数形结合，让数学“活”起来

翟志刚

[摘要]数学是研究数量关系和空间形式的科学。数与形是数学研究的两个主要对象，两者不是孤立的，而是有着千丝万缕的联系。在教学中，教师不能将数与形分割开来，而是要让学生学会借助图形分析数量之间的关系，或是利用数的分析解决形的问题，使数与形完美结合。

[关键词]数学思想方法;数形结合;由数思形;由形及数;形数相辅

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020） 26-0045-02

数与形是数学学科密不可分的两个主题，数形结合是一种数学思想方法，它包含“以形助数”“以数辅形”两个方面。简单来说，就是在数学学习中，或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，或者借助数的精确性来阐明形的某些属性。在运用数形结合时要遵循以下策略。

一、由数思形，柳暗花明

随着知识深度、难度的增加，问题的抽象性逐渐增大，对于六年级学生来说，仅仅通过阅读文字信息很难厘清题目中的数量关系。这时如果借用数形结合思想，把文字内容抽象成具体形象的图形，再利用图形分析数量关系，就容易多了。

例题：六（1）班男生和女生的人数比是4：3。如果按照3名男生和2名女生为一组进行分组，则最后会剩下2名女生。六（1）班有男、女生各多少人？

师：你们是怎样想的，谁来说一说？

生1：我是试出来的。已知男、女生的人数比是4：3，那么可能有以下4种情况。其中第四种情况符合题意。

没想到的是，得出结果的同学都采用了“试”的方法。这个问题初看确实无从下手，这也许是学生迫不得已采用“试”的方法的原因。但解决数学问题不能总是停留在“试”的水平，要想提高和发展学生的思维水平，教师必须从数量关系人手，引导学生用更“数学”的方法解决。

师：你能不能想办法表示出男、女生之间的比例关系？（使学生明确，分组前男、女生的人数比是4：3;分成的小组中男、女生的人数比是3：2，还剩下2名女生）

生1：分组前男、女生的人数比是4：3，可用线段图表示。

女生一

分组前：

生2：按照3名男生和2名女生为一组，男生正好分完，那么分成的小组中男、女生的人数比是3：2。

分组后：

-师：解决问题的关键是找出其中的变化量和不变量，大家尝试分析一下。

生3：分组后，男生正好分完，是不变量，女生还剩下2名，是变化量，可以从分组前后女生人数的变化量入手解决问题。

分组前：

分组后：

-

根据六（1）班女生人数比小组中的女生人数多2人，可以列出方程解答。因为男生正好分完，可以设男生人数为x，则六（l）班女生人数是3/4x。分组后，各小组的女生人数之和是男生人数之和的2/3，则为2/3x。故而可以列出方程3/4x一2/3=2，解之得x=24。因此，六（1）班有男生24人，女生24x-=18（人）。检验：24：18=4：3，24÷3=8（组），18÷2=8（组）……2（人）。

纵观整个解题过程，学生利用数形结合解决问题的能力还有待提高。数形结合绝不仅仅是能想到用图形表示，其中还包含着一些基本的数学思想方法的运用，如本题中对变化量与不变量的分析、利用变化量的前后变化情况找出等量关系，从而列方程解决。

二、由形及数，化繁为简

小学高年级中出现较多的是利用图形解决问题，即利用图形表示数、数量关系，从而发现其中的规律，寻求到解决问题的突破口。但有一些几何问题也需要根据图形抽象出数、数量关系，利用数来解决。

例题：王老师利用两个相同的长方形来测量一张桌子的高度（如图1、图2），这张桌子的高度是多少？

图中只给出了两个数据，两幅图中都用到了两个相同的长方形，但摆放的方式不同。解决的关键是寻找桌子高度与长方形的长、宽之间的关系。学生的空间想象能力不足，要找出这之间的关系有一定困难，需要教师引导。

解法一：看图转化，寻求长方形的长、宽以及桌子高度三者之间的关系

师：长方形的长、宽以及桌子的高度之间有什么关系呢？（教师将两幅图做了修改，如图3、图4）

师：同时将两幅图上方的长方形进行移动，分别得到图3、图4。从图3可以看出，74cm比桌子的高度少长方形的长与宽的差;从图4可以看出，96cm比桌子的高度多长方形的长与宽的差。因此，74cm加96cm等于桌子高度的2倍，即桌子高度为（74+96）÷2=85（cm）。

这种分析方法需要学生有较强的空间想象能力，能在头脑中想象出桌子高度与长方形的长、宽之间的关系。在实際教学中，仅仅有少部分学生能初步理解。

解法二：利用演绎推理证明关系

符号化是小学阶段一个重要的数学思想。利用符号进行推理和证明，往往可以收到意想不到的效果。为此，我尝试让学生利用字母表示数，从而发现其中的数量关系。

师：如果我们把桌子的高度设为x.长方形的长设为。，宽设为6（如图5、图6），你能找出等量关系吗？ 师：图5中，x+b-a=74……①;图6中，x+a-b=96……②。根据等式的性质，将①、②式的左边和右边分别相加，得x+b-a+x+a-b= 170，化简得2x=170。与解法一中“74cm加96cm等于桌子高度的2倍”结论一致。

这个过程是根据图形的描述，把图形的关系转化成“数”之间的关系。抽象出数量关系后，再根据等式的性质进行简单的变形，即可求出答案。

对比这两种解法，解法一是单纯看图，通过将图形进行变形和转换，分析图形之间的关系，因为学生空间想象能力的差距，所以多数学生难以理解“74cm加96cm等于桌子高度的2倍”;解法二兼顾了看图和列等式两种方法，先分别用字母表示各个部分，再从图形中抽象出等式，并进行适当的变形，最后通过逻辑证明得到结论。在这个过程中，学生的思维水平和能力得到了锻炼和提升。

三、形数相辅，互为补益

数与形是密不可分的两个部分，它们是一个有机整体，在教学过程中互为补益。

例如，在教学一年级上册“加法和减法”时，教师很好地利用了这一策略，做到了“形”与“数”互相促进、互相补益，有效促进了学生对加法的理解。

第一阶段：教学目标主要是实现让学生从形到数的过渡。教师先向学生展示“3+2”的实例，如原来有3个小朋友，现在又来了2个小朋友，合起来一共有5个小朋友。并让学生充分地表达这个过程。在表达的过程中，这种“合起来”的思想慢慢渗透到学生头脑中，这也是数形结合教学中的一个重要环节，即形的内容要首先内化为学生的思想，然后再过渡到数的形式。

第二阶段：学生从“小朋友浇花图”中认识了“3+2=5”，在学习了写法和读法后，教师让学生进行发散性思考：“还有什么情况也可以用‘3+2=5表示？”这样做的目的是让学生结合日常生活说出与“3+2=5”意义相同的情形，激发学生利用形辅数的热情和兴趣。学生在多样的举例中，更加深刻地理解了“3+2=5”乃至加法的含义，做到了形变质通。

流程如下：

这仅仅是低年级计算教学中的一个例子，对于其他的教学内容同样也可以采用“形一数一形”的教学流程，让数与形真正做到密不可分。

“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”由数思形、由形及数，在学生的数学学习过程中都发挥着重要的作用，两者不可或缺。在解决数学问题的过程中借助图形进行描述和分析，有助于探索解决问题的方法和策略。同时，根据直观图形用符号表示数以及数量关系，再利用逻辑证明进行运算和推理，可以使一些烦琐的几何问题变简单。

（责编李琪琦）