cot9°-cot27°-cot63°+cot81°的值.

解 原式=（cot9°+cot81°）-（cot27°+cot63°）

=（cot9°+tan9°）-（cot27°+tan27°）

=（cos9°sin9°+sin9°cos9°）-（cos27°sin27°+sin27°cos27°）

=1sin9°cos9°-1sin27°cos27°

=2sin18°-2sin54°

=2（sin54°-sin18°）sin18°sin54°

=4cos36°sin18°sin18°cos36°

=4.

點评 本题中的9°、27°、63°和81°都不是特殊角，但是利用诱导公式cot（90°-α）=tanα、商数关系tanα=sinαcosα（α≠π2+kπ，k∈Z）及cotα=cosαsinα（α≠π+kπ，k∈Z）、平方关系sin2α+cos2α=1、逆用二倍角的正弦公式sin2α=2sinαcosα，化简整理约去cos36°、sin18°就可以求出原式的值.

3.凑出特殊角

例3 求tan18°+tan42°+3tan18°tan42°的值.

解 tan60°=tan（18°+42°）=tan18°+tan42°1-tan18°tan42°，即tan18°+tan42°

=tan60°（1-tan18°tan42°），整理得tan18°+tan42°+3tan18°tan42°=3.

点评 本题中的18°、42°都不是特殊角，不难发现由18°+42°凑出60°，然后利用两角和的正切公式tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ，变形整理就可以求出原式的值.

参考文献：

[1]杜红全.例谈高考数学三角形中最值问题[J].中学生数理化（高二数学），2018（Z1）：5-6.

[责任编辑：李 璟]