深度学习数学概念 发展数学核心素养——以“直线的斜率”教学为例

陈 亮 (江苏省华罗庚中学 213200)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1]指出：“高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.”由此可见，数学教学要设计合理的问题情境，让学生经历概念的形成过程；要突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法；要重视学生数学学科核心素养在课堂中的落实．数学概念是数学体系的基石，深入数学概念本质的教学是实现数学学科核心素养培养目标的根本所在．就中学数学概念教学而言，要提升学生数学核心素养，应当把握好概念的本质，促进概念的深度学习．只有拓宽概念的内涵，实现概念的融会贯通，提升概念的应用价值，经历学习的再创造过程，才可能凸显概念教学的价值，实现数学核心素养的培养目标．

下面笔者就近期参加的评优课“直线的斜率”(苏教版数学教材必修2)教学设计的思考与实践，与同行们交流分享．

1 教材分析

“直线的斜率”是高中解析几何的起始课，揭开了解析几何研究的序幕．新课程强调单元教学，认为章起始课的教学要能起到统领全局的作用.本节课除了直线斜率的教学外，还要揭示解析几何的本质——用代数方法研究几何问题．虽然不同版本教材的展开顺序不同，但都围绕“如何刻画直线的倾斜程度”这一问题展开．本节从课程目标看，解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质．几何图形的“数量化”是进行代数研究的前提，数量化是知识的逻辑起点，让学生体验“数量化”的过程，感受数形结合思想是解析几何的课程目标．从教学内容看，“斜率”与“倾斜角”这两个内容都是解决“刻画直线的倾斜程度”的，其中“斜率”是核心概念，符合解析几何的本质[2]．本节课教材在引入斜率时采用了初中的坡度，当直线的倾斜角为锐角时与坡度完全吻合，而后对于倾斜角为钝角时教材一带而过，笔者认为这恰是教学的难点．如果从坡度来刻画直线的倾斜程度，倾斜角为钝角与倾斜角为锐角时应该是一样的，区别只是坡的朝向不同，笔者正是抓住这一区别进行教学设计的．

基于上述分析，笔者将这节课的教学目标确定为：

(1)理解直线的倾斜角与直线的斜率的概念、直线倾斜角与斜率之间的关系；

(2)会求直线的倾斜角和斜率；

(3)经历直线斜率的形成过程和用代数方法解决几何问题的过程，了解解析几何的基本思想，体会数形结合与分类讨论的思想．

教学重点：理解直线的斜率．

教学难点：直线斜率的形成过程以及用代数方法刻画几何问题．

2 教学过程

2.1 抛砖引玉，构建知识框架

问题1平面上如何确定一个点的位置？如何确定一条直线？

师：请第3列第4排的同学回答．

生1:建立平面直角坐标系，用点的坐标刻画点的位置．平面上确定直线的方式：①两点；②一点及一个方向．

设计意图通过指定第3列第4排学生回答问题,启发学生类比坐标刻画点的位置，用代数方法刻画几何量．

问题2x-y+1=0表示什么？为什么？

生2:表示一条直线，因为y=x+1是一次函数，其图象为一条直线．

师：这是从形的角度来认识的.还能从其他角度认识吗？

生2:从代数的角度认识，这是一个二元一次方程．

师：构成直线的基本元素是什么？你能针对直线x-y+1=0举出一些吗？

生3：点，如(-1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，…

设计意图这是一个开放性问题，让学生从不同的角度认识x-y+1=0,旨在引导学生从已有的经验出发，从数与形的两个角度进行认识；为学生经历解析几何思想的形成创设活动场，让学生体会曲线与方程的一一对应关系，为后续用方程刻画曲线奠定基础．

师：这些点满足什么共性？

生3：都在直线x-y+1=0上；坐标具有形式(x,x+1)．

师：点(x,x+1)与直线x-y+1=0具有怎样的关系？

生4:点(x,x+1)都在直线x-y+1=0上，直线x-y+1=0上的点都具有形式(x,x+1).

师：这应该是从形的角度认识的．还有别的认识角度吗？

生4:(x,x+1)是方程x-y+1=0的解，方程x-y+1=0的解都具有规律(x,x+1)．

师：如果曲线上的点与方程的解满足一一对应的关系(图1)，则称该方程为曲线的方程，该曲线为方程的曲线，曲线与方程是数与形的两个方面．

图1

师：所有具有形式(x,x+1)的点的集合即为直线y=x+1.这种通过研究曲线上点的坐标之间的关系来研究曲线的学科称为解析几何，它是由法国数学家笛卡尔和费马在17世纪创立的，其核心是用坐标法研究几何问题．今天我们先来研究简单而特殊的曲线——直线．

设计意图通过学生熟悉的一次函数图象让学生感受研究解析几何问题的方法和过程，体会曲线与方程的概念，初步认识用方程刻画曲线．将几何对象转化为代数对象，是用代数方法研究几何问题的第一步，引出本节课的研究内容——直线，让学生对本章研究内容和方法有一个大致的了解．

2.2 创设情境，引入核心问题

(学生回答略)

师：如何刻画直线的方向是本节课要研究的核心内容．

问题4前面我们学习解三角形时,遇到过航海中方向的刻画问题，你还记得是如何刻画的吗？请举个例子．

生5：用方位角．

师：方位角中需要几个要素才能将方向确定下来？

生5：三个——一个基准、旋转方向和角度.

图2

师：要使得角能刻画方向，角与方向之间要满足什么关系？

生6：一一对应．

师：你能根据上述经验对问题3中对直线的方向进行刻画吗？基准怎么选才能分别刻画问题3中③和⑤(如图2)？

生6：以x轴正方向为基准，按逆时针方向旋转到与直线重合的位置所经过的最小正角作为刻画直线方向的量．

设计意图通过实例让学生体会直线方向的差异，直观感知用角刻画方向，体会数形结合的思想．从已有的活动经验出发，提炼用代数方式刻画几何量应满足的基本原则——一一对应．以与本节课核心问题类似的模型为对象进行提炼，在学生最近发展区创设活动场，使学生能寻找到刻画直线方向的量，感悟转化与化归思想．

师：我们把上述刻画直线方向的角称为直线的倾斜角，请同学们尝试给出倾斜角的定义(板书直线的倾斜角)．按照倾斜角的定义，角与直线的方向是否建立了一一对应的关系？

生7：倾斜角定义没有给出当直线与轴平行或重合时的刻画．

师：你觉得这种方向应该按倾斜角定义刻画吗？

生7：可以认为没有旋转，所以可用倾斜角为0刻画．

师：我们规定，当直线与轴平行或重合时，倾斜角为0．至此，直线的方向与倾斜角之间是否建立了一一对应的关系？倾斜角的范围是什么？

生8：是一一对应的关系，倾斜角的范围是 [0,π)．

2.3 挖掘经验，自然形成概念

图3

问题5用几何画板展示直线y=x与直线y=0.99x-2的图象(图3)，这两条直线的倾斜程度一样吗？

(先给出直线，学生给出答案后再给出直线的方程)

师：由此可见，仅靠图形判断直线的倾斜程度是不可靠的．事实上,这两条直线的倾斜角也是非常接近的，而通过图形度量倾斜角也会存在一定的误差，因此有必要考虑能否用代数方式刻画直线的倾斜程度．

设计意图让学生体会直观感知的不可靠及用代数方式刻画直线倾斜程度的必要性，同时从逻辑上感受代数刻画的合理性．

师：我们已经认识到，从形上观察，直线可以由“一点+方向”或者两点决定，那么是否意味着直线的方向也可以由“数”即两点的坐标决定？接下来我们继续研究能否利用两点坐标刻画直线的倾斜程度．首先回忆一下，在初中我们用什么量刻画坡面、屋顶及楼梯的陡峭程度？

问题6给定一个斜坡，请你设计一个方案把斜坡改造得更“陡”．

生9：增加高度或者减少宽度．

师：坡度与高度、宽度具有怎样的关系？

图4

师：坡度与坡角之间具有怎样的关系？坡度的大小与坡面上两点的位置有关吗？如图4，能否借鉴坡度用直线上两点刻画直线的倾斜程度？

师：直线的“坡度”与直线的倾斜角α是什么关系？

生11：把两条直线看成两个坡面的话，这两个“坡”的方向不同，感觉是相反方向．

师：数学上用什么符号刻画方向？[2]请举例．

生11：可以用正负号，比如数轴上原点右侧和左侧的点、向量中刻画相反方向．

师：由此可知图4是刻画了当直线的倾斜角为锐角时的倾斜程度．你能否用类似的方式刻画倾斜角为钝角时的直线的倾斜程度？

图5

生众：成立．

2.4 逻辑推理，揭示概念本质

生13：任意角的三角函数的定义中．

师：在定义中角是如何放置在平面直角坐标系中的？这里直线不一定过原点怎么办？

生13：角的终边要过原点；可以将直线平移至过原点，因为平移不改变直线的倾斜程度．

师：若直线l′过原点，在直线l′上取两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线l′的倾斜角α视为始边在x轴正半轴、终边恰在直线l′上，如何表示角α的正切？

生14：由合比性质知相等．

师：斜率与倾斜角具有怎样的关系？

3 教学反思

数学的本质就是探索和研究数学所依赖的那些基本思想，就是在数学演变的线索中，那些一直保留的，并且不断建构和延展的数学内容．数学本质体现在知识的本源之中，体现在知识的实际意义之中，体现在策略和方法的联系之中．深度学习是在教师引导下，学生主动投入，深入理解、建构、迁移的学习过程、状态和结果．深度学习的教学设计是追求数学本质的设计，是追求大道至简的设计，是追求结构与优化的设计，是基于学生前结构水平的设计；是学生在任务(或问题)驱动下进行尝试探究、展示交流、反思调整、不断进阶的基于证据的学习过程．

3.1 深度学习数学概念就要理解数学的思想

教材是众多专家、学者智慧的结晶，但是鉴于教材的篇幅有限，教材在编制的过程中对一些内容进行了精简、浓缩，同时也给广大教师留有空间，可以根据具体的学情选择恰当的教学方式．教师在运用教材时要能理解哪些地方精简了，教学中需要补充完整．教材中对于倾斜角为钝角时斜率的定义一带而过，给人很不自然的感觉．事实上，倾斜角为钝角时的坡度应该和锐角时的坡度是一样的，区别只是坡的朝向不同，而方向这个属性同样也可以用代数方式即正负号刻画．这也是本节课乃至本章核心思想的体现——用代数方法刻画几何量．

3.2 深度学习数学概念就要揭示数学的美

《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1]指出：“要引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界……”数学语言的简

3.3 深度学习数学概念就要经历数学的再创造

3.4 深度学习数学概念的根本目的是发展数学核心素养

数学深度学习就是抓住数学学科的内部规律，突显数学学科的核心理念，深研知识背后的规律，培养学生深层思考和学习的能力，是学生形成数学核心素养的关键环节．本节课将生活中的坡面、山坡、楼梯等抽象为一条直线，因而坡面的倾斜程度的刻画可以抽象为对直线倾斜程度的刻画；如何用数学语言表达直线的倾斜程度是本节课的核心问题，借助基本活动经验得到倾斜程度的坡度刻画方式，再通过坐标表示得到斜率，整个过程体现的是数学建模；从已有的任意角的三角函数出发得到直线的斜率，凸显了学科知识的内在联系，体现逻辑推理与数学运算在数学概念形成过程中的作用，体现了数学的学科特征．数学概念教学只有深刻理解知识的本质，理解概念生产过程中所涉及的核心素养，有意识地引导学生进行深度学习，才能发展学生的核心素养，培养学生的能力．相信只要能够对数学本质予以持久的关注，使之在教学中落地生根，就一定能够实现学生的“深度学习”，提升学生的学科素养，最终达成学科育人的目的．