巧用数形结合打开思维之窗

刘萍

[摘要]数形结合思想是一种重要的数学思想方法。在小学数学教学实践中，应适当利用数形结合思想，把握好数形结合之度，化难为易，化繁为简，激发学生学习的兴趣，提高学生的学习效率，发展学生的思维能力。

[关键词]数形结合;理解算理;数量关系;解决问题

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）23-0063-03

数形结合是通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法。著名数学家华罗庚先生曾经说过：.“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在实际教学中，“数”辅助“形”，可将“数”形象化;“形”辅助“数”，可使“数”直观化。学生在研究数学问题时，由数思形，见形思数，可有效解决问题。数形结合是一种常用的数学思想方法，在教学中适时地渗透数形结合思想，往往会达到事半功倍的效果。下面笔者结合一些教学案例，谈谈数形结合思想在小学数学教学中的渗透。

一、数形结合，帮助学生理解算理

算理是计算教学的难点，学生只有真正理解算理，才能牢固掌握算法。因此，如何让学生更好地理.解算理是教师在计算教学中要特别重视的问题。算理很抽象，难以理解，可通过数形结合把它简单地呈现出来。

[例1]在教学“连续进位加法”时，要笔算“376+284"的结果。如果单纯地讲哪一位上的数字相加满十就要向前一位进一，学生会感到困惑，甚至对算理产生怀疑。教师若能利用“格子图”来辅助讲解，问题就会迎刃而解，同时也能让学生参与到知识的发现和形成过程中，从而对知识的理解更加深刻。

教师出示图1，引导学生进行计算，先算6个小方格加4个小方格，即10个小方格，这样就和整十的方格放一起，也就增加了1个十。教师问：“单个的小方格还有没有剩下的？”生：“没有。”教师追问：“那个位上的数应该写0了，再看有几个表示十的方格？”学生观察图形，共同得出：除了原有的7个和8个，刚才又加了1个，一共有16个十。可把10个十换成1个百，给前面的整百加1，剩的6个十，就在十位上写6。再引导学生观察整百的方格，原来是3个百加2个百，再.加上1个百就是6个百，百位上是6，结果就是660。

教师结合图2引导学生总结出“相同数位数字相加满十就向前一位进一”，这样学生对算理的理解就更透彻了。

[例2]一位教师在讲过2、5.3的倍数的特征后，有学生质疑：“为什么2、5只判断个位，而3则需要各个数位上的数加起来才可以判断呢？”因为整十数肯定都是2、5的倍数，所以只要看个位即可，这个学生不难理解。而3的倍数怎样判断呢？教师以54为例：54里面有5个十和4个一，而判断它是否为3的倍数，只要把5和4加起来就行了，找一找5个一藏在哪里？学生百思不得其解，这时教师借助正方体图很好地解决了这个问题。教师出示了5个十加4个一：每个十都分成3个3，余1，5个十就余5。这时只要判断这5个正方体加上原来的4个是不是3的倍数即可。（如图3）

教师接着引导学生思考：判断一个三位数是不是3的倍数，为什么只要看百位、十位、个位上的数相加的和是否为3的倍数就可以了？再次引发学生的思考。

至此，数形结合，通俗易懂，形象直观，使学生对3的倍数的特征不仅知其然还知其所以然，将学生的思维引向深处。

二、数形结合，帮助学生直观地解决数学问题

学生由于年龄的局限，他们对符号、运算性质的推理可能会产生一些困难，如果适时地让学生自己在纸上涂一涂、画一画，可以拓展学生解决问题的思路。数形结合能够把一些抽象的数学问题具体化，把复杂的问题简单化，帮助学生找到解决问题的关键。

[例3]在二年级下册，学完“有余数的除法”后，让学生用这一知识来解决按规律排列的问题。在解决这类问题时，更需要关心的不是商，而是余数。怎样让学生理解余数1的含义呢？这里就需要结合图示来引导学生理解。

当学生用除法计算出结果后，结合直观图（如图4）让学生理解：余数是1时，对应着一组小旗中的第1面旗，根据排列规律，这面小旗应该是黄色的;余数是2时，对应着一组小旗中的第2面旗，根据排列规律这面小旗应该是红色的;余数是0，也就是整除时，对应着一组小旗中的最后1面，根据规律这面旗是红色的。这样通过数形结合，可让学生理解余数与旗子颜色的关系，进而建立解决问题的模型。

[例4]对于“分数的初步认识”，教材是在看图的基础上对分数进行描述的。有这样的一道题：妈妈买回一块蛋糕，弟弟吃了这块蛋糕的二，哥哥吃了剩下的二，兄弟俩都说对方吃得多，你认为呢？如果让学生通过计算去解决，在现阶段是做不到的，此时不妨引导学生用画图的方法来解决。画一个圆形表示蛋糕，弟弟吃了二，就是要将这个圆平均分成5份，弟弟吃了其中的2份，先将它涂上颜色。那还剩下3份，哥哥吃了，3份中取2份，结果很清楚了：两人吃得同样多。

通过数形结合，把复杂的数学问题变得简单明了，从而轻松解决问题。

三、数形结合，使概念掌握得更扎实

对小学生来说，许多数学概念比较抽象，很难理解，对此，教师可通过数形结合展开概念的教学，利用图形创设一定的问题情境，通过对图形的分析，帮助学生理解数学概念。

[例5]在“质数与合数”的教学中，许多学生对质数和合数概念的理解比较模糊，在判断时容易混淆。若仅凭教师的告知，而没有让学生亲身经历概念的生成过程，那么学生对质数与合数的理解会比较肤浅。因此在教学中，教师要根据学生的认知特点，采取数形结合的教学策略，让学生“人人都动手，动手有收获”，引导学生积极思考、踊跃辩论，促进学生对质数和合数深刻理解与主动建构。

比如，在讲质数和合数的概念时，教师安排了小组合作拼长方形的活动。首先为每个小組提供不同数量的小正方形（如3个、7个、8个、11个、12个、16个、20个、24个），让学生摆出长方形。

通过操作实践，让学生从拼长方形个数的“形”的分类过渡到按一个数的因数个数分类的“数”的分类上来，感悟图形操作与数字之间蕴含的联系，既实现质数和合数判断方法的教学，又渗透“在实践中感悟数学问题”和“借助数形结合的直观操作探索抽象数学问题”的思想。通过这种数与形的结合，帮助学生丰富“质数与合数”概念的理解，不再是教师硬邦邦地把知识灌输给学生，而是让学生在动手操作中理解概念。

[例6]在教学“分数的意义”时，教师要为学生创造探究的条件，让学生在动手折一折、涂一涂的过程中进一步探究分数的意义，使学生获得直接的感官认识。在认识一时，学生通过分月饼初步感知了一的意义后，教师再安排一个找圆的二的活动，让学生从观察实物上升到抽象图形的认识。认识一时，让学生利用一张正方形纸来折一折、涂一涂。学生根据不同的折法，所呈现的这张纸的一也不同。通过这种方式可发展学生的求异思维，拓宽学生的解题思路。同时让学生感悟：尽管折法不同，但都是把同一张纸平均分成了4份，其中的1份用一表示。

学生在探究中手脑并用，建立起清晰的表象，“数”的思考，“形”的创设，既激发了学生的学习兴趣，又有效地提高了学生的思维水平。

四、数形结合，帮助学生理解抽象的数量关系对于一些抽象的数学问题，教师如果只是一味地让学生分析题意，用语言表达数量关系，即使教师讲得天花乱坠，学生也只是一头雾水，难以明白。如何突破学生的认知障碍呢？教师应针对学生的认知规律和思维特点，引导他们充分利用直观的“形”，把抽象的数量关系形象具体化，从而理解抽象的数量关系。

[例7]二年级下册第五单元“混合运算”的一道题：“一共要烤90个面包，已经烤了36个，每次能烤9个。剩下的还要烤几次？”对于二年级学生来说，题目信息复杂，一时难以下手。教学中，教师可用色条图（如图6）表示出信息和问题，帮助学生直观理解问题，梳理信息，为后面学习用线段图表示信息和问题做好铺垫。

在“怎样解答”环节中，进一步借助色条图分析数量间的关系，简明而直观地了解“要解决问题，必须要先解决隐藏的问题（中间问题）一“剩下多少个面包需要烤？”然后再解决“每次烤9个，烤几次？”最后引导学生进行解决策略的总结：想好先算什么，即找出中间问题。通过数形结合，呈现较为具体直观的数学符号，有利于分析题中的数量关系，迅速找到解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

[例8]学习“分数应用题”时，有这样的一道题：姐妹俩共有故事书52本，姐姐的本数的二和妹妹的本数的一相等，姐妹俩各有故事书多少本？这是一道题中出现了不同单位“1”的分数问题，对学生的思维具有挑战性。教师可引导学生利用线段图（如图7）梳理数量关系，转化单位“1”，用分数来解答问题。

利用图形分析和解决问题事半功倍，原因在于它能使抽象的数量关系形象化，同时使得学生理解了题中的数量关系，提高了解题的正确率，提升了思维水平。

小学数学教学中，如果教师能适当利用数形结合思想，把握好数形结合之度，不但能激发学生的学习兴趣，还能化难为易、化繁为简，提高学生的学习效率，发展学生的思维能力。在教学中，教师要注意数形结合思想的渗透，为学生寻得一枝合适的“长篙”，引领学生的思维向更深处漫溯，让他们在数學的世界里快乐地歌唱！

（责编 黄春香）