反思学生解题错误 避免课堂教学失误

周荣伟 (江苏省锡山高级中学匡村实验学校 214154)

1 问题提出

案例1在“全民皆宅”的2020年春节期间，我无意中被一个抖音吸引住了视线，标题是“你会解只有x的方程吗？”题目是“解方程：xx=x．”于是微信推荐给了同样“闲得无聊”的学生们求解．不少学生面对该陌生方程一脸茫然、毫无办法，也有些学生脱口而出、秒回答案.学生的解答大致集中在以下几种：

解答1x= 1．

解答2x=-1．

解答3x=±1．

案例2(2017年江苏无锡中考题)某地新建的一个企业，每月将生产1 960 t污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

污水处理器型号A型B型处理污水能力(t/月)240180

已知商家售出的2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型、4台B型污水处理器的总价为42万元．

(1)求每台A型、B型污水处理器的价格；

(2)为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

解析 第(1)题是常规题，用二元一次方程组可求出每台A型污水处理器的价格是10万元，每台B型污水处理器的价格是8万元．

由于①式是不等式，故②式无法通过消元转化为一次函数；或者把②式变形后代入①式，得到一个二元一次不等式．这两种常规的演绎思路都导致无法往下解答，因此该小题的得分率极低．

2 课本再现

(苏科版七上4.2节) 解一元一次方程．

怎样求一元一次方程2x+ 1 = 5, 2x- 1 = 5, 3x- 2 = 4x- 3中未知数的值呢？

填表：

x123452x + 1

当x=时，方程2x+ 1 = 5两边相等．

分别把0, 1, 2, 3, 4代入下列方程，哪一个值能使方程两边相等？(1)2x- 1 = 5；(2)3x- 2 = 4x- 3．

能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程得解．求方程的解的过程叫做解方程．

(苏科版七下11.2节) 不等式的解集．

分别说出使下列不等式成立的x的值：

(1)x- 3 > 0；(2)x- 4≤0．

一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式解集的过程叫做解不等式．

3 反思改进

3.1 “精准”解题教学——由注重写出答案到强调解题过程

众所周知，小学到初中一个比较明显的转变就是从过分追求答案到强调规范解答．小学生更多的是算术思维，直接指向问题解决的答案，而初中生应该是以方程、不等式、函数为工具，直接指向解决问题的过程．案例1中解答1～3给出的只是答案，缺少求解的过程；而解答4～5本质上都是用枚举法求方程的解，且解答5在转化过程中遗漏了“x≠0”的条件．一般地，解一元一次方程是运用等式的基本性质，经历去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1等步骤，将一个一元一次方程转化为x=a的形式．因此，解方程应该用演绎法求解，而不是用枚举法验证．该方程的正确解法如下：

当x= 0时，00= 0无意义；当x≠ 0时，方程两边同时除以x，得xx÷x=x÷x，化简得xx-1=1．

①根据a0= 1(a≠0)，得x-1=0，所以x=1； ②根据1n= 1(n为整数)，得x= 1；③根据 (-1)2n=1(n为整数)，得x=-1，此时x-1= -2，符合题意．因此，原方程的解是x=1或-1．

基于“精准”解题导向，目前不少地方的中、高考题大大减少了填空题的数量，如2019年高考(全国卷)，只留4个填空题；2019年中考试卷填空题数量，河北卷为3个，成都卷为4个，浙江、天津等大多数省市试卷都为6个．因此，在平时的课堂上要更多地关注问题解答的过程，作业评价时要适当减少填空题的数量，尤其是在考试评价中，尽量不要在解答题中出现“请直接写出答案”的形式，这不利于全方位考查学生的思维，甚至违背命题意图．如2019年江苏某地中考试卷的压轴题“若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．”命题意图是利用勾股定理，借助数形结合，从运动变化的角度得出正确答案，而实际上不少补课机构在学习“勾股定理”时增加了“锐角三角形和钝角三角形的判定方法”，若是如此，岂不是造成了新的不公平吗？

3.2 “精准”概念教学——由注重基本解法到强调概念形成

在实际教学中，很多的课堂都是“高铁课堂”：追求速度、遵守预设．例如，在苏科版七年级下第11章“一元一次不等式”的教学中，许多教师课上更加关注的是运用不等式的性质归纳解一元一次不等式的基本步骤，然后亦步亦趋的运用基本步骤解一元一次不等式．对于“4.2不等式的解集”中基本概念的形成，往往轻描淡写、一带而过，并且只重视一元一次不等式的解集，而对于其他形式的不等式不敢越雷池半步.这样就严重扼杀了用枚举法寻求不等式解集的价值，学生在中考中“卡在那里”也就不足为怪了．

案例2的正确解答如下：由①得12a+ 9b≥98，a≥0，b≥0，且a,b都为整数．通过枚举法(如下表)，可知a=6,b=3时，w最小．因此，他们至少要支付84万元．

a9876543210b012356791011w90888684908886929088

心理学认为，数学概念的形成需要不同程度地经历辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤．在教学条件下，概念形成的关键是如下4个步骤：提供一类事物的不同例子，通过辨别分化出各个例子的属性；概括出各个例子的共同属性，进而提炼出本质属性；概括形成概念，并用定义表示；把新概念的本质属性推广到一切同类事物，本质上掌握概念．尤其是最后一步，既是在更大范围检验概念的过程，也是巩固应用的过程，使新概念与原认知结构中的相关概念建立起非人为的、实质性的联系，明确概念的外延．课堂上常常表现为正例、反例的变式练习，还会与当初引进的情境作前后照应，启发学生从名称、定义、属性、范例四个要素上“精准”掌握概念．如：学习了一元一次不等式的一般解法后，应该不忘初心(不等式的解集)，根据定义用枚举的方法研究二元一次不等式的整数解．

3.3 “精准”素养教学——由注重知识主线到强调素养立意

华东师范大学崔允漷教授认为，教师不只是教学生学会读书(知识)，还要教学生学会做事(能力)，更要教学生学会做人(素养)．从这个角度讲，一线教师应该结合具体教学内容，探寻指向核心素养的教学路径与评价，将核心素养落地的“最后一公里”做细、做实．但是，当前很多新授课都是以知识点为课堂教学的主线，如：“4.2不等式的解集”基本是以不等式的解、不等式的解集、解不等式三个知识点为主线展开教学，课后留在学生头脑中的基本上也就是这三个知识点。

诺贝尔奖获得者杨振宁先生在《我的生平》中说：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，在美国学到了归纳能力．演绎若是一种知识，归纳便是一种智慧．我们的课堂应该“精准”素养，全面育人！

笔者在2019年镇江市教师发展中心组织的“特级教师讲师团”系列活动之江南中学站的活动中，开设了以“归纳与演绎”为主线的“再探全等三角形”复习课，赢得了较好的反响，被镇江市教师发展中心徐明主任赞誉为“有见地、有意思、有选择、有创新”的“精准”复习的典范．借鉴“4．2不等式的解集”一课，也可以围绕“归纳与演绎”这条主线展开教学，前两个知识点以“归纳思想”为统领，第三个知识点以“演绎思想”为统领．这样，既强调枚举法(本节课重点)，又渗透基本解法(下节课重点)，学生的核心素养得到发展，以后研究一元二次不等式、分式不等式的解集也就有了基本思路．

“精准”的数学课堂，应该既有数学经验积累(“精准”解题)和知识系统建构(“精准”概念)的过程，也有数学思想方法感悟(“精准”素养)的过程．在教学中，我们要善于利用学生解题的错误资源反思自身的教学，找到错误的本源，立足学情，探寻改进教学的方法．在不断完善中，让我们的数学课堂更加“精准”、更有味道、更好育人．