谈一类有趣的特殊值法——令x=-1或0或1

北京师范大学出版集团(100875) 岳昌庆

高中阶段学习二项式定理时,经常会用到一元多项式及相关系数的和与差.常见技巧是:令x=-1 或0 或1.例如1989年全国高考理科第16 题:已知(1- 2x)7=a0+a1x+a2x2+···+a7x7,那么a1+a2+···+a2=____.[答案:-2(令x=1 即得)]这种特殊值法的思想在初中数学教学中一直在不断地被渗透、尝试、探索.

例1[2005年中考浙江省余姚市卷第3 题3 分]

一次函数y=ax+b,若a+b=1,则它的图象必经过点( ).

A.(-1,-1) B.(-1,1) C.(1,-1) D.(1,1)

略解y=ax+b,1=a+b,显然,x=1 时,y=1,即过点(1,1),故选D.

评注(1)一次函数解析式与已知a+b=1,形式对仗,竖排起来放在一起,更易于发现规律.

(2)令x=1 即得y=1.

例2[2009年中考湖南省株洲市卷第8 题3 分压轴题]

定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( ).

A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c

略解ax2+bx+c=0,a+b+c=0,显然,两个根均为x=1,由韦达定理1·1=,故选A.

例3[2001年中考北京市西城区卷第14 题4 分选择题次压轴题]

无论m为任何实数,二次函数y=+(2-m)x+m的图像总过的点是( ).

A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0)

略解无论m为任何实数,令x=1 时均有y=1+(2-m)+m=3.故过(1,3),选A.

例4[2006年中考湖北省荆门市卷(人教大纲版)第18题3 分]

略解令x=1 得

令x=-1 得

(1)+(2)得

(1)-(2)得

(3)2-(4)2得

所以(a0+a2)2-(a1+a3)2=1.

评注湖北省各市、区的中考题历来以有深度、有想法、敢为天下先、有嚼头、值得研究而著称,这道题既能看出中学数学竞赛题的影子,又能看出1999年高考全国卷理科试题的影子(见本文习题第7 题),还不超出中考命题大纲,是道好题.