浅谈求逆矩阵的几种方法

◎张家宝 （南京师范大学中北学院，江苏 丹阳 212300）

矩阵是线性代数的主要研究对象之一，在自然科学、工程技术以及管理科学中都有着广泛的应用．求矩阵的逆矩阵在矩阵理论中有着极其重要的地位．本文将给出几种求逆矩阵的常用方法．

一、求逆矩阵的方法

本文重点介绍求逆矩阵的具体步骤，因此对适用于高阶矩阵求逆矩阵的方法，也均以三阶方阵为例进行说明．

（一）利用伴随矩阵求逆矩阵

例1设求Α 的逆矩阵．

解故Α 可逆．

各元素的代数余子式为：A11＝-2，A12＝0，A13＝1，A21＝0，A22＝-3，A23＝2，A31＝1，A32＝4，A33＝-3．

利用伴随矩阵求逆矩阵也称为公式法，需要先根据｜Α｜判断矩阵是否可逆，在可逆的情况下再求A 中各元素的代数余子式，从而构造伴随矩阵，最后利用公式求所给矩阵的逆矩阵．该方法适用于求低阶矩阵的逆矩阵，较为简便快捷．

（二）利用初等变换求逆矩阵

若矩阵Α 是n 阶可逆矩阵，可通过一系列的初等行变换将其化为单位矩阵Ε，即Ρm…Ρ2Ρ1Α ＝Ε，则Α-1＝Ρm…Ρ2Ρ1＝P．也就是说，Α 可逆，Α 的逆矩阵为一系列初等矩阵的乘积［1］．具体步骤：将n 阶矩阵Α 与n 阶单位矩阵Ε构造成一个n×2n 矩阵（Α︙Ε），对其进行初等行变换，化为行最简形矩阵，此时Α 化为Ε，对应的Ε 就化为Α-1．

也可通过一系列的初等列变换将其化为单位矩阵Ε，即ΑΤ1Τ2…Τl＝Ε，则Α-1＝Τ1Τ2…Τl＝Τ．具体步骤：将n 阶矩阵Α 与n 阶单位矩阵Ε 构造成一个2n×n 矩阵对其进行初等列变换，化为列最简形矩阵即可．

例2设求Α 的逆矩阵．

解

若采用初等列变换求逆矩阵，则要注意矩阵构造上的区别．

当然，初等行变换和初等列变换也可以同时使用．若n阶矩阵Α 可逆，则Α 必与n 阶单位矩阵Ε 等价，因此Α 可经过有限次初等变换化为标准型，即存在可逆矩阵Ρ 和Τ，使得ΡΑΤ＝Ε，解得Α ＝Ρ-1Τ-1，Α-1＝ΤΡ．此时，需构造一个2n×2n 矩阵，对前n 行进行初等行变换，再对前n列进行初等列变换，化为，由此解得Α-1．

故

对于阶数较高的矩阵，利用初等变换求矩阵的逆矩阵更为高效，并且无须判断矩阵是否可逆．利用初等变换求逆矩阵时，我们习惯上采用初等行变换求解．

（三）利用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵

定理［2］：设Α 是数域P 上一个n×n 矩阵，f（λ）＝｜λΕΑ｜是Α 的特征多项式，则f（Α）＝Αn-（a11＋a22＋…＋ann）Αn-1＋…＋（-1）n｜Α｜Ε＝Ο．

记f（Α）＝Αn＋a1Αn-1＋…＋an-1Α＋anΕ＝Ο，整理得

具体步骤：先求出矩阵Α 的特征多项式，再根据特征多项式相应地写出矩阵Α 的矩阵多项式，令其等于零矩阵Ο，对所得矩阵方程进行恒等变形，求得Α-1．

求Α 的逆矩阵．

解Α 的特征多项式为

由哈密顿—凯莱定理有f（Α）＝Α3-3Α2＋2Α-2Ε＝Ο，

当矩阵阶数较低时，计算量并不繁杂，利用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵也是一种可选的方法．

（四）利用分块矩阵求逆矩阵

例4设求Α 的逆矩阵．

二、结 论

本文给出了四种求逆矩阵的一般方法．当矩阵阶数较低时，可采用公式法，利用伴随矩阵求逆矩阵，也可利用哈密顿—凯莱定理求解；当矩阵阶数较高时，可利用初等变换求逆矩阵，若分块后具有特殊结构，也可利用分块矩阵求逆矩阵．