渗透合情推理的教学设计研究

张 昆 (淮北师范大学数学科学学院 235000)

罗增儒 (陕西师范大学数学与信息学院 710061)

根据康德的哲学观点，个体发生认识的心理活动分为互相配合的三方面要素：其一，使用感性直观考察问题所给予现象性条件的特点，从这些条件的外观上试探可否配置成一种具有或强或弱的关联线索，从而形成有机性的信息轮廓；由这个信息轮廓促使“知性(探究某些现实要素及其形成联系的正确性程度[1])探究(精神)”考察与判断由前述感性直观所构建的联系线索中哪些是比较可靠的，哪些是比较不可靠的、最后由“理性论证(精神)”体现其方式通过(公理化思想的)逻辑途径，通过理性精神自身的方向性探究与选择，在“知性探究(精神)”的辅助下，论证那些比较可靠的信息轮廓是真确的[2]，从而生成知识．

1 合情推理的内涵与教学价值

在发生认识心理活动的这三个要素中，由“感性直观”与“知性探究(精神)”研究外在客观数学化信息因素，所综合得到的信息轮廓及其组成轮廓要素之间的联系线索的心理活动过程称为合情推理．合情推理的结果不一定符合关于数学成果的真理性判断标准，其结论还没有得到完全的确证．合情推理的形式不同于演绎推理的逻辑形式，归纳、类比、直觉等是它常用的思维方式．然后，在使用“理性论证(精神)”证明所发现的这个信息轮廓的真理性时，又需要使用“知性探究(精神)”对证明思路的某些重要环节加以猜想与试探，最终得到逻辑通路．因此，“知性探究(精神)”在合情推理中起着非常重要的作用．

波利亚说：“数学被人看作是一门论证科学，以最后的确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的论证性的材料.然而，数学的创造过程是与其他知识的创造过程一样的．在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试．只要数学的学习稍能反映出数学的发现过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置.”[3]利用数学课程资源培养学生的创造性思维与创新精神，合情推理是其中的重要内容．

但是，逻辑性是由对事物的内在秩序的猜测所组成的——确实有一种明确无误的内在秩序可作猜测并且获得最终结果．打一个比方，逻辑过程仿佛已经淘去砂粒而留下金子，它是将金子、而不可能把沙里淘金的那种艰难的过程琳琅满目地展示在展示台上．逻辑论证是论题的一种属性而非精神过程的属性，然而合情推理也即猜测不论在心算中还是在创造性思维中都是最本质的东西．演绎推理的认知方式，它的特点是将经由合情推理的发现过程洗尽铅华、褪去尘滓，简练到一尘不染，但是，如果不是阅读他人已经提供的现场结论，可能不知道自己是否也可以获得这种说服他人的力量的心理途径[4]．

神经生物学家霍勒斯·巴洛把问题表达得更简洁：“智力就是作猜测——当然不是旧有的猜测，而是在于发现面临外在信息一种新的、内在的秩序．出色的猜测清楚地将很多方面都包括进去了：找到问题的答案或者论点中的逻辑关系；碰巧想到一个合适的比喻；建立一种令人愉快的和谐关系，或者作出一种机智的答复，或者预测即将发生的事情．这是因为，在我们的脑中存在某种先天的接线，把至少是某些感觉模板和相应的动作指令之间联系起来了，以至对于某种程度的模仿，脑中接线是先天布好的．确实，很多时候我们会习惯地甚至是下意识地对面临外在的全新信息猜测它可能具有的结构或者下一步要发生什么.”[5]由此，合情推理的教学价值可以略见一斑．

作为数学问题，数学结构形式并非数学关系的自然呈现，而是我们大脑中已有的数学形式将外在数学信息赋予了新的数学结构形式，猜测在这种新的结构形式的发现中起着极其重要的作用．波利亚通过研究欧拉应用归纳与类比发现数学结论的例子，令人信服地证实了合情推理的创新价值，正是这种合情推理推动了数学新发现．合情推理的主要形态是猜想，合理的猜想是带有一定直觉的高级认识过程，猜想是许多数学知识发生的思维起点．那么，对于一般的数学发现而论，究竟在什么关键性的环节上需要合情推理的辅助呢？

依据康德哲学学说，主体是利用自己意识中直观性的先验格式(对于数学而言，是由已经学习掌握了的真理性知识构成的)来罗列万象、整顿乾坤的．这就是说，外在于主体的客体信息，是由人类心理已经具有的观念(源于真理性的知识或曾经经历过的活动而形成的经验等，提供给主体面临新问题时的活动意向或指令[6])而赋予了它的结构与意义的，否则，客体就是无意义的“物自体”[1].而这种赋予外在信息以意义的过程就是经由“感性直观”与“知性探究(精神)”所进行的一系列的合情推理的心理活动过程．

在发生数学知识思维活动的过程中，发现决定问题信息结构本质(势必设法使题设条件信息组成正确率比较高的脉络轮廓——结构的雏形)才能达成，从而决定选择与利用数学知识(其实是知识结构与信息轮廓互相适应的过程)，组织外在信息，生成有价值的信息轮廓．否则，数学化信息如何才能成为真理性的数学知识？那么，这种赋予数学化信息以结构与意义的究竟是一种怎样的过程呢？

首先，主体从外在数学化信息中选择并确定出“支点信息”，选择“支点信息”的心理活动又是由外在信息与已经内化并保存在意识结构中的数学知识结构(即“先天格式”)之间的互相吸引、相互诱导、相互调整而获得的.其次，在“支点信息”做成的“凝聚核”的作用下，外在诸多信息组织成一种脉络轮廓.最后，由这种信息轮廓提示主体选择数学知识(“先天格式”)封装信息脉络轮廓，获得数学化信息的结构的思路(图1)．

由此我们认识到，在分析数学化问题信息的时候，主体对信息脉络轮廓构成的结构真确性没有确定的把握．因此，首先依据信息的某个侧面(“支点信息”)赋予支点信息决定的知识结构，在将信息组织成具有知识结构的意义(如果不成功，就会重新定位出“支点信息”，再做一轮循环)这个环节时，一定离不开猜想(即合情推理)的作用．那么，在教学设计及其课堂实施中，如何选择进入数学课程的教学内容，启导学生萌生合情推理的意向呢？

2 渗透合情推理的教学设计示例

在基础教育数学课程的教学内容中，可以开拓出渗透合情推理的典型实例使学生能够深入地体验吗？回答是肯定的，但这要仔细分析具体数学知识的特点，由此精心设计教学，可以达到目的．从实现培养学生合情推理的目标出发，在数学原理性知识(公式、定理、法则、公理等)教学中，教学设计及其课堂实施的有效途径分为两步：其一，关于原理命题的发现过程；其二，关于原理命题的证明过程．第一步主要就是使用合情推理，第二步探究命题证明思路过程中的主要环节也需要使用合情推理．现举例加以说明．

2.1 在数学公式教学中渗透合情推理

例1等差数列的前n项和公式的猜想与发现．

师：数学上求和的结果用符号S表示，我们就将等差数列{an}的前n项和用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an-1+an①．①式表示的是等差数列的前n项和的一种记号方式，但若用①式一个数一个数地进行累加求和，就要进行比较繁杂的计算．对于特殊的等差数列的这种条件下的①式进行求和，能否使计算简单些？

生：我们想通过等差数列性质，探讨能否找到①式的一种简单的表达式——求和公式．

师：老师也是如此想的.这一表达式的结构形式究竟是什么呢？我们假设这种表达式的确存在，在这种表达式的结构形式中，猜想有可能存在那些组成元素呢？

生：……

师：好！大家想想，①式的右边有n项，这个n是一个变量，n的变化肯定要引起Sn的变化；我们又由等差数列的通项公式知道，如果一个等差数列中的某两项确定了，或者是某一项与公差确定了，则这个数列也就确定了．我们猜想，明确地确定了一个等差数列，等差数列的前n项和也就确定了．如果这种猜想正确，那么Sn表达式结构中的元素可能有——

生1：可能有n，因为等差数列的前n项和随着项数的变化而变化．

生2：还可能有①式右端的n项中的两项．

师：对于生1的猜想，我们很好理解，因为如果n确定了，这个求和的值也就确定了，n的改变会引起前n项和的变化．生2可否谈谈你的理解？

生2：因为求和公式包含这个等差数列的所有项，故此，它的表达式中就一定要反映这个数列的所有项.由等差数列的特殊性，只要已知两项就可以确定等差数列的所有项，因此求和表达式Sn应该是只需要含有等差数列中的两项就可以达到目的.事实上，是用两项来代替等差数列的所有项，并且由于是数列求和，这两项还一定是相加．

师：好！生2很有洞察力，他的猜想说来很有道理.如果猜测不错的话，依据生2的思考，我们不妨在①式右端的n项中取两个特殊的项，即a1和an．于是，Sn表达式结构中的元素可能有n,a1和an，且a1+an一定会作为整体出现．

生3：老师，如果Sn表达式结构中具有n,a1和an这些元素，则由等差数列的通项公式，知这个表达式也就可以转换成n,a1,d来表示．

师：好！生3的数学视野很宽阔，希望你继续探究下去，我们后面再行研究，相信会有收获．现在还是依据前面的想法来处理问题，即考虑确定将Sn用n,a1,an来表达．由于a1和an是数列中的已知项，那么在Sn的这个表达式中只有n是可变动的，即Sn可以看成是n的函数Sn=f(n)．现在的问题是如何确定Sn=f(n)这个函数的相关表达式．

生4：我想先从特例入手，S2=a1+a2②．

师：生4虽然没有进行下去，但解决问题时的这种试探对我们发现思路、获得灵感有极大的帮助．前面猜想Sn是n的函数，即Sn=f(n)．

师：精彩！再看S3=a1+a2+a3③，我们如何处理呢？

师：生5突破了关键的一步．那么，S4=a1+a2+a3+a4的结果的表达式是什么？大家知道，a1+a4=a2+a3，故S4= (a1+a4) + (a2+a3)=2(a1+a4) ⑥．但⑥式的S4还不是含有4的表达式，该怎么办？

师：好！我们现在可以猜想Sn的表达式了.大家想想，这个表达式是什么？

通过这个例子[7]可以看出，在公式教学设计中，重要的教学价值不在于证明公式的逻辑过程，而是公式结构本身的发现过程，证明过程只是说服他人承认公式的正确性.虽然在寻找证明的逻辑途径时，学生必须要有智力的投入，从而发展学生的思维能力，但是这种发现公式的过程更具价值，它是新的数学知识的诞生，学生从中形成发现新知识的一系列的探究能力．

2.2 在定理教学中渗透合情推理

例2正弦定理的猜想与发现．

图2

师：图2是一个三个角不相等、三条边也不相等的三角形．请大家观察，这三个角分别与它们的对边具有怎样的大小关系？

生：大角对大边，或者大边对大角．

师：好！就是说，当A

师：①与②只是一种定性的结论．我们知道，定性是哲学或科学上采用的研究方法，当然也是数学的重要研究方法之一．但是，从某种程度上说，数学还可以对定性研究更加准确地刻画，那就是，它更强调定量研究的方法．大家看，对于①与②两个相互关联的不等式，可加以定量地刻画吗？

师：生1提出了非常好的猜想.那么，比例式③是否成立？

师：还可以进行改进再试一试吗？同学们有什么想法？

师：那么，等式④成立吗？

在人教版数学教科书八年级上册，学生学习“等腰三角形”知识时，就已经讨论了三角形的边角关系——“大边对大角”，或者“大角对大边”．由此，构成了猜想的出发点，生成了组织信息的猜想③，经检验发现它不正确，于是，由猜想③生成了猜想④，没有实例可以否定它，我们进而设法证明它．

2.3 在解题教学中渗透合情推理

在解题教学设计及其课堂实施活动过程中，要实现培养学生合情推理的教学目标，主要体现在从题设条件信息导向结论论证途径的关键环节中，需要实现的线索往往是合情推理的用武之地．

通过解题分析过程可以发现，猜想“{bn}是等比数列”是盘活这盘棋的一个关键的“棋眼”，通过猜想意识到了解决问题思维展开的环节要点，也找到了条件所确定了的真正内涵，成功地确定了解决问题的思路.由此认识到，合情推理在发现思路中的重要作用．

3 结语

利用课程资源，渗透数学合情推理是可以实现的．教学设计中，引导学生对知识发生进行猜测的过程是至关重要的，学生正是在这种不断的猜测与探究过程中巩固了所学的数学知识，开拓了应用已经掌握的数学知识解决问题的方法，形成了各种各样的试探解决问题的观念.这些观念的不断累积构成了学生的数学观念系统——产生分析问题、解决问题的数学意识，达到培养学生创造性思维的目的，而这正是数学教育教学目标的精髓所在．可以如此说：寻找问题思路的这种猜测有如“十月怀胎”，这是一个艰苦漫长的过程，它要吸收各种各样的营养以滋养数学观念胚胎的发育，当这种胚胎孕育成熟时，便可“一朝分娩”了．