深度剖析问题,有效促进教学*——以对2019年广州市中考题第25题分析为例

广州市第五中学/广州市刘永东名师工作室(510621) 寻友利

二次函数与几何知识的综合一直是全国各地中考命题的考点,题目考查形式多样,近几年尤其突出考查学生的读题画图,结合图形,利用数形结合的思想方法解决问题的能力.本文结合2019年广州市中考第25 题分析学生的重难点和易错点,谈谈在教学中如何实施教学策略,提升学生的分析能力和思维能力.

一、原题呈现

(2019年广州中考第25 题) 已知抛物线G:y=mx2-2mx-3 有最低点.

(1)求二次函数y=mx2-2mx-3 的最小值(用含m的式子表示);

(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1,经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图像交于点P,结合图像,求点P的纵坐标的取值范围.

二、试题解读

1 简洁题干中蕴藏深刻内涵这是一道题干非常简洁朴实的综合题,学生熟悉题干背景,能产生一种亲切感,对克服压轴题的恐惧起到积极的心理暗示作用,学生易找到解题的切入点.但题目是含参数的二次函数,参数值的变化会产生多样思维的生长点,需要深思方能把控,同时还需要具备较强的含字母运算能力,才能精准解答.

2 层次渐进中考查学生思维该题设问遵循由易到难,由浅入深,循序渐进的原则.第(1)问中,学生可根据配方法或顶点坐标公式直接求得,难度不大,但思维要求严谨,最小值和题干中的最低点要相吻合,从而得出m＞0,这个结论为下一问解答写出自变量x的取值范围做了铺垫,并与平移m个单位保持一致性;第(2)问将抛物线平移,需要学生明晰线的平移可以化归为点的平移,即抛物线的平移转换为顶点的平移,所以顶点至关重要,只有思路清晰,目标明确,才能通过求出G1的顶点坐标(1+m,-3-m),进而抓住顶点横纵坐标的特征进一步求解,即找出G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在的函数关系.

通常情况下,平移后的顶点坐标易求,但观察x,y,m三个变量之间的关系,学生往往无从入手,不知如何找到函数关系式,难度剧增.可能部分学生会尝试特殊值法,找到多组抛物线G1的顶点坐标,然后猜测函数关系式,再进行验证.方法虽然可行,但显然不够严谨和简洁.使用这种方法,是因为学生遇到了两个障碍:一是没有意识到m是参数,一般函数都是两个变量的关系,三个变量不知如何表达,即不知道要求x,y之间的函数关系就是要消去参数m;二是观察能力不强,虽然意识到要消参,但没能顺利完成.显然前两问对学生的能力做了很好的区分.含参函数图像的平移考查了学生对函数性质的深层理解和数学运算能力,在含参的背景下寻找函数关系,并要求写出自变量x的取值范围,让学生感觉可以求解却难以完整表达,凸显思维层次的递进.在设置上,第(2)问为下一问埋下了伏笔,既起到了承上启下的作用,重点考查了学生的数学建模能力,又体现了合理的思维区分度.第(3)问是解决一条定射线和一条过定点的动态抛物线的交点问题,显然这是考查学生的高阶思维能力,所谓高阶思维,是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力,它在教学目标分类中表现为分析、综合、评价和创造.高阶思维是高阶能力的核心,主要指创新能力、问题求解能力、决策力和批判性思维能力.精准,是数学学科的主要特征,要解决第(3)问就要动中找定,找出不同m值对应的不同抛物线的共同特征[1].学生的思维层次可简单划分为以下几个层次:首先是了解层次,判断一条具体的抛物线与x轴的交点情况;其次是理解层次,判断一条含参的抛物线与x轴的交点情况;第三是掌握层次,判断一条含参的抛物线与任意一条直线的交点情况;最后是灵活应用层次,如本题设问,判断一条含参的抛物线与一条线段或射线的交点情况.显然,这一问要求学生有较好的分析能力和逻辑推理能力,考查了学生的几何直观和数学建模水平.不仅如此,本题解法多样,体现了中考命题高阶思维考查的合理性,科学性和灵活性.

三、解法简析

(1)法一:配方得:y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-m-3,则抛物线有最小值-m-3.

法二:由抛物线的对称轴为直线x=1,代入解析式求解得最小值.

(2)因为抛物线G:y=m(x-1)2-m-3 向右平移m个单位后得到抛物线G1:y=m(x-1-m)2-m-3,得顶点坐标为(1+m,-m-3),即x=1+m,y=-m-3,观察两式相加得到:x+y=1+m-m-3=-2,变形得y=-x-2,由m＞0 得x=1+m＞1,所以y与x的函数关系式为y=-x-2(x＞1).

图1

(3)法一:如图1,函数H:y=-x-2(x＞1)图象为射线.当x=1 时,y=-3;当x=2 时,y=-4,所以函数H的图象过点B(2,-4).因为抛物线G:y=m(x-1)2-m-3,所以抛物线G恒过点A(2,-3).由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则yB＜yP＜yA,所以点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.

法二:联立y=-x-2 和y=mx2-2mx-3,整理得:m(x2-2x)=1-x.因为x＞1,且x=2 时,方程为0=-1,显然不成立.所以x≠2,即x2-2x=x(x-2)≠0,得m=＞0.由x＞1 得1-x＜0;又因为m＞0,所以x(x-2)＜0,因为x＞1,所以x-2＜0.即1＜x＜2.因为yP=-x-2,所以-4＜yP＜-3.

四、易错分析

第(1)问常见错误:①直接用顶点坐标公式或者对称轴公式,但是纵坐标算错.②采用配方法,有配方意识,但是运算结果出错.

错因分析:学生对字母的理解不够深入,显示出基本功不扎实,数学运算能力有欠缺.

第(2)问常见错误:①得出顶点坐标为(1+m,-m-3),即x=1+m,y=-m-3 后对参数m取特殊值,得出几个特殊的顶点坐标,然后猜测函数关系,用一次函数,二次函数,甚至反比例函数去求,求得答案后,缺乏验证.②得出顶点坐标为(1+m,-m-3)后,读不出题意,没有参数概念和消元意识.

错因分析:学生对字母的理解不深,对参数的理解不到位,对函数关系式的理解出现偏差,以特殊代替一般.

第(3)问常见错误:①能画出题目中的定射线,但是对于含参的抛物线,无从下手,不能画出图像,导致无法解题.②采用代数方法直接联立方程求解,但是对于含参的二次方程感觉无从下手,不能理解题目中前两问求出的结论(m＞0和x＞1)的作用.

错因分析:本题难度较大,对学生的思维能力和数形结合能力要求极高,学生无法完成的主要原因是对各个知识点间的联系出现断层,无法从复杂的题目中抽取出相应的知识点,并将知识点联系起来.

五、教学导向

笔者参与了该题阅卷工作,在审阅学生答题的同时,也在思索如何在日常教学中提升学生的数学核心素养,以下两点思考,与同行共探索.

1 以退为进,有序夯实基础

夯实基础是提高学生解题能力的重要保证.第(1)问考查的知识较为简单,但是学生在遇到字母时运算容易出错,有配方出错的,亦有运算过程中符号出错的.究其原因是对字母的理解不够深入,显示出基本功不扎实,数学运算能力有欠缺.因此,要培养学生的解题能力,一定要从基本解题技能和常用数学思想方法(转换化归思想,数形结合思想,分类思想,数学建模等)抓起.在日常教学中,教师应注意加强引导学生归纳知识点之间的相互联系,切忌题海战术.对于学生基础知识中出现的错题,教师要让学生养成探究基础知识产生的背景,根源和理论依据的习惯,让学生“知其然并知其所以然”.只有基础知识扎实,学习的知识形成了知识网络,才能在解题时,快速反应题目所考的知识点,找到相应的解题策略,以达到夯实基础的教学目的.

要达成有序夯实基础的目的,以退为进是一个好方法.前面所述的四个目标层次的考查中,了解和理解层次就是夯实基础的法宝,然而,并不能单一的进行套题的机械训练,而应该以某个知识点为主线进行解题训练,打通题目之间的关联,以及在变化中夯实基础,进而提升思维能力.教学中,可通过小专题教学来有序夯实:先让学生“退”到解决题目的最基本概念或原理的回归学习,再用一条清晰的主线串联这些概念或原理,“进”到掌握来自灵活应用层次的题目中解决问题[2].

2 小中见大,落实核心素养

在评阅试卷过程中,令笔者感触最深的是第(2)问的答题情况,大部分学生能结合平移中坐标的变化规律得出G1的顶点坐标,说明学生的基础较为扎实,但在寻找G1的纵坐标y与横坐标x之间存在的函数关系时出现了较大差异,有些学生通过加减消元,很快求得答案;有些学生用特殊值法猜测函数关系,用一次函数,二次函数,甚至反比例函数去求,求得答案后,仅有部分思维严谨的学生验证所求是否正确,大部分学生缺乏验证过程;还有一部分学生在求得G1的顶点坐标就没有往下答题,不知如何下手.为什么会出现这么大的差异呢?究其原因是学生的思维能力和观察能力不够,对题目的整体性认知不够.可见,学生猜测解析式时,以为函数关系式就只有一次函数,二次函数,反比例函数.这可能跟教师平时教学过多强调模型而没有引导学生仔细识别基础概念,理解概念的内涵和外延有关.因此,在平时的教学中,教师教学的“功利化”令学生产生解题困难.我们知道,思维能力和分析能力的培养是一个漫长的过程,更多的时候要求教师以身示范,在课堂上充分展示解题思维的生长过程是提高学生思维能力的核心途径.教师在教给学生解题方法的同时,更应该将思维过程充分展示给学生,做到“授人以鱼,更授人以渔”.然而,在难题中去提升能力确实有困难,因此,教师需要借助“小中见大”,通过中等题的变式教学来提升学生思维能力并加强核心知识和数学思想的思维训练.中等题要具有较强的示范性和可变性,教师要引导学生归纳解题方法,如何进行科学改编.这些教学活动有利于拓宽学生的解题思路,提高学生的分析能力和思维能力,实现“解一题,会一类”的效果.

六、写在最后

数学核心素养是数学课程改革的新指向,是数学教育的培养目标.核心素养的提出,正是说明我们的课改还没有改好,还需要继续深化,特别是学生存在提出问题和解决问题能力弱,以及学习驱动力和创新能力弱等问题[3].学生解答第(3)问普遍不理想,这表明一线教师在提升学生数学核心素养方面是任重而道远的.“千里之行,始于足下”,在日常教学中,教师要让学生成为课堂的主体,重视学生的参与性与实践性,通过对概念知识的纵向挖掘与横向拓展,通过学生的思考和体验,在引申、推广、演变的问题中去发现新概念新方法,深入问题的本质与核心,并把数学思维外显出来,由此拓宽学生的视野.同时要加强学生的数学阅读理解和数学交流素养培育,让学生通过自身的实践活动去体悟,逐步提升学习能力.可以说,没有数学交流,就没有真正的数学课堂,也就没有真正的增长学生数学智慧,更不用说发展数学核心素养.