巧设情境促发现 激活思维助提问

过家福 (江苏省南菁高级中学 214415)

殷 玲 (江苏省太湖高级中学 214125)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标2017》)指出：要提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，即“四能”．而发现和提出问题的能力是学生的短板，亟待加强．数学教学应服务于国家的创新战略，而创新思维要以问题情境为载体．波利亚说“教师的作用在于：系统地给学生发现事物的机会，并给予恰当的帮助，让学生在情境中亲自去发现尽可能多的东西．” 所以创设新颖、适切的情境及问题可以激发学生的好奇心和求知欲，让学生乐于发现问题、提出问题，并在对问题的质疑和探究解决的过程中深化对数学的理解，激活思维．本文侧重于探讨通过巧设多种问题情境，培养学生发现问题和提出问题的能力，在此过程中教师应大有作为．

1 创设数学文化情境，引学生思考，促学生发现、提出问题

《课标2017》明确提出要把数学文化融入课程内容，并在知识结构图中清晰反映出来.数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展，也包括与数学相关的哲学、人文活动，如古代一些名人、名句和经典故事．在教学活动中，通过创设某种数学文化情境引出一个话题，或以数学史融入新知教学中[1]，可以有效地促使学生发现、提出问题．

课例1高一必修1 “对数(1)”的情境与问题．

在一次江苏省高中数学优质课展示活动中，笔者聆听到一位教师执教的高中数学必修1“对数(1)”一课，其中创设了如下的数学文化情境：“大家能说说古代的思想家庄子吗？”(请学生简单说明)庄子是战国时期著名的思想家、哲学家、文学家，是道家学派的代表人物，庄子学派的创始人．他的学说涵盖面广，后世称为“老庄”，“老庄哲学”的思想包含着朴素辩证法的因素．教师投影——庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”

师：根据这句话，请大家提出一些数学问题，譬如取1次，还剩余多长？

在教师的启发下，有几位学生陆续提出了如下问题：

问题1 取2次、3次，分别剩余多少尺？

问题2 取x次,剩余多长？

教师充分肯定了学生们的发现意识和提出的问题，兴致勃勃地说：“我也来凑个热闹！”

问题5 把“日取其半”改为“日取三分之一”，又能提出哪些问题？

许多学生说：都可以类似地再问一遍(略)．

生(为数不少)：已知底数和幂值，求指数．

教师肯定后指出“这是一种新的运算，今天就来研究这一新问题”，从而引出对数的概念．在此基础上，教师穿插介绍数学史，师生共同浏览课本第79页《阅读》，主要内容是纳皮尔发明了对数，欧拉揭示了指数与对数的密切联系，恩格斯把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．

本课开始进行的一段关于庄子的内容，学生很感兴趣，又从庄子的一句经典名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”引出数学问题.教师先开了一个头，学生就类似、变式、逆向地提出了一些问题，这样的提问把指数、对数联系起来，学生有话(问题)可说，这段简短的名人介绍及之后的《阅读》很有必要．对数概念比较抽象，通过创设数学文化情境，不仅给学生营造了一个良好的学习氛围，而且很好地揭示了抽象概念的背景和发展历程，有助于学生发现结论的形成过程，真正理解数学概念，还能引发学生数学地思考，从而发现、提出问题．

评析(1)在学生发现、提出问题之前，对学生能力进行预估；在学生发现、提出问题的过程中，要根据学生的实际能力给予指导．如上述过程，教师先抛砖引玉，之后又引导学生换一个角度(从二分之一到三分之一)思考，拓宽了思维；(2)要把数学文化有效融入数学教学中，教师首先要武装自己，多掌握有关数学史、数学典故，方能胸有成竹，指导学生；(3)数学文化内涵丰富，需要教师结合教材特点和学生的经验、体验，挖掘其资源，进行组合与再加工，并能从中得到启迪，切实发挥以数学文化激情、引趣、促思的功能．

2 创设生活情境，让学生体验，促学生发现、提出问题

生活是教学赖以生存和发展的源泉．数学知识源于生活，数学问题也存在于生活中的方方面面，生活中形成的常识、经验是学习数学的基础，提出一个问题更需要背景性、经验性的感性认识作为支撑．心理学研究表明：学习的内容与学生的生活背景越贴近、与学生的认知水平越适应，就越能诱发学生产生提出问题的心理倾向，越能增强学生提出问题的意识，进而发现问题、提出问题．因此，在教学中，需要为学生提供贴近生活实际的、生动丰富的经验性材料，让学生在对生活情境的观察、分析和探究中体验知识的发生发展过程，积累基本的数学活动经验，培养发现问题和提出问题的能力．

课例2高二必修2 “直线与平面垂直”的情境与问题．

在一次江苏省高中数学教师优质课评比活动中，笔者有幸全程参与了“直线与平面垂直的判定”一课的教学设计和磨课的过程，帮助我校一位参赛选手充分挖掘教材，紧扣生活实际进行了如下的情境设计，收获了令人满意的效果．

师：同学们，请观察下列三幅图(图1).第一幅是五星红旗矗立在天安门广场，她是伟大祖国的象征；第二幅是某城市的摩天大楼，见证着这座城市建设的飞速发展；第三幅是比萨斜塔(高55 m，倾斜3.99°)，是意大利托斯卡纳省比萨城的一个标志性建筑．

图1

师：把国旗旗杆、摩天大楼、斜塔抽象成直线，地面看成一个平面，请大家从线面位置关系的角度进行思考与设计，能提出哪些需要研究的数学问题？(注意类比所学)

有几位学生陆续提出以下几个问题：

问题1 国旗旗杆、摩天大楼、斜塔所在的直线与地平面的位置关系是什么？

问题2 “直线与平面垂直”和“直线与平面相交”，两种说法有何异同？

问题3 对直线与平面垂直，一般会研究哪些内容？

问题4 直观感觉旗杆和地面、摩天大楼与地面是互相垂直的，判断依据是什么？

问题1、问题2比较简单，直线与平面垂直、直线与平面相交是一般与特殊的关系.学生回答后，教师追问：你还能举出生活中可以抽象成直线与平面垂直的例子吗？ 几位学生回答，有的说“笔直的电线杆和地面”，有的说“东方明珠塔和地面”，有的说“教室中墙角的竖直棱与地面”……

对上述问题3，学生类比直线与平面平行研究的思路：定义—判定—性质，由此确定要研究直线与平面垂直的定义、判定与性质．

师：在实际生活中存在大量的可抽象成直线与平面垂直的实例，本节课就来研究直线与平面垂直的定义、判定．

教师追问：

问题5 直线与平面垂直的判定如何研究？直线与平面垂直性质如何研究？

类比直线与平面的学习，得出：直线与平面垂直的判定是通过操作确认，直线与平面垂直性质是通过观察、猜想并证明．

对于问题4，通过定义判别很不方便，需要寻求简单易行的操作方法，有必要学习直线与平面垂直的判定定理．

教师创设了“三幅图”的生活情境，源于生活、贴近时代，颇有教育意义.在情境中体验，能激发学生的学习热情和兴趣．本课巧妙地把学生提出问题和教师穿插提问结合起来．教师把相关实际问题抽象成直线与平面后，提出“请从线面位置关系的角度进行思考与设计，能提出哪些需要研究的数学问题？”(运用类比)这样的问话落在学生的最近发展区内，他们根据已有的学习经验提出了四个问题．教师回应前两个问题后进行追问，增加了学生对线面垂直的感性认识.解决问题3后教师再次追问(问题5)，从问题3到问题5，即直线与平面垂直研究什么、为什么(依据)要研究、如何研究，构成了一个系列问题；这也是一般科学研究的三个问题，是在教学生学会学习、学会研究、学会思考．

评析(1)创设合适的生活情境，能使抽象知识具体化，使深奥道理通俗化，从而使学生感受到亲切感，乐于参与，比较容易发现并提出问题．因此，教师需要多关注、联系生活实际，从学生熟悉的生活和学习环境中选取与教学相关、生动形象的实例.譬如三角函数的周期性教学，可联系生活中的摩天轮、月亮绕地球公转等情境引发学生思考，促其探索发现并提出新的问题．创设情境后，有时需要教师提出一个初始问题，如本课“能提出哪些需要研究的数学问题？”(运用类比)，既能引动学生探索的兴趣，也让学生有问题可提．(2)从学生的认知角度来说，数学知识的认识很大程度上取决于学生对实践经验的获取．因此在课堂上可采取形式多样的活动，如学生动手操作、数学小实验、小组合作讨论与评价等，在多彩的实践活动中促使学生发现、提出问题．

3 创设困惑情境，给学生质疑，促学生发现、提出问题

学之道在于悟，学生认知的发展往往要经过自己的反思和感悟才更有效，也更真实，所以引导学生质疑和反思是促进学生有效学习的重要手段．思起源于疑，然而现在中学生普遍缺乏质疑意识，课堂上大都是教师讲、问，学生听、答，教师板书、学生记录，学生被动学习的问题比较突出，成天忙于赶作业、刷题，鲜有自己的想法，很难有质疑和反思的机会，怎么谈得上去发现问题、提出问题呢？对此，我们有必要予以矫正．

课例3试卷讲评课 “导数问题”的情境与问题．

在一节高三期末考试试卷讲评课上，教师投影出一位学生的解答过程，请大家一起找寻丢分原因．针对学生是理科普通班、能力相对薄弱的特点，教师并不是采用直接告知正确结论的讲授式，而是先展示带有普遍性的错误解答过程，让学生评判、质疑．

(1)当a=1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；(2)略.

x(-∞, 0)0(0, +∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗

当x=0时有极小值，也是最小值，所以f(0)=1>0，得证．

投影一出来，学生们就议论纷纷．

生1：我就这么做的，感觉没错啊，过程很流畅，可是只得1分．(不好意思地笑了)

生2：肯定错了！首先题意是要求x> 0，所以区间(-∞, 0)不需要考虑，其次(0, +∞)上的单调性并没有证明．

生3：f′(x)=ex-x-1，令f′(x)=0，得x=0，这个根应该是观察得来的．除了这个根，确定没有别的根了吗？我认为这种超越方程形式应该二次求导.正确解答是：令g(x)=f′(x)，对g(x)求导，g′(x)=ex-1，当x>0时，有g′(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递增，则g(x) >g(0)=0，于是f′(x)>0，有f(x)在(0,+∞)上单调递增，则f(x)>f(0)=1>0，原题得证．(做错的学生恍然大悟)

师：学生3说得精彩！原解法有两个问题，其一，观察得来未必正确；其二，作为解答题的推理要步步有据．(之后引导学生反思：这道题的结论是否能拓展、推广？)

生4：g(x)=f′(x)=ex-x-1≥0对x∈R是恒成立的．令g′(x)=ex-1=0，则x=0．

x(-∞, 0)0(0, +∞)g'(x)-0+g(x)↘极小值↗

当x=0时有极小值，也是最小值，所以g(x)≥g(0)=0，以下证明同上．

教师肯定了学生4的想法：把试题中的范围，由x> 0推广为对一切实数都成立．之后教师说明：ex≥x+1这类恒等式在以后的导数综合题中会经常出现，类似的还有ex≥x2，lnx≥x-1等都会成为我们“熟悉的朋友”！

试卷评讲课上，学生习惯于由教师说出错在哪里、告知正确的解法是什么，鲜有学生能针对错解自己进行提问.这样不仅缺乏针对性和有效性，更是缺少一次给学生质疑纠错的机会．由于是试卷评讲课，对学生而言是熟悉且印象深刻的情境，可减少一些思考试题的时间，增多一些观察、质疑错解、寻找错因的时间．该班学生有些疑问、有些不同“声音”，是缘于该班教师与时俱进、专业素养高，平时教学中经常给学生提问的机会，所以课堂上学生还给教师一些惊喜就不足为奇了．

评析(1)教师自身需要有较强的质疑意识，要善于对问题进行反思和质疑，以教师自身良好的行为带动学生，体现榜样的力量．(2)鼓励学生大胆发言，倡导不同声音、不同观点相互碰撞，便于产生问题，这需要教师有很强的数学专业素养和课堂驾驭能力．(3)在新授课、复习课和试卷讲评课上，教师都要积极创设质疑问难的机会，辨析概念，质疑过程，多让学生板演，以暴露问题，寻找一些错例让学生找茬，以培养学生观察、发 现和纠错的能力.(4)不能止步于问题解决，要进行适当拓展、推广，以扩大战果；教师还需适当留白，指导学生在反思中寻求质疑“点”，便于催生问题．

4 创设开放情境，引学生联想，促学生发现、提出问题

开放的情境是不限定问题发展的方向，结论可以有多种可能性.开放的情境应源于学生现实，与学生的认知水平相适应，对学生来说是真实可感的；开放的情境应具有一定的挑战性和探究性，可让学生全方位、多角度思考，进行充分想象，发散联想，在思考、想象和联想中有所发现．在数学教学中，创设丰富的开放性情境有助于学生从中发现和提出问题．

课例4微专题复习课“基本不等式”的情境与问题．

在一次高三“基本不等式”微专题复习课上，教师设计了如下情境：若正实数x,y满足x2-xy+y2=9，对该条件从不同角度联系、联想，可以得到哪些不同的结论？说出你的想法．

生1：可以先移项，得x2+y2=9+xy，再利用基本不等式，9+xy≥2xy，可得xy≤9，当且仅当x=y时取等号，故x,y的积的最大值为9．

生3：我提个问题——条件不变，能否分别求2x+y, 3x-y的最值？

生4：如果能把x,y表示为一个三角函数就可以了．

生5：观察形式x2-xy+y2=9，如果将其中的x,y分别换成a,b，则有a2-ab+b2=9，联想到余弦定理，a,b,c作为三角形的三条边，其中c=3，c所对的角是C=60°．接下来就可以在三角形中继续提出问题了．

生6：比如满足上述条件的三角形面积能否取得最大值？三角形周长的取值范围如何？

生8：类似地，由生2的解答就可求得周长a+b+c的最大值为12，又因为三角形两边之和大于第三边，所以a+b>3，所以周长的取值范围是(6, 12]．

师：了不起！真心为你们点赞．看你们提问题兴致这么高，我也来提一个问题：若正实数x,y满足x2-xy+y2=9，且|x2-y2|<9，求xy的范围．请大家课后试试．

教师精心设计了具有开放性的情境“正实数x,y满足x2-xy+y2=9”，对于两数平方和与两数积形式的问题，学生积累了一些经验，能联想两数和及ax+by的形式，还能联想到三角形中的面积、周长等方面，提出一些问题，再利用基本不等式及其变形去分析、解决问题．这样，由开放性的情境带来开放性的结论(多元结论)，也带来了方法的开放性(不同角度)，有利于培养学生的发散性思维．

评析首先，教师需要精心设置一个开放的情境，贴近学生的学习和生活的实际，情境的视角可以触及不同的方向，学生经过思考有话可说.其次，教师需要营造一个较为宽松、自由的环境，让学生相互交流，以产生问题、碰撞火花，思考问题还需留给学生必要的时间、空间．再次，要以情境为载体，鼓励学生大胆联想，通过相近联想、相对联想和类比联想，促进知识的迁移与拓展，转换视角，便于发现新问题、新结论，从而培养学生发现问题的能力．如本课例中学生3提了一个很有价值的问题，是基于对形式x+y,xy的相近联想，得到2x+y, 3x-y以及ax+by，又因解决问题的需要，联想到三角换元，进而联想到解三角形的有关问题(面积、周长等)．

5 结束语

创设问题情境还有其他一些途径.譬如，可创设类比情境，让学生通过知识、方法间的类比、联想，提出新问题；还可创设直观情境，借助多媒体技术，将学生感觉模糊、抽象的学习材料直观、形象地展示出来，让学生更好地体验问题的形成、解决的思路和方法等，有利于他们发现和提出新问题．其次，如果所在班级课堂气氛不够活跃，可以请1～2个性格开朗、有想法的学生带头“抛砖”，可能引出更多的“玉”，只要学生能提出一点问题，教师就要予以肯定和鼓励，让学生逐步体验到成功的喜悦和提问的魅力．

根据内容的特点和学生的实际，创设适切的问题情境促进学生发现问题，通过激活思维帮助学生提出问题，进行分析与解决，从而达到培养学生的创新思维与实践能力的目标，因为创新源于问题、源于发散．同时，让学生发现和提出问题也是给学生表现的机会，体现学生的主体性.这样的课堂对教师是一个挑战，需要有较强的专业实力，既要能应对学生发散的问题，还可能要变换视角重新提出问题，唯有学习研究、提升教学智慧，方能顺利实施．