对“不完全归纳”教学乱象的思考

周圆

[摘要]小学数学“不完全归纳”学情中存在着以有限的经验“想当然”、以未知为基础“去归纳”、以伪探究活动“假验证”等假象。从学科能力、自主发展、情感態度三个方面阐述了提升小学数学“不完全归纳”教学的价值，提出了在“数学化”与“具体化”中灵活转换、从“原有视角”转向“崭新视角”寻求突破从“有限素材”走向“极限思想”充分想象、在数学拓展课中经历真实的“不完全归纳”等改进策略。

[关键词]不完全归纳;学情现状;教学策略

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）23-0014-04

不完全归纳，是以某类中的部分对象（分子或子类）具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。“不完全归纳”有两种：（1）简单枚举归纳推理，这是或然性推理;（2）科学归纳推理，这是必然性推理。也就是说，“不完全归纳”是一种合情推理，必然性推理是正确的，而或然性推理可能是正确的，也可能是错误的。但是目前的小学数学教学中，学生对“不完全归纳法”有种错觉：似乎套几个例子简单验证一下，得到的结论都是正确的。这是因为学生课前已经知道了结论，课堂上只不过是配合教师走过场，完成“提出问题——进行猜想——举例论证——得出结论”的流程罢了，就像玩“过家家”游戏一般。这些“不完全归纳”的推理假象值得深思。

一、审视：小学数学“不完全归纳”学情现状分析

1.以有限的经验“想当然”

在学习加法交换律、乘法交换律之前，学生已经有了大量的计算经验，笃定“交换两个加数的位置，和不变”以及“交换两个乘数的位置，积不变”的结论是正确无疑的。然而小学生的计算经验是有限的，都局限在实数的范围内，所举的例子基本都是自然数，很少涉及小数、分数乃至负数，更不要谈无理数、虚数了。以这样有限的经验去“想当然”，说服力当然是不够的。

2.以未知为基础“去归纳”

四年级下册教材是先安排教学“三角形的内角和”（教材第78-79页），再安排教学“三角形分类"（教材第82页）。教材是让学生先算一算三角尺的内角和（直角三角形），再用撕一撕、折一折的方法验证锐角三角形和钝角三角形的内角和，通过对三种类型三角形内角和的不完全归纳去验证“所有三角形的内角和是180°”这个结论。然而，此时学生还没有学习三角形的分类，基于未知的内容“去归纳”，无异于是在建造“空中楼阁”。

3.以伪探究活动“假验证”

很多通过枚举的简单枚举归纳推理，举例验证的探究过程都是“假验证”。

（1）未穷尽的伪探究

教学“三角形的三边关系”时，很多教师按照教材让学生用两组符合条件的数据和一组不符合条件的数据，对着结论的意思去计算，通过这样三组数据得到的结果就验证了结论的正确性。这三组数据符合结论，不代表就穷尽了所有的数据组合，只要追问“是不是都如这个结论所言，三角形的两边之和大于第三边（两边之差小于第三边）呢？”，问号又要在学生的脑海里盘旋起来：毕竟没有把所有的数据组合都一一验证过，说不定就有这样一组另类的数据的确存在，只是没有遇上。

（2）暗示性的伪探究

3的倍数特征不同于2、5的倍数特征，只看尾数.是无法发现规律的。为了让学生放弃原来直观观察尾数来判断倍数的思维方式，转而另辟蹊径去计算各个数位上的数字之和能否被3整除，教师开始引导：“既然看尾数不行，那试试把各个数位上的数字加起来，看看有什么发现？”这样的引导，名为“引导”，实为“暗示”;这样的探究，名为“探究"，实为“执行”。

（3）表演式的伪探究

在探究圆的周长公式时，几乎全班学生都已经知道了圆周率π的大名，知道π的近似值是3.14，甚至有学生能背到π小数点后+十几……然而，学生和教师都还一起合作，彼此配合，表演了验证的过程：计算圆的周长和直径的商，发现都是3.14左右。其实，几乎没有一个学生真正去测量过圆的周长，圆周是曲线，他们甚至连棉线都没带……如果没有卓越的数学家发现了π，很难想象学生将从何处下手，他们的表演将会怎样展开。

二、追寻：提升小学数学“不完全归纳”教学的价值

对简单的枚举、归纳、推理而言，所考察的对象数量尽可能多一些、全面一些，有利于提高结论的可靠性;但对科学归纳推理而言，所考察的对象数量对结论的可靠程度不起主要作用，主要是揭示对象与其属性之间的因果关系，知其然且知其所以然，即使考察的对象数量不多（甚至只有一个），也能得到较为可靠的结论。简单枚举归纳推理可能是“盲人摸象”，只是“摸到”了有限的局部;科学归纳推理则力求做到“一叶知秋”，通过研究具体的某些例子验证得出一个普遍性的正确结论。

1.学科能力方面：提升儿童推理能力的需要

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“推理能力”作为数学教学的重要内容之一：‘推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”希帕索斯就是从毕达哥拉斯定理出发进行推理从而发现了无理数的实例，进而引起数学发展的变革。推理的本质在于推出新结论、生成新知识。没有推理，就没有今天的数学;没有推理，就没有真正的数学学习。由此可见提升儿童推理能力的重要性。

2.自主发展方面：发展儿童核心素养的诉求

俗话说，先做人后成才。用当下时兴的话来阐述，就是要立德树人，发展儿童核心素养，培养儿童能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。简单的枚举、归纳、推理能使儿童善于观察、主动思考、大胆设想，而科学归纳推理则能使儿童深入思考、自主学习、解决问题。主动性，是发展儿童核心素养的重要因素。

3.情感态度方面：培养儿童严谨精神的基石

数学是严谨的，尤其体现在数学学科的严密逻辑推理上，数学学科培养出的严谨精神是受用终身、全面需要的。从简单枚举探索出规律后，可以提出猜想，但一定要经过严谨的科學归纳推理才能得出结论，这个过程必须严谨、经得起推敲。因此，每一次从简单的枚举归纳、推理走向科学归纳推理的过程都是不断陶冶儿童严谨精神的历程。

三、实践：小学数学“不完全归纳”教学策略探究

波利亚说：“探索性论证不是最终的和严格的论证，仅是临时的和似乎为真的，其目的是去发现当前问题的解。我们经常不得不使用探索式论证，当我们得到完整的解后，我们得到完全的肯定性，但得到这种肯定性以前，我们经常只能满足于多少有些似乎为真的猜测。”这段话很好地揭示了简单枚举归纳推理的价值在于“发现当前问题的解”，而要想通过“不完全归纳法”得到“完整的解”“完全的肯定性”，则需要从简单的枚举、归纳、推理走向科学归纳推理。

1.在“数学化”与“具体化”中灵活转换

（1）现实情境编题一从数学到现实

教学“加法交换律”时，情境导人不应仅仅是为了列出不同的算式而设，列出两道算式后就把情境抛诸脑后，这样的情境不如不用。可以先让学生随意举例，验证实例，发现和表达规律，再让学生自己寻找生活中的事例，利用自己计算的算式进行编题，在生活经验中理解加法交换律的意义，进行科学归纳推理。学生结合生活经验，很快就概括出“无论先加哪个，最后都是把它们合起来，所以加的顺序无所谓，最后加的结果不变”。多么形象深刻的描述！不但用简洁的语言道出了加法交换律的内涵，还拓展了加法交换律的外延——从两个加数推广到无数个加数，并且说清楚了为什么加法交换律存在的道理——本质上都是把各个部分合在一起。这样从数学到现实得出的感悟远比列举无数个单调的数学算式要深刻得多！这.时候再进行符号化抽象，a+b=b+a就不显得那么单薄无力了。

（2）建立几何模型——从现实到数学

同样是交换律，乘法交换律的学习却和加法交换律不同，需要从现实到数学，通过建立几何模型来进行科学归纳推理。每人吃2个苹果，爸爸、妈妈和小朋友一家三口一共吃了多少个苹果？列式2x3或3x2都可以，得数也相等，但怎样才能说清楚其中的道理呢？一些能力比较弱的学生这样牵强附会地解释道：‘每人吃2个苹果，3人一共吃6个苹果，就相当于每人吃3个苹果，2人一共吃6个苹果。”很明显，这类学生是看到得数相同后“勉强”找个说法证明2x3=3x2，举再多这样的例子也只是重复展示计算结果而已，却很难说清其中的道理。于是就有聪明的学生用假设法来解释：“假设每人吃1个苹果，那么3人一共吃3个苹果;实际上每人吃2苹果，所以要再乘以2。”这样的解释是正确的，但是对能力比较弱的学生而言，这样的解释他们还是不明所以。有没有简单、直观的方式能说清生活中这个实例的数学道理呢？可以利用点子图（如图1）建立几何模型来解释：横着看是2个3，竖着看是3个2，都是计算一共有多少个点子，积当然不变。

教学“乘法分配律”时，可以借助长方形面积建立几何模型（如图2），图形语言很直观，用不完全归纳法得出结论：分开看，左边长方形的面积是aXc，右边，长方形的面积是bXc，总面积就是aXc+bXc;整体看，大长方形的长是a+b，宽是c，面积就是（a+b）Xc，所以aXc+bXc=（a+b）xc，反之亦成立。当然也可以从乘法的意义角度进行解释，比如5x3+2x3，即5个3加上2个3等于7个3，这样有相同加数的合并，无论相同的加数是什么，也无论相同的加数有多少个，都是成立的。既然“想明白了”这番道理，就无须再多举例。

现实情境是实现“数学化”的重要基石;好的现实情境也需要必要的“数学化”;有效的“数学化”仍需回到现实情境接受检验。因此，在“数学化”与“具体化”中灵活转换，是简单的枚举、归纳、推理走向科学归纳推理的一条重要路径。

2.从“原有视角”转向“崭新视角”寻求突破

（1）在静态画面中动态演绎

教学“三角形的三边关系”时，数据组合是无法穷尽的，所以原来的视角——通过计算静态的三角形的三条边的和差关系是很难突破重点的。不妨先细化“三角形任意两边之和大于第三边”有几种情况。可以假设a≥b≥c，那么a+b≥c和a+c≥b是肯定成立的，只需要想办法验证b+c≥a这种情况就行了，也就是较短两边之和大于最长边如果成立，那么结论就成立。如何比较两条较短边之和与最长边呢？我们通常的做法是把两条较短边相接，一头与最长边重合，看另头，也可以把两条较短边的一头分别与最长边的两头对齐，看中间是否相接。如果围绕最长边的两个端点旋转两条较短边，很容易发现，如果两条较短边之和等于最长边，则刚好碰头，无法构成三角形;如果两条较短边之和小于最长边，则不碰头，也无法构成三角形;如果两条较短边之和大于最长边，则在最长边的上或下可以碰头，能构成三角形。这样一旋转，静态的小棒就动起来了，很容易看清什么条件下能构成三角形，以及为什么能构成三角形。原来计算三组数据组合是简单的枚举、归纳、推理，现在在静态画面中动态演绎，则是科学归纳推理，学生都能直观看得见道理！

（2）在特殊性中找寻普遍性

教材从三角尺这样特殊的三角形人手验证三角形的内角和，却将视角落在了未学的三角形的分类。其实数学天才帕斯卡在九岁时就已经能将这样的简单的枚举、归纳、推理转变成科学归纳推理了。任意两个直角三角形都能拼成一个长方形，一个长方形的内角和是90°x4=360°，那么一一个直角三角形的内角和就是360°+2=180°。既然已经证明了任意直角三角形的内角和都是180°，接下来只需要把任意三角形转化成直角三角形就行了。

3.从“有限素材”走向“极限思想”充分想象

在探究“三角形的内角和”时，可以借助几何画板软件，先出示几组数据由计算机计算，再让三角形不断变高，说说三个角之间是怎么互相影响的，通过这些有限的具体素材让学生充分感知，引导学生想象：当三角形变得无限高，高到就像孙悟空的金箍棒戳破云层还要继续变高时，最上面尖尖的那个角会怎么变？下面的两个角又会怎么变？它们的和呢？然后再让三角形不断变矮，矮到最上面的顶点无限接近下面的边时，三个角怎么变化？内角和又怎么变？这样学生就很容易得出：当三角形无限高时，最上面尖尖的角无限接近0°，而最下面的两个角无限接近90°，它们的和为0°+90°+90°=180°;无限变矮时，三角和亦是180。

在从简单枚举入手，建立函数思想，再充分想象极限情况的过程中，可能学生还不能建立明确的函数关系式，更不会微积分，但是通过极限思想充分想象，他们能够做出极限时的科学归纳推理。

4.在数学拓展课中经历真实的“不完全归纳”是不是学生只需要严谨的科学归纳推理，不需要简单的枚举、归纳推理呢？显然，这两者都是“不完全归纳”不可或缺的部分。贝尔纳说过，“构成我们学习最大障碍的是已知的东西，而不是未知的东西。”既然学生容易因为课前已经知道了结论而在课堂上的探究活动中“过家家”，那么不妨在结论还未揭晓的数学拓展课中让学生经历真实的“不完全归纳”。

（1）在独立观察中发现

苏教版教材二年级上冊“表内乘除法（二）”单元复习中有这样一道拓展练习题：观察图3并填空。

学生之前只单独学习过基础的加法和表内乘法口诀，完全想不到两者之间还能有联系，更不可能提前知道结论，但是不同的色块却给了一些启示。仔细观察，从里到外，每一层的颜色不同，方块的个数正好依次是1.3.5、7，加在一起后正好依次变成了2x2、3x3、4x4的正方形。多么生动、多么巧妙的数形结合！学生通过自己的独立观察，能惊喜地发现这样连续相加的单数和平方数之间的联系，虽然不能从代数上用等差数列公式来进行严密推导验证，但是却能凭着这种“感觉"坚信自己想的是正确的，也能凭着这种“感觉"得到正确答案，这不正是小学数学“不完全归纳”的价值所在吗？

（2）在实际计算中比较

很多学生在看完题目后，第一反应就是先通分成同分母分数，再加减。前四道题用这样的基础方法还能解决，但是对于第五道算式，再通分就明显比较麻烦了。这时候学生只能通过前几道具体的算式，老老实实地先计算出结果，再比较题干的变化与结果的变化以探寻规律。这时候的计算，是真正的计算，而不是假计算、假验证。

通过计算比较，学生已经感知到结果的规律——分子都比分母少1，分子与分母相乘的得数正好是最后一个分数加数的分母，就很容易填出第五道算式的得数1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42=（6/7）。但是最后一道算式结果怎么填？需要把9900拆成哪两个数相乘？因为没有探究到规律背后的道理，所以依旧存在困难是正常的。这就需要学生回到前面的计算过程再探究，发现可以把1/6拆成1/2-1/3，同理，每一个分数加数都可以裂项成分子是1、分母是相邻的两个自然数的分数相减，对算式结果的规律自然就能“知其然且知其所以然”了。

（3）在动手操作中思考

在线段的内容中有一道拓展题：

3个点时，学生很容易操作，随便按照什么顺序连接，最终都很容易画对。但是4个点时，学生的操作过程就开始显现他们不同的思路：有的是先连外再连内，有的是选定一个点，从一个点出发依次连接。到5个点时，采用前者方法的就开始出现遗漏的情况，采用后者思路的，越画越有感觉，规律已经若隐若现。到6个点时，学生根据5个点时摸索到的方法，展开“不完全归纳”：一共有6个点，选定1个点，还剩5个点，从这个点出发就可以画5条线段，再从剩下的5个点中任选一个点，还剩下4个点，从这个点出发可以画出4条不重复的线段……以比类推，一共有5+4+3+2+1=15条。如果有n个点，那就从n-1开始，每个加数依次减少1，一直加到1为止。学生通过自己动手操作，找得特别有序，讲得也挺“在理”。拓展课上的未知内容，给学生提供了真实经历“不完全归纳”的机会，也给学生带来了探索发现的无限快乐！

综上，对未知的探索，才是学生成长的关键，因为探索的每一步都必须自己亲自迈出，没有什么现成的结论可以使用，也没有什么现成的例子可以借鉴，唯有自己动手操作，在操作中思考、发现、设想、验证，才能得到属于自己的知识。

（责编 金铃）