读懂教材融通自来*

2020-09-03江苏省滨海中学224500

中学数学月刊 2020年8期

(江苏省滨海中学 224500)

章建跃博士提出数学教师应做到“三个理解”，即理解数学、理解教学、理解学生，其中“理解数学”既是课堂教学“预设”的前提也是“生成”的关键．作为教师，只有清晰地知道“教什么”，理解所教内容“是什么”，深知教学内容及其蕴含的数学思想方法，并把数学知识背后的价值观资源挖掘出来，以与学生智力发展水平相适应的方式表达出来，再以恰当的方式传递给学生，才能有效地实现数学课程的育人目标．而理解数学的前提是读懂教材，因为教材是教师教、学生学的主要载体，教材为学生的学习活动提供了主题、基本线索和知识结构，是教学研究、教学评价和各类考试命题的重要依据，同时教材是众多专家精心编制、经过教学实践不断检验、逐步完善与发展起来的，具有较高的学术价值．可见读懂教材、理解课本是有效教学设计的关键，是实现数学教学融通的有效手段．

但是，当前的数学教学中，不重视教材、甚至远离教材的现象大有存在．一些学校过度依赖导学案，教师按导学案上的规定程序展开教学，教材被弃置一边，连用都不用，更谈不上读懂教材了．高三复习本是重新解读教材、构建知识网络、提升数学理解的绝佳时机，但现实中，高三教师使用教材者微乎其微，基本知识的复习大多以“结论式告知” “对答案式填空”的方式进行，完全掩盖了生动活泼的思维过程．一些教师受自身能力所限，对教材理解不到位，常止步于教学参考书的解释，解读教材很难做到“深入浅出”．在目前的评价机制下，数学概念、原理的教学中，“一个定义三项注意” “掐头去尾烧中段”已成普遍现象，教师不注重知识生成、生长、发展的过程，关注的是对题型、讲技巧、拿高分，读懂教材、理解课本似乎已不那么重要了．有鉴于此，笔者选择几个视角，结合具体例子，谈谈如何读懂教材，以实现理解的融会贯通，意在抛砖引玉，恳请同行们批评指正．

1 解读数学内涵

数学内涵是数学对象所具有的本质属性和内在规律.把握数学内涵是深刻理解数学概念、原理的前提，只有理解了数学概念、原理的内涵，分析问题和解决问题才有可能，数学探究活动才能得以进一步展开，教学设计才能精准施策、立意深远，课堂教学也才能既有厚度又有高度．因此，数学教师要善于深入挖掘和剖析教材，对教材仔细揣摩、反复琢磨、刨根问底，深入解读每一个概念、原理的数学内涵，力求获得对教材内容的透彻理解．只有把握得准、钻研得深，教学才能站得高、教得透，才能游刃有余、尽情发挥．这就要求教师平时要加强学习、广泛阅读、多查资料，扩充自己的知识面，力求在解读教材时触及精髓、透析本质，从而避免出现浅尝辄止、不求甚解的现象．

例如在“平面的基本性质”一节中，教材并未具体指出平面具有哪些基本性质，而是研究了3个公理及3个推论.这是为什么呢？要理解教材的这种安排，就需要我们把握平面基本性质的数学内涵．通过查阅资料可知，教材中的几个公理其实是用来定义点、线、面等几何元素及其之间的关系的，也就是说满足了这些公理的数学对象就叫点、直线、平面．我们知道，平面是一个原始的、不加定义的数学概念，只能对它进行形象化的描述，平面具有平的、没有厚薄、无限延展等特性，由上述分析可知，这些特性应该借助公理来刻画，而刻画的方法是利用组成平面的元素(点和线)与其之间的关系来进行．这样我们就理解了教材的意图：不直接研究平面的性质，而是借助刻画平面的平、没有厚薄、无限延展等特性的公理间接地来研究，进而通过点和面、线与面、面与面的关系来进行刻画.基于这样的理解，教学设计就精准对路，教学过程也就自然清晰了．

再如，教材在“数系的扩充”一节中，平铺直叙地介绍了数集每一次扩充的过程，但对为什么这样扩充、扩充的基本原则及虚数单位i是如何产生的都交代不清，这就需要教师深入研究教材，挖掘数系扩充的内涵．事实上，数系扩充的动力来自于数学外部即社会生产生活的需要和数学内部自身发展完善的需要，而扩充的基本原则有三条：一是新的数集是在原有的数集中添加一些“新数”得来的；二是新添加的数可以与原来的数进行原有的运算且原有的运算律依然成立；三是新数集可以解决某些运算在原来数集中不能实施的矛盾．基于这样的认识，我们可以设计下列问题串来引导教学过程：

问题1 从社会生活来看，数的概念是从生产生活实践中产生和发展起来的，请你谈谈自然数、分数、负数、无理数是如何产生的？

问题2 方程x+ 1 = 0，3x- 2 = 0，x2= 2，x2+ 1 = 0分别在自然数集、整数集、有理数集、实数集中有解吗？如果无解，怎么办才能使其有解？

问题3 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在自然数集、整数集、有理数集、实数集中，任意两个数运算所得的结果是否仍属于这个集合？

问题4 从刚才的讨论中，你能否总结一下数系扩充应该遵循哪些基本原则？

问题5 现在我们要进行数系的再一次扩充，就是要解决什么问题？如何解决呢？

显然是要解决负数开偶次方的问题，进而转化为负数开平方的问题，最终要解决-1开平方的问题，这样虚数单位i的出现就自然而然、顺理成章了．

(1) 本实验中光照强度的大小是通过控制____________来实现的；光合作用速率是通过____________反映出来的；产生的气泡中的气体主要是____________。

2 追溯背后道理

数学因为结构体系的和谐及研究的方便，常需引入一些人为的规定，教材中这样的规定比比皆是．教材常常以简约严谨的语言陈述学习内容，缺少数学知识的发现创造过程，结论性的表述掩盖了火热的思维过程和艰辛的探索历程．而且教材在一些无需学生了解的地方作了刻意的回避，对这些规定、回避、表述，虽不需要学生全部掌握，考试也不考，但作为教师必须搞清楚为什么这样而不那样规定、这样表述的合理性在哪儿、这个地方为什么要回避，只有这样教学才能做到“不仅讲推理，更要讲道理”，所以数学教师要对这些内容进行追问反思、穷根究底、深度理解，搞明白背后的道理、讲清楚背后的故事，从而化解学生可能出现的疑问，让学生心悦诚服、豁然开朗.正如特级教师裴光亚所要求的，“在数学家不可说的地方找到说法”.

例如教学复数时，教材(苏教版选修2-2)在3.3节例2中要求比较两个复数模的大小，但对两个复数能否比较大小作了回避．一次一个学生向笔者提出：2+4i>2+2i成立吗？他认为是成立的，理由是这两个复数实部相等，虚部大的肯定也大．面对学生提出的疑问，如果仅以“两个不全是实数的复数不能比较大小”来回答，肯定不能让学生信服，甚至会浇灭学生宝贵的思维火花.对此笔者并不急于回答，而是反问学生“3+2i<4+2i成立吗？”“3+2i<4-i成立吗？”至此，学生若有所悟.此时再向学生解释：因为复数是二元数，如果仅以实部或虚部来比较复数的大小，就会造成比较标准的不一致，而标准的不一致不仅使两个复数难以比较，而且还会破坏数学结构体系的和谐与统一．等到学习了复数的几何意义后，学生发现复数不仅有大小(模)，还有方向(角)，再类比向量就不难理解这个问题了．

3 突出知识联系

世界是普遍联系的，联系是有规律的，站在联系的角度认识事物有利于把握事物的本质和规律．数学知识具有很强的系统性，很多新知识都是在已有知识的基础上形成和发展的，数学知识之间的内在关联和相互渗透形成了数学知识的整体性和连续性，数学知识结构化、网络化和丰富联系的程度决定了数学理解的深度和广度．因此教师要站在联系的高度来解读教材，理解教学内容切忌就事论事、固步自封，要环顾四周、瞻前顾后；要突出知识的前后联系，在联系整合中理解知识的关联性、整体性、逻辑性，从而使新知识能容易地纳入到学生已有的知识结构中，顺利地实现知识的同化与顺应．

4 挖掘思想方法

数学思想是对数学知识的本质认识和基本观点，数学方法是解决数学问题的具体策略和手段，是数学思想的具体反映．如果说数学知识是数学的躯体，那么数学思想方法就是数学的灵魂，它统率着数学知识结构体系，是真正理解数学的精髓．数学教学中，只有把数学思想方法与知识技能融为一体，这样思想方法有载体、知识技能有灵魂，才能够帮助学生真正理地解数学.而数学思想方法不可能经过一两次就能正确认识并获得迁移，需要在长期的教学中，点点滴滴地孕伏、断断续续地再现、若隐若明地引导、日积月累地强化，这样才能使学生达到掌握的程度[1]．因此，教师在解读教材时要深入挖掘内容所蕴含的数学思想方法，以数学思想方法来统率教学，切忌浮光掠影、漂在水面；要把相关内容放在整章、整单元、整个模块、整个高中数学中去思考，探寻贯穿其中的核心思想方法，据此确定知识发展的逻辑线索，合理安排思维活动，优化学生思想品质，培育和发展数学核心素养．

比如苏教版必修5第1.1节“正弦定理”中，教材写道：我们可以通过下面的途径尝试证明上述结论：①转化为直角三角形中的边角关系；②建立直角坐标系，利用三角函数定义；③通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题；④利用向量的投影或向量的数量积．这段话指出了证明正弦定理的四种方法，那么这四种方法中，讲几种？讲哪几种？这令不少老师感到为难．此时若从数学思想方法的角度来分析，问题不在于证法的多少，关键在于能否从中挖掘与提炼出一般的数学思想方法，然后再选择适合的证明方法．事实上，证法①以三角形的高作为不变量建立等量关系，证法②以三角形某一顶点的纵坐标为不变量建立等量关系，证法③以外接圆直径作为不变量建立等量关系，证法④以数量积作为不变量建立等量关系．不难发现，不变量的思想是一条主线，贯穿于四种证法之中；同时这四种方法都是通过垂直关系将问题转化为直角三角形或向量垂直，再利用边角关系或数量积为零获证结论，无论哪种方法都渗透了不变量思想和转化化归思想．这样就看清了证明方法的本质特征，也就不难理解为什么教材接着只详细介绍了方法①和方法④.因此只要掌握了核心的数学思想方法，我们就能登高望远、悟透实质，就不会再在方法的取舍上纠结了．

再如,在“空间角”的教学中，教材只是简单介绍了异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念，在角的计算、论证等方面要求不高.但这不能成为我们忽视这部分内容、降低教学要求的借口，否则会直接影响学生空间想象能力及直观想象素养的提升．因此，我们要跳出教材，站在三种角的联系的角度，挖掘三种角的统一性.三种角是刻画异面直线、直线与平面、平面与平面相交程度大小的，它们都要转化为相交直线所成的角来度量，体现了空间问题平面化的思想；三种角的统一性还表现在它们之间是可以相互转化的，线面角可以转化为异面直线所成角，二面角可以转化为异面直线所成角，也可以转化为直线与平面所成角.从这两个角度出发，就产生了计算空间角的两种基本方法——综合法和向量法．可见思想指导方法、方法辉映思想，解读、挖掘出内容所蕴含的数学思想方法是读懂教材的重中之重．

5 开发例题价值

图1

如苏教版必修5第3.4节例3：过点P(1.2)的真线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程(图1)．

这道题涉及直线的方程、基本不等式等知识，教材在这里安排这道例题，目的是训练基本不等式的应用．由于必修2的解几内容一般安排在必修5前教完，所以大部分教师在教学必修2时，已补充讲完这道题了．因为当时没学基本不等式，于是就采用配方法或“勾形函数”性质来求△AOB面积的最小值，再到必修5时，有些教师觉得简单，可能会舍弃这道题，从而丧失了开发该题价值的良好机会.

首先，题目是求△AOB面积S的最小值，说明S是变化的，就需要寻找S变化的“动因”，即S变化是由什么引起的.不难发现，直线l的位置变化导致了S的变化，这时就需要确定刻画“动因”的量.经过分析，可选择直线的斜率k，或横截距a、纵横距b来刻画直线位置的变化，这就是变量分析的思想；然后想办法将S用k或a，b表示，建立S关于k或a，b的目标函数，从而将问题转化为函数的最值来解决，渗透了函数的思想；而设出直线方程，围绕参数k及a，b来探究思路，联立方程(组)，又是待定系数法的直接应用．可以说这道题“简约而不简单”，内涵丰富、意蕴深远，值得深究．让学生充分经历解题思路的探索过程，体悟其中的数学思想方法，有利于学生积累数学基本活动经验、发展和培育数学建模核心素养．