一道习题背后的反思

韩涛

[摘要]随着科技的发展和网络的普及，学生获取知识的途径更多，不再局限于课本，很多高科技如全息投影、5G网络、云计算等开始应用于生活，对于一些数学模型，学生可能得出超前超纲的解答。这时，教师不应回避，而应用有限的知识尽最大努力去探寻答案。这样，即使学生没有摘取最终的标准结论，但在攀登的过程中就获得成长。

[关键词]容积;最大值;函数;精确度;求导

[中图分类号]G623.5

[文獻标识码]A

[文章编号]1007-9068（2020）23-0039-02

偶然在期刊上看到一篇教学文章，谈的是对于一道习题的探究：用一块长10em、宽6cm的铝膜可以做成一个敞口的长方体金属盒，这个金属盒的体积最大是多少？按照教师的引导，学生研究出三种方案，并意识到：“同一块铝膜，剪切的方式不同，得到的体积也不同。”

一、学生提出的超纲的解答

谁知几天后有位学生利用3D作图技术和计算机程序，算出了这个金属盒的最大体积可达44cm'，并给出了施工图。尽管铝膜被整整分割成8块碎片，但结果却合情合理。笔者感慨之余不免泛起一丝疑惑：计算机是怎么推出答案的？如何验证44cm就是最大体积？计算机已经推出科学结果，再反推需要哪些条件才能促成这种结论的发生（画出施工图，凑出长、宽、高），这似乎有些因果颠倒。难道以后所有问题，都从未知的结论倒逼得出充分条件？于是，笔者开始寻找合乎逻辑和先因后果的思考方法。

二、用有限的知识无限逼近真相

设铸造成的金属盒的长、宽、高分别为x，y，z，体积为V。依照题意可知：

依据题中现有的条件，仅能列出2个方程，推演到方程（4）就断路了。所幸问题的目的是算出V的极大值，是一个动态的过程，笔者想到用试验法查验一下条件的特性。很快，笔者有了重大收获——V的取值可以超出44。比如当x=5，y=4时，V=（60-5x4）x_0≈44.4444。因为可以随意剪拼，所以长10em、宽6cm并没有限制什么，起不到决定性作用，先决条件是5个面的面积之和不得大于60em2。随后，又寻获多个在计算机的速算功能下，举例说明问题的方式显得很苍白，因为举例永远是有限的。为了查找证据，笔者在每组数据附近不断提高精确度，一度精确到了四位小数。如x=5.0，y=4.2时，V～44.5109。当x维持不变时，y在4.2上下波动，会使V值扩大吗？经过反复验算，笔者发现在四位小数范围内，y=4.2195时，V≈44.511388565最大。随着最大体积不断改变，笔者陷入迷茫：这些不断刷新的数据只能推翻最大体积为44cm3的结论，但到底怎么揭开最大值的神秘面纱？笔者从这些反例中总结出一些规律：欲使V值最大，（x+y）的值一般在9上下波动，（60-xy）、xy和（x+y）三者的大小紧密关联，相互牵制，x，y的值不能过大或者过小，应该存在一个合理区间，使得x，y值在这个区间内取值，V值刚好达到最大。由于存在两个不定数，就不能一一举例试验。

几天后，笔者蓦然回忆起一个结论：当周长恒定时，围成正方形比围成长方形面积大。如一个矩形的周长固定为28cm，那么可推知长、宽的和是14cm，符合条件的长方形如下表所示（整数）。

显然，长方形的长、宽差距越小，面积就越大，长和宽同时达到7cm时，正方形面积最大。换言之，当（x+y）恒定时，xy存在最大值，并且可以确定其大小。如此一来，两个未知数紧紧捆绑，合体成为一个未知量，解题思路峰回路转。设x+y=t，无论i取何值，

只要保证t取最大值，V就能达到最大值。并且因为分母是32，所以V值可能是分数形式，这就避免了“四舍五人”带来的争议。很快，随着t值的变化，V的最大值浮出水面：

将t近似到个位，即t=9时，V=44.71875;

将t近似到十分位，即t=8.9时，V=44.71971875;

将t近似到百分位，即t=8.94时，V=44.72134425;

……

随着t值精确度的不断提高，V值也不断增大。但小数数位是无穷多的，每把t提高一个精确度，计算起来就会愈加困难。照这样算下去，无穷无尽，显然这不是长久之计，也不是一劳永逸之法。

三、函数求导让教师站位更高

Va+240t一t3欲使V值最大，取决于分子（240t-到最大=32t）也要达到最大值。设y（t）=240t-t=-t+240t，这是一个三次函数。对该函数进行求导，并令导函数的函数值为0则有y（t）=-3t2+240=0，解得t=80，t=+45。回看题意，t的定义域是0《t《16，所以t取4V5时函数达到极大值。因为在（0，4V5）中，导函数单调递增，在（4V5，16）中，导函数单调递减，所以t=4√5时有最大值。此时：

这与先前推算出的t=8.9和t=8.94时的V值极最为贴切。为保险起见，笔者还向大学教授请教。教授给出了更为专业和严谨的解答。

首先对方程（1）和（2）进行变形，并根据拉格朗日乘数法构造函数：

对函数L求偏导数，并令它们统一取值为0，把得到的3个新方程连同原始方程组成方程组：

求得方程的解为x=2v5，y=2v5，z=v5。同样推出Va+=20v5cm'。教授还指出：根据均值不等式的成立条件（一正二定三相等），在“若x+y=t，则xy的最大值是一”这一过程中，不能默认为（x+y）必须存在。

对于一个没学过高等代数的教师来说，做这道题确实很悬，学生也同样如此。人有长短，差异总是客观存在，教师教学时要理性看待学生的差异，调动学生学习钻研的积极性，使学生进入“不愤不启，不悱不发”的状态。

（责编 吴美玲）