浅谈二次函数在实际问题中的应用

刘煜明

（甘肃省平凉市静宁县双岘初级中学，甘肃静宁 743400）

引 言

函数是数学体系的重要组成部分，并且可以解决多种实际问题。二次函数是反映现实世界中变量间数量关系的一种常见数学模型，可以应用于数量变化规律及最优解等问题。在初中数学学习过程中，二次函数属于重难点问题。学生想要利用二次函数解决实际问题，一定要深刻地理解二次函数的概念知识，并且能在理解的基础上将其与想要解决的问题联系起来，将实际问题转化成数学问题，从而进行分析解答。但是在学习二次函数时，由于多种因素影响，学生并不能很好地掌握相关知识。如何改进教学策略、提升教学效率，从而让学生利用二次函数更好地解决实际问题，是初中数学教师应当重视的问题。

一、二次函数教学过程中存在的问题

（一）教学过程中不注重与实际生活的联系

二次函数与实际生活有着很强的联系。教师将日常生活中的事物引入数学教学，不仅能帮助学生更好地理解知识，还能让学生发现数学的魅力，从而在数学学习过程中投入更多的精力。但在实际教学过程中，数学教师多是依赖教材进行授课，很少将数学知识与实际生活联系在一起。这种教学方式会导致学生丧失对数学学习的兴趣，学习效率也随之降低。作为数学教学的重难点，二次函数给数学能力较弱的学生带来很大的困扰。如果不能激发学生的学习兴趣，让学生发现二次函数的魅力，学生很可能放弃对二次函数的学习。这将严重阻碍学生构建个人数学知识体系。

（二）所举实例没有贴合生活

在教学二次函数时，想要提升教学质量，教师需要将生活实例与教学内容相融合。这种教学方式不仅有助于学生理解二次函数，还能增强课堂趣味性，改善课堂氛围，提升教学质量。如果教师所举的例子没有贴合生活，在学生的认知中属于陌生事物，那么教师教学不但不会取得教学效果，而且可能增加学习难度。学生思维很可能被这种不切实际的例子干扰，无法理解二次函数。所以在实际教学过程中，教师要考虑学生的实际情况，在学生的认知理解范围内选择合适的生活实例，并将之与教学内容结合在一起，从而降低二次函数的学习难度。教师选取贴近学生生活的例子进行教学，会让学生产生亲切感，进而提高学生学习的专注度。如果能在实例中理解二次函数，学生就能在生活中运用二次函数去解决实际问题。

（三）学生课堂参与度低

数学知识较为抽象，尤其是二次函数问题，对学生的数学思维能力要求较高。想要彻底理解二次函数，学生还需要具备一定的数学思想，这样才能运用二次函数解决实际问题。但是在实际教学过程中，由于教学形式单一、教学内容枯燥，教师教学很难激发学生的学习兴趣。在课堂教学时，部分教学内容晦涩难懂，而学生又不会主动询问教师问题。这就导致了学生学习时产生的问题不断累积，严重影响了学生后续的学习。并且，由于二次函数的学习难度较大，部分学生会将注意力转移到其他事物上。这种注意力不集中的情况，会对学生的学习效果产生负面影响。学生消极学习，也会影响到教师的授课情绪。由于无法接收到学生的学习反馈，教师无法调整教学计划，导致教学质量越来越差。如果教师耗费较大精力，学生依旧不能彻底理解教学内容，这会导致教师负面情绪爆发，批评学生，进一步打击学生的学习热情。如此形成恶性循环，不利于教师对二次函数的深入教学。

二、提升二次函数教学效果的途径

（一）引导学生预习

预习对学习新知识非常重要。有效的预习可以让学生事先了解课堂教学内容，并且在预习过程中发现问题，带着问题进行课堂学习，从而提升学习效率。二次函数作为初中数学学习中的重难点知识，如果不进行预习，学生很难在课堂上跟上教师的教学步伐，进而影响到学习效果。因此，在教学“二次函数”时，教师一定要引导学生进行课前预习，让学生能更好地了解课堂知识。但是，部分学生没有良好的学习习惯，如果教师将预习布置为学习任务，这些学生在心理上难以接受，往往会选择走马观花式翻阅来应付教师，这就失去了预习的意义。因此，教师要告知学生课前预习的好处，可以采用微课的形式让学生进行课前预习。微课内容短、形式新颖，很容易激发学生的兴趣。在多次使用微课进行预习后，学生会逐渐养成良好的预习习惯，从而提高学习效率。

（二）提升课堂趣味性

想要提高教学效果，教师就一定要让学生产生学习兴趣。这样才能让学生更好地参与到课堂教学中，提高教学质量。所以在二次函数教学过程中，教师一定要将抽象的二次函数形象化，从而降低学习难度，以激发学生的学习兴趣。教师可以通过多媒体设备进行课堂教学[1]。多媒体教学通过视频将抽象的数学知识形象地展现给学生，让学生更好地理解数学知识。通过多媒体教学，学生还会逐渐产生学习兴趣，能更好地理解、掌握二次函数，从而有效运用二次函数解决实际问题。

（三）引导学生复习

复习是对课堂内容的回顾和总结，可以帮助学生加深对知识的理解和掌握程度。在课堂听讲中，学生难免会产生学习问题。如果不进行课后复习，小问题会逐渐堆积转化为较大的问题[2]。在学生对课堂内容还存在印象时，及时复习可以帮助学生解决课堂上产生的学习问题。在一段时间内对知识进行巩固，会提高学生对知识的理解度，让学生更加灵活地运用知识。复习还能帮助学生搭建知识体系，让学生及时发现知识体系的漏洞并加以完善，提升学习质量。因此，教师要引导学生进行课后复习。通过复习，学生可以攻克重难点知识，搭建知识体系，从而加深对二次函数的掌握程度。

三、运用二次函数解决实际生活中的问题

（一）运用二次函数解决最大值或最小值问题

张叔想要利用空地建造花圃，花圃的一边是足够长的墙，其余三边用总长32米的篱笆围成一个矩形。假设较短的一边长为x米，矩形的面积为S平方米。

（1）求短边与面积之间的函数关系式。

（2）当短边x取何值时，面积S值最大？求出最大值。

解：（1）S=x（32-2x）=-2x2+32x

（2）∵a=-2＜0，所以S有最大值。

∴x=8，S有最大值，最大值是128平方米。

（二）运用二次函数解决市场经济类问题

解决这类问题一定要抓准题目中的关键字眼，这样才能避免错误，从而提升做题准确率。

商场里的某件商品进价为20元，售价为40元，每个月可以卖出200件。根据商品销售员观察，每当该商品上涨1元时，每月销售量会减少5件。商城规定该商品售价不得超过60元。假设现在每件商品的售价上涨x元，x为正整数，每月的销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式，同时写出x的取值范围。

（2）每件商品售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润为多少元?

（3）每月售价为多少时，每月利润正好4320元？并且说明要想利润不低于4320元的定价范围。

解：（1）y=（200-5x）（40+x-20）=-5x2+100x+4000，0＜x＜20，且x为正整数。

（2）y=-5（x-10）2+4500，当x=10时（满足取值要求），取得最大值。所以当定价为50元时，商品会获得最大利润，为4500元。

（3）当y=4320时，-5x2+100x+4000=4320，解得x1=16，x2=4。所以当定价为44元或者是56元时，每个月的利润为4320元。当售价不低于44元且不高于56元时，则每个月的利润会不低于4320元。

（三）运用二次函数解决体育、交通类的实际问题

在实际生活中，一些物体会呈现抛物线形状，想要对这些事物的部分信息进行判断，就需要将已知参数与二次函数相结合，进而解决实际问题[3]。

如图1，某隧道横截面为抛物线，其最大高度为10米，底部宽度OM为20米，现以O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系。

（1）直接写出点M及P的坐标。

（2）写出抛物线的解析式。

（3）若要搭建一个矩形的支撑架，使C、D两点位于抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个支撑架的最大长度是多少？

解：（1）根据题意可知，点M（20，0），点P（10，10）。

（2）因为抛物线过原点，所以可以直接假设抛物线方程式为y=ax2+bx，然后将P、M两点代入方程式得y=-1/10x2+2x。

（3）设A（m，0）， 则B（20-m，0），C（20-m， -1/10m2+2m），D（m，-1/10m2+2m）。随意支撑架的总长度为AD+DC+BC=（-1/10m2+2m）+（20-2m）+（-1/10m2+2m）=-1/5m2+2m+20=-1/5（m-5）2+25。所以当m值为5时，支撑架有最大值为25米。

图1

结 语

日常生活中无处不体现着数学思想。教师要将生活场景与教学内容融合在一起，提高教学质量，以帮助学生更好地理解抽象的数学知识。二次函数属于教学中的重难点知识。教师可以将其与实际问题联系在一起，从而降低其学习难度，让学生易于接受。在选择生活实例时，教师一定要选择贴合学生生活的实际例子，这样才能提高教学效果。二次函数可以解决最大值和最小值、市场经济，以及体育、交通等多种类型的生活问题。所以在教学过程中，教师一定要激发学生的学习兴趣，让学生彻底地理解相关知识，从而能将这些知识应用到实际生活中。