在数学建模活动中渗透模型思想—以“最大利润问题”为例

王莉丹

（广西桂林市宝贤中学，广西桂林 541001）

引 言

随着科技的迅速发展，数学更加广泛地应用于社会生产和日常生活中。但是，不少学生不知道为什么要学数学，数学在日常生活中有什么作用。于是，教师在数学课堂教学中搭建联系数学世界和现实世界的桥梁，旨在帮助学生体会和了解数学与外部世界的密切联系的重要性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界的基本途径。那么何为模型思想？

一、模型思想概述

模型思想是针对要解决的问题，从而构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法[1]。

模型思想的核心在于建模。数学建模的过程可分为现实问题数学化、数学模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证四个阶段。这四个阶段实际上是从实际问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环。

二、基于模型思想的课堂实践

（一）教师引领，亲历建模过程

阶段1：现实问题数学化

数学化是根据数学建模的目的将现实问题翻译转化为数学问题，并用数学语言表述出来，得出的数学模型。

问题情境：某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件。根据销售经验，销售单价每上涨1元，月销量相应减少10件。当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

师：最大利润问题是我们实际生活中经常遇到的问题，能不能用我们所学的数学知识来解决呢？请同学们通过阅读、审题，找出问题中的主要关系，即目标与条件的关系。

（学生审题约2分钟）

师：题目要我们求什么？

生1：求1个月的最大利润。

师：我们之前遇到过“求最大值”的问题吗？

生2：遇到过，求三角形面积的最大值。

师：还记得我们是怎么求三角形面积的最大值吗？

生2：先求出三角形面积的表达式，一般得出一个二次函数，再求二次函数的最大值就可得出面积的最大值。

师：很好，运用函数模型，我们可以快速解决三角形的面积最值问题，甚至还可推广到其他图形的面积最值问题。我们能否类比面积最大值的问题来解决最大利润的问题呢？

生3：我认为可以先求利润的表达式，再求这个表达式的最大值。

师：不错的思路，利润是由什么决定的？

部分学生答道：售价和进价。

师：题目是求单件利润还是总利润呢？

生4：是求总利润，总利润是由单件利润和销量决定的。

师：好，能说说他们的关系吗？

生4：能，总利润=单件利润×销量=（售价－进价）×销量。（教师同时板书此关系式）

师：在这个关系式中，哪些是已知的？

生（众）：进价是已知的。

师：售价和销量已知吗？

生（众）：原来是已知的，后来就是未知的了。

师：我们可以借助表格来进一步厘清他们的关系（教师用PPT显示表1）。下面请同学们开展小组合作，用数学语言表示后来的售价、销量和总利润。

表1

（让学生讨论3分钟，再请小组代表发言）

生5：设后来每件商品售价为x元，则销量为[180-（x-30）×10]件，总利润为（x-20）[180-（x-30）×10]元。

师：（x-30）代表什么？

生5：代表售价上涨了（x-30）个1元。

师：好，总利润的式子还可以进一步化简吗？

生（众）：化简得-10x2+680x-9600。

师：我们不妨设总利润为y元，则y=-10x2+680x-9600，请同学们观察总利润的表达式，它是什么类型？

生（众）：是二次函数。

师：还有不同设法吗？

生6：设每件商品售价上涨了x元，则售价为（30+x）元，销量为（180-10x）件，总利润为（x+10）（180-10x）元，即（-10x2+80x+1800）元。

师：不同的设法得到了不同的利润表达式，而且第二种计算量更小些。这两个总利润的表达式有什么共同特征呢？

一位学生抢答道：它们都是二次函数。

师：原来总利润的模型是一个二次函数，那我们求利润的最大值可以怎么求？

生7：可以求对应二次函数的最大值。

师：非常棒！同学们已经成功地将一个实际问题转化为数学问题。接下来我们只要把数学问题即二次函数的最大值解出来，就可以求出实际问题中的最大利润了。

阶段2：数学模型求解

求解是利用已有的数学知识，选择恰当的数学方法和数学解题策略，求出数学模型的解答。

师：我们不妨选第二种表达式来求它的最大值。（同时教师板书如下）

解：设每件商品单价上涨x元，一个月获取的商品总利润为y元，y=（10+x）（180-10x）

=-10x2+80x+1800

师：求二次函数的最值一般有哪些方法？

生（众）：配方法、公式法、对称轴法。

师：下面请同学们选择一种方法在练习本上把这个二次函数的最值求出来。

阶段3：数学模型解答

数学模型解答是指把用数学语言表述的解答翻译转化到现实问题中，并给出实际问题的解答。

师：接下来我们要回到现实问题，当销售单价定为多少元时，该店在一个月内能获得最大利润，最大利润又是多少元？

生（众）：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获最大利润1960元。

阶段4：现实问题解答验证

师：我们还应思考一个问题，当涨价4元即售价为34元时，最大利润为1960元能否实现？

大部分学生点头表示同意，有少数学生表示不一定。

师：在实际问题中，我们还应考虑什么？

生8：还应考虑自变量的取值范围。

师：不错，那自变量的取值范围是什么？

生9：因为180-10x＞0，且x＜0，所以0＜x＜18。

师：最大利润为1960元能否实现？

生10：可以，因为x=4在此取值范围内。

师：很好，由数学模型回到现实问题时，我们一定要考虑自变量的限制条件。

（二）变式训练，再历建模过程

变式1：某公司在甲、乙两地同时销售某品牌的汽车，已知甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足y甲=-x2+10x，y乙=2x。若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，求该公司能获得的最大利润。

变式2：某工艺厂设计了一款每件成本为10元的产品，并投放市场进行实销。经调查，发现每天的销售量y件与销售单价x元存在一次函数关系y=-10x+700。若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过35元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？

（三）小结反思，回顾建模过程

师：刚才我们经历了现实问题数学化、数学模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证四个阶段，这样的过程就是数学建模过程，最大利润与最大面积都有相应的数学模型。求最大利润的一般步骤有哪些？

生11：先根据题意列出利润的表达式，即二次函数，然后求二次函数的最大值，从而得出利润的最大值。

师：二次函数的最大值一定就是最大利润吗？

生12：不一定，还应考虑自变量的限制条件，结合函数的图像性质来求最大值。

师：对，不要忘记最后验证的环节，这样我们的工作才是真正有意义的。

结 语

在初中数学教学中，模型思想的渗透与数学教师密切相关。因此，教师要在课前、课中做好充分准备：精心挑选建模的素材，素材可来源于课本或现实生活中比较有趣的、有丰富学科内涵的问题，让学生真切体会到数学不仅有趣还有用。教师还要精心设计相应的活动，让学生亲身经历建模的完整过程，即将现实问题数学化、数学模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证这四个阶段，在活动中体会数学与外部世界的密切关联，初步掌握数学建模的一般方法，进而形成模型思想，能像数学家一样进行“模型化”地处理问题。在课堂中，教师更要对学生进行引导，引导学生从不同的问题情境中找出同一类数学结构关系的数学模型的思维习惯和观念意识。为此，教师可采用变式教学，通过一系列由浅入深、层层递进的变式题使事物的非本质属性不断变化，以揭示其本质属性，进而提炼和总结出相应的模型。