初中几何教学“最值”的解法

曲祥春

摘要：中考几何最值问题属于综合题的一个难点，其所涉的知识面广，综合性强，题型新颖，较好地考查出学生对知识点的理解、领悟能力偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是I解析丨圆锥的侧面展开图是1/4和创新能力以及数学核心素养的培养。在解题教学中，要高度重视此类数学问题的基本模型，导向通过建模的过程，让学生深刻体会基本模型对解题的重要性。

关键词：初中数学;最值基本模型

几何中的最值问题属于中考题型中的热点，也是难点。教学中发现，学生在解决此类问题时，主要有两方面的困难：一是对解决此类问题的常用的几种数学模型理解不到位;二是此类问题常以动态问题形式出现，学生由于难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手。

解答此类几何最值问题主要依据的定理：（1）两点之间，线段最短;（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短;（3）三角形任意两边之和大于第三边或三角形任意两边之差小于第三边（三点共线时取得最值）。最值问题是近年来中考常见的题型，根据不同的题型特征，建立模型，依据上述定理从而解决问题。下面结合部分教学实例谈谈解决此类问题的方法。

—、基本模型

1、两点之间，线段最短例1：如图1，有一个圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6cm的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是__。

【解析】圆锥的侧面展开图是1/4圆，根据两点之间，线段最短，确定起点和终点，从而由勾股定理求出答案。由扇形弧长公式知，可得

。

2、垂线段最短

例2：如图2，在RtAABC中AB=10，ZBAC=45°，ZBAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值__。

【解析】首先找出点B关于直线AD的对称点B'，因为AD为ZBAC的平分线，所以B'在斜边AC上且AB、AB，再过点B'作B'F丄AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B'F的长即为所求.（点到直线的距离垂线段最短）在Rt△AFB'中，∵BAC=45°，AB'=AB=10，，。

3、三点共线

例3：如图3，ZMON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，當B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）。

【解析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知：当0、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，，。故选A。

二、常用方法

1、轨迹法

对于线段最值问题，若线段的一端点是定点，另一端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是一条直线，可以用“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆（或一段圆弧），可以用“圆最值模型”解决。

例4：如图4，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x=l和x=4上O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为__。

【解析】如图4，设直线x=l和x轴交于点E.作BF丄直线x=4点F，因为平行四边形OABC，所以OA和BC平行且相等，可得厶AOE和ACBF全等，所以OE=BF，可得点B的轨迹是直线x=5.当点B在x轴上时，OB丄直线x=5，此时OB最小，最小值为5。

圆最值模型：如图5，P是〇0外的一点，直线PO分别交〇O于点A，B，则PA是点P到〇O上的点的最短距离，是点P到〇〇上的点的最长距离。

证明：如图5，在〇0是任取一点C（不为A，B），连结PC，OC。

QPO

如图6，在〇0是任取一点D（不为A，B），连接PD，OD。

QP〇+OD>PD，PB=PO+OB=PO+OD，...PB>PD，即PB是点P至IJ〇0上的点的最长距离。

例5：如图7，RtAABC中，AB丄BC，AB=6，BC=4，P是厶ABC内部的一个动点，且满足ZPAB=ZPBC，则线段CP长的最小值为（）。

【解析】根据ZPAB=ZPBC，可得ZAPB=90°，故点P在以AB为直径的圆上（如图4）取的AB中点0，OC交〇0于点P，根据圆最值模型知，此CP时最小。

QOP=+AB=3，OC=5，CP的最小值为OC-OP=5-3=2。选B。

2、转化法对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运用转化法，将它转化为求与之有关的另一条线段的最值。

例6：如图8，在等边AABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点p关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是_____。

【解析】如图8，连结AP，AM，AN，由对称可得AP=AM=AN，ZBAP=ZMAB，ZCAP=Znac，ZMAN=2ZBAC=120。厶AMN是顶角为120°的等腰二角形，可得MN=V5AM=V5AP.于是求线段MN长的取值范围，就转化为求线段AP长的取值范围.AP最小为AP垂直BC时，最大为AB，AP的取值范围是2VI

3、函数法

当线段最值问题从几何角度很难求解的时候，可以考虑引入参数，建立函数模型，用函数法来解决。

例7：如图9，在AABC中，AB=AC=，BC=2，点P是AB边上的动点（不与点A，B重合）.过点P作PE//BC交AC于点E，作PF丄BC于点F，连结EF，M是EF上的点，且EM=2FM，则PM的最小值是_。

解析1由条件“AB=AC=，BC=2”可知AABC是确定的，tanB=2;又根据作图可知△PBF形状也是确定的，并且有PF=2BF.所以，分析可得PM的大小取决于BF的大小，所以引入参数。

，化简得。所以当时，PM有最小值，最小值为。

在最值问题的教学中要注意重视引导学生分析题意，注重基本模型，让学生深刻体会不同类型的题目最终都可以化归为几个简单的模型，从而能较为轻松的解决相关问题。

参考文献：

[1]浅谈一类动点问题最值的求法[J].符振勇.数学学习与研究.2018（22）

[2]最值常求方法要优[J].彭现省.数理化学习（初中版）.2018（12）

[3]对一道几何题的解法探究及思考[J].丁坚锋.数学教学通讯.2018（11）