妙用定比分点公式巧解题

胡贵平

摘 要：有向线段的定比分点是普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4知识点，妙用定比分点坐标公式解题，解法新颖，可以极大开拓思维，提升数学学科素养.

关键词：定比分点;坐标公式;巧解

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0033-03

P1P=λPP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比，当点P在线段P1P2上时，λ>0;当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时，λ<0.定比分点向量式OP=11+λOP1+λ1+λOP2，定比分点坐标式x=x1+λx21+λ，y=y1+λy21+λ（λ≠-1）.定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系，灵活应用这个公式，可使解题过程简洁明快，充分展现思维的独创性.下面举例说明它在解题中的应用.

一、证明不等式

例1 （选修4-5第29页第4题）已知a>b>c，求证1a-b+1b-c+1c-a>0.

证明 因为a>b>c，设b=c+λa1+λ，则λ>0，

所以1a-b+1b-c+1c-a=1a-c+λa1+λ+1c+λa1+λ-c+1c-a=（a-c）（1+λ+1λ）>0.

例2 （选修4-5第21页例2）如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，则糖的质量分数为ab.若上述溶液中再添加m kg白糖，此时糖的质量分数增加到a+mb+m.将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.

解 可以把上述事实抽象成如下不等式问题：

已知a，b，m都是正数，并且a<b，则a+mb+m>ab.

下面用定比分点给出证明.

a+mb+m=ab+mb·11+mb，设λ=mb，在x轴上取P1（ab，0），P（a+mb+m，0），P2（1，0）点，因为a，b，m都是正数，且a<b，所以λ>0，点P是点P1和点P2的内分点，所以a+mb+m>ab.

例3 （选修4-5第29页第4题）设x，y为正数，且x+y=1，证明（1x2-1）（1y2-1）≥9.

证明 因为x+y=1，所以0<x<1，0<y<1.设x=λ1+λ，则y=1-x=11+λ（λ>0），

所以（1x2-1）（1y2-1）=（1+2λ+λ2λ2-1）（λ2+2λ）=5+2λ+2λ≥5+22λ·2λ=9，当且仅当λ=1，即x=y=12时，取得等号.

评注 若证明的不等式可变形或者构造出a+bg（x）1+g（x）部分，可以考虑应用定比分点公式来证明.

二、解不等式

例4 （2015江苏）解不等式x+2x+3≥2.

解 原不等式可化为在x轴上2x+3≥-x+2，在x轴上取P1（x-2，0），P（2x+3，0），P2（-x+2，0）點，则定比λ=P1PPP2=2x+3-（x-2）-x+2-（2x+3）=x+5-3x-1.当x=-5时，λ=0，原不等式等号成立;当x=-13时，λ不存在，原不等式等号成立;当x≠-5，x≠-13时，点P外分P1P2的定比λ<0，即x+5-3x-1<0，即（3x+1）（x+5）>0，所以x<-5，或x>-13.综上，原不等式的解集为xx≤-5，或x≥-13.

例5 解不等式1<x2-2x-1x2-2x-2<2.

解 在x轴上取P1（1，0），P（x2-2x-1x2-2x-2，0），P2（2，0）点，则点P内分P1P2的定比λ>0， λ=P1PPP2=x2-2x-1x2-2x-2-12-x2-2x-1x2-2x-2=1x2-2x-3，所以1x2-2x-3>0，即x2-2x-3>0，所以x<-1或x>3，故原不等式的解集为xx<-1，或x>3.

评注 形如f（x）>m、f（x）<m，以及a<f（x）<b的不等式，都可以考虑应用定比分点公式解决.

三、数列

例6 （必修5第46页第3题）已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和，求证S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列.

证明 由Sn=na1+n（n-1）2d，得Snn=a1+（n-1）d2，所以Snn是等差数列.取共线三点的P1（6，S66），P（18，S1818），P2（12，S1212），设点P分P1P2的定比为λ，则18=6+12λ1+λ，S1818=S66+S1212λ1+λ.所以λ=-2，S1818=S66+S1212（-2）1-2，即S18=3S12-S6，所以S6+（S18-S12）=S6+（3S12-S6）-S12=2（S12-S6），故S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列.

例7 （2015重庆理）在等差数列an中，若a2=4，a4=2，则a6=（）.

A.-1B.0C.1D.6

解 数列an是等差数列，取共线三点的P1（2，4），P（6，a6），P2（4，2），设点P分P1P2的定比为λ，则6=2+4λ1+λ，a6=4+2λ1+λ.所以λ=-2，a6=0.

评注 数列an是等差数列，则Snn也是等差数列，它们中的项都是直线上孤立的点，共线三点就可以考虑定比分点.

四、解析几何

例8 （必修2第90页第6题） 经过点P（0，-1）作直线l，若直线l与连接A（1，-2），B（2，1）的线段总有公共点，找出直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围，并说明理由.

解 显然直线l的倾斜角α≠90°，设直线l的方程为y=kx-1，点M是直线l与线段AB的交点，则点M内分AB（M与B不重合）的定比λ≥0，此时M（1+2λ1+λ，-2+λ1+λ）.又点M在直线l上，所以-2+λ1+λ=k（1+2λ1+λ）-1，解得λ=k+12-2k ，所以k+12-2k≥0，即-1≤k≤1.因此，倾斜角的范围是0°≤α≤45°，或135°≤α<180°.

例9 （必修2第89页第5题）已知A（1，2），B（-1，0），C（3，4）三點，这三点是否在同一条直线上，为什么？

解 设C′（3，y）是直线AB上一点，C′分AB的定比λ，则3=1-λ1+λ，y=21+λ.解得λ=-12，y=4.所以C′（3，y）和C（3，4）重合，所以三点是在同一条直线上.

评注 直线上的三点是定比分点的典型形式.

五、函数

例10 （2005江苏）函数y=log0.5（4x2-3x）的定义域为.

解 由题意，得log0.5（4x2-3x）≥0.则由对数函数性质，得0<4x2-3x≤1.

在x轴上取P1（0，0），P（4x2-3x，0），P2（1，0）点，则点P分P1P2的定比λ=P1PPP2=4x2-3x1-（4x2-3x）=x（4x-3）-（x-1）（4x+1）.当x=0时，λ=0，函数没有意义;当x=1，x=-14时，λ不存在，函数有意义;当x≠0，x≠1，x≠-14时，点P内分P1P2的定比λ>0，即x（4x-3）-（x-1）（4x+1）>0，即x（4x-3）（x-1）（4x+1）<0，所以-14<x<0，或34<x<1.综上，求得函数的定义域为[-14，0）∪（34，1].

例11 求函数y=1+cosx3-2cosx的值域.

解 由y=1+cosx3-2cosx，得y=13+（-12）（-23cosx）1+（-23cosx）.取三点的P1（13，0），P（y，0），P2（-12，0），则点P分P1P2的定比λ=-23cosx.所以λ∈-23，23.当λ=-23时，ymax=2;当λ=23时，ymin=0，故函数y=1+cosx3-2cosx的值域为0，2.

例12 当x为何值时，y=x2-6x+10+x2+4有最小值，并求此最小值.

解 由y=x2-6x+10+x2+4，得y=（x-3）2+1+x2+4.取三点的P1（3，1），P（x，0），P2（0，-2），问题转化为在x轴上求一点P，使P1P+PP2的值最小.当这三点共线时，P1P+PP2的值最小.设点P分P1P2的定比为λ，则x=3+λ·01+λ，0=1-2λ1+λ.解得x=2，λ=12.所以当x=2时，y取得最小值，ymin=22-6×2+10+22+4=32.

评注 函数能够化为形如y=a+bg（x）1+g（x）求值域，可以考虑用定比分点求解;形如y=x2+bx+c±x2+dx+e的函数最值，转化成距离问题后，再用定比分点求解.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书（ 必修）数学4[M].北京：人民教育出版社，2017.

[责任编辑：李 璟]