遵循学生逻辑走向数学逻辑

徐晓良

[摘要]“鸡兔同笼”是一线教师非常关注的一个热点教学内容。分析多个版本教材的“鸡兔同笼”，解读教材编排的意图，从学生的调查问卷、访谈中了解学生的学习起点与难点，提出了“鸡兔同笼”重组后的学习路径，以促进学生深度学习的发生。

[关键词]鸡兔同笼;逻辑;单元重组

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020）26-0009-04

“鸡兔同笼”是人教版教材四年级下册第九单元“数学广角”的内容。“鸡兔同笼”在我国古代的数学名著《孙子算经》中就已经出现，为了体现其数学文化历史与独特的解决问题方法，不同版本的小学数学教材（如人教版、北师大版、苏教版、青岛版等）都把它纳入其中。“鸡兔同笼”进入教材的十几年里，教师投入了极高的教学与研究热情，在百度网页输入“鸡兔同笼”四字进行搜索，相关结果多达10 700 000个，可见专家与一线教师对它的关注度非常高。但同时也说明了“鸡兔同笼”是教学上的难点，特别是一线教师存在非常多的困惑与疑问。通过对一线教师的访谈、教材的分析与学生的调查问卷，给出“鸡兔同笼”重组后的学习路径。

一、“鸡兔同笼”的教学困惑

1.复杂的数学问题，如何遵循学生起点？

“鸡兔同笼”对四年级的学生来说是一个非常复杂的问题。复杂的原因有两个：一是很难人手。虽然解法很多，但这些方法都不是平时解决数学问题的常用方法。因此，学生面对问题时，很难用以前的经验来解决问题;二是“假设法”太抽象。“假设法”是解决“鸡兔同笼”问题非常好的数学方法，但对四年级学生来说比较陌生，而且解题步骤较多，解题的每一步表示的意思都要很清楚。而小学四年级的教材只要求学生能解决两步计算的数学问题，学生对于步骤较多的方法难以理解。因而，如何顺着四年级学生的学习起点，搭起学生的思维水平与数学思想方法之间的桥梁是关键。

2.多样化的数学方法，该面面俱到吗？

“鸡兔同笼”曾经是嘉兴小学数学团队研究的一个内容，从一线教师、名优教师到知名的特级教师都亲身参与研究，呈现课例。但听完一线教师的课后，都有一个感觉——课堂中眉毛胡子一把抓，最后啥都没抓住。究竟是什么原因呢？教材呈现的解题方法有画图法、列举法、假设法、方程法等。但纵观不同版本教材，“鸡兔同笼”无论编排在哪个年级，教材对于该年级的学生所能采用的方法都进行了呈现。的确，每种方法都对应着不同的价值，但这么多种方法都要在一节课中呈现吗？都要求学生掌握吗？从实际情况来看，教师上得手忙脚乱，但学生还是一知半解。如果不需要面面俱到或是需要梯度呈现，那么面对四年级的学生，鸡兔同笼问题的落脚点和切人点又在哪里呢？

3.学生的两极分化，如何满足不同学生的需求？

在鸡兔同笼问题的教学中，往往会出现两极分化的现象：当问题呈现时，学过奥数的学生立刻用假设法解题，没有接触过此类问题的学生就无从下手。那么面对全体学生教学时，该如何满足不同学生的需求？让没有接触过的、能力较弱的学生如何有法可循？让学过的、能力强的学生如何深入学习，理解“鸡兔同笼”问题的本质？

4.统一编排的教材，如何突破教材编排的顺序？

“鸡兔同笼”一般是安排两个课时完成相关教学，第一课时是例题学习，第二课时是巩固练习。教学后发现，许多学生还是没有较好地理解“鸡兔同笼”问题，一线教师只能通過增加课时进行相应补救，有些教师甚至用了5个课时，但最后的效果还是很差。如何突破教材编排的顺序，真正让每个学生都能理解并解决“鸡兔同笼”问题？

带着这些困惑，深度探究教材编排，从学生学习的起点人手，进行了思考、分析、实践。

二、知事——“鸡兔同笼”问题的多版本教材分析

笔者查阅了九个版本的数学教材，发现“鸡兔同笼”问题在不同版本的教材中均有编排，但编排的年级、解决方法介绍及侧重点是不同的（如表1）。

浙教版、西师大版、沪教版教材是将“鸡兔同笼”做知识增量介绍的，其中沪教版教材以“列表枚举”作为标题，借助“鸡兔同笼”的素材，侧重列表枚举方法的学习;苏教版、青岛版、冀教版、北师大版、2006年与2014年人教版教材将“鸡兔同笼”单列单元，作为数学广角中的问题解决的内容，并采用“例题+练习”格式呈现;苏教版、青岛版教材的例题中均未出现“鸡兔同笼”原型题，分别采用了“公园租船问题”“停车场问题”这样的生活实例，再在练一练中加入了“鸡兔同笼”原型题、古题等资料。

北师大版和冀教版教材，均以“鸡兔同笼”为例题，组织了一个数学主题活动。而新、旧人教版教材都将“鸡兔同笼”安排在数学广角单元，内容充实，方法多样，能给学生提供基本建模和变式提升的空间。 人教版教材将“鸡兔同笼”的教学编排从十一册下移到第八册，跨度有三个学期。在对比2006年与2014年人教版教材内容编排中发现：编排的内容整体变化不大，教学目标定位略有微调，主要减少了“方程”这种解题思路，其他（含练习题）则大体相同。

综合上述对各版本教材的分析，整理成表2：

不同版本教材安排“鸡兔同笼”的年级不同，学生学习能力差异，教材渗透的解决方法并不完全一致，呈现多样性，如“列举法”“画图法”“假设法”“列方程”等。

对比各版本教材，有两个新的思考：

思考一：教材中的诸多方法有联系吗？

教材中呈现的“列举法…‘画图法…‘假设法…‘列方程”等，表面上都是独立的。但深入分析，这些方法之间是有关联的。画图法、列举法、假设法之间是可以互相转化的：画图法是假设法的具象化，将抽象的假设法用画图的方式，形象地表达出来;列举法既可以看作是方程的原型，更可以看作是假设法的前身，通过具体数据的假设来寻找答案。因此，苏教版、浙教版教材在渗透了画图法与列举法之后，引导学生总结对比两种方法的联系;北师大版教材就以“尝试与猜测”为主题，做大做强“列举法”。

思考二：“列举法”真的很“土”吗？

综观各版本教材，例题中所要渗透的解决方法多种多样，但“列举法”却是各版本教材所唯一共同采用的解决方法。这是什么原因呢？有许多教师认为，列举法太土了，一一列举，费时间，效率低。其实，列举法是一种重要的数学方法，它是研究数学常用而本原的方法，但往往因为太过平常而被遗忘。“列举法”并不“土”，列举的过程就是学生增加数学经验的过程，通过列举，学生可以经历“鸡兔同笼”方程的完整建模过程。

在对多个版本教材的分析中也发现，同为“列举法”，各版本教材在安排上各有侧重。如北师大版教材呈现“一一列举”列表方法、列表法和“取中列举”列表法三种解决问题的方法。人教版（2014年）偏重“一一列举”的方法，还加入了特例“8，0”的情况，目的就是衔接假设法，完善对“鸡兔同笼”问题的建模体验。

三、知人——学生学习“鸡兔同笼”问题的起点分析

对紫微小学四年级5、6两个班共88位学生进行了一次前测，前测内容有两题：一是“鸡兔同笼”原题，二是变式题（共10分钟）。

第一题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡和兔各有几只？

学生答题的正确率如表3：

第二题：全班一共有38人，共租8条船，大船可以坐6人，小船可以坐4人，每条船都坐满了。大、小船各有幾条？

学生答题的正确率如表4：

从统计结果可见，无论是“鸡兔同笼”的原题还是变式题，都有四分之一左右的学生能找到正确答案。那这个数据是不是可以类推到所有班级呢？答案是否定的。笔者在2018年也对紫微小学五（1）班做过一次前测，前测的正确率高达74.3%，笔者再对农村一所小学的四年级做前测，正确率不到5%。这充分说明了班级之间存在很大的差异。是什么原因造成了这么大的差异？笔者认为，课前的学习，特别是课外奥数辅导班的学习是造成差异的主要因素。如：前测的88位学生中，就有42%的学生表示在奥数班中学习过“鸡兔同笼”问题，而农村小学的学生只有个别接触过奥数。

在对88位学生的访谈中发现，有42%的学生表示以前学过，但学过的学生正确率只有25%，从42%至25%的变化，印证了一线教师一直以来的苦恼：对四年级学生而言，“鸡兔同笼”问题真的是有难度的！学习过的学生中也有很大一部分学生不会做，没学过的学生更是束手无策。可见，除了班级间的差异外，班级内部学生对于“鸡兔同笼”问题原有的基础也呈现两极分化。因此，对于“鸡兔同笼”问题的起始教学需要低起点、低难度！

做对的学生都是采用什么方法？第一题做对的学生采用的方法如表5：第二题做对的学生采用的方法如表6：

对于典型题，做对的学生一般采用的是假设法，而对于变式题，采用假设法的学生人数却减少了近一半，为什么会这样？这样的数据或多或少说明了那5个学生对于假设法是一知半解的。在整理学生的作品中，又看到了好几张这样的作品：接触过假设法、有假设法的解题模型，但不理解假设法的真正内涵;可能还能解决“鸡兔同笼”原题，但变式题就用不了了。

可喜的是，对于变式题，有学生尝试列举，而且做对了，做错的学生中也有很多学生开始去列一列、试一试，即使没有找到正确答案。这印证了笔者的一个想法：很多学生心中是有列举尝试的意识的，是有这颗种子的。可是学完“鸡兔同笼”的内容之后又有多少学生还会用列举法呢？即使没有学会用假设法，他依然不愿意用列举这种“笨”方法。

四、润慧——“鸡兔同笼”单元重组学习路径

基于对教材和学生的分析，笔者想做的并不是学生学完“鸡兔同笼”后清一色用假设法，而是想让不同的学生都有不同的层次提升。在学习中，让没有接触过的、能力较弱的学生在束手无策时，有法可循;让有一定学习基础、一知半解的学生想套用模型时，真正理解;让已经掌握了的、能力较强的学生在正确解答时，深度理解。具体安排如表7：

1.回归原始，做强、做大“列举法”

从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷简便，但这种快捷简便是数学的价值而不是教育的价值！对于数学广角的内容，对于学生学习的价值，不仅仅只是得到一个答案和结果，更多的是要给予学生面对新的、未知的问题该如何解决的一种方法和策略的指引：面对新问题如何人手？从哪里人手？怎么进行尝试？怎样在尝试的过程中发现和总结？因此，通过重组，在课堂上让学生回归到学习的最原始状态，尝试用画一画、举一举的方法解决问题，在解决问题的过程中慢慢积累经验，一步一步地优化、提升经验，放慢脚步，做强、做大列举法和画图法。在这一过程中，学生的有序思考、观察、分析、归纳、创新、发现等综合能力都得到了发展，数学核心素养得到了培养。

2.拉长过程，做深做厚“假设法”

面对两极分化相对比较严重的“鸡兔同笼”问题，重组后的第一课时貌似忽略了“优秀学生”的存在，但这并不是放弃假设法，而是拉长体验的过程，给假设法做了更深更厚的铺垫。课堂上难免有优秀学生会提出假设法，而太快得出了如此“简易而通吃”的方法，往往会忽视结果背后的产生过程。假设全是鸡或兔，逼近的思想在画图法、列表法中都有渗透，拉长这个过程，就能给予“没有接触过或能力弱的学生”一个理解的机会，给予“貌似理解假设法的学生”一个走进假设法背后的机会。而且，第一课中的两个例题都不是典型的“鸡兔同笼”问题，而是用三角形与五边形、5角与2角这样的素材，进一步避免了部分学生套用公式，使学生从本质上来理解这些数学问题。

3.沟通融合，做透、做活“综合法”

本单元的重组中，实现了两次沟通融合。第一次的沟通融合是在第一课时中，例1要求学生完整列举，将所有情况有序地写出来。例2引导学生思考：找到正确答案后，还需要列举下去吗？通过讨论发现，找到正确答案后，不需要再列举下去了，再往下列举要么是多相关数，要么少相差数。对于例3，要求学生快速列举。这时，学生在已有的经验基础上，开始跳跃式的列举，从随意举2个数后根据相差数快速调整出正确的答案，而快速调整的过程已经是假设法的雏形了。第二次融合在第二课时，在教学了假设法后，再引导学生比较列举法与假设法，学生突然发现列举法就是假设法，只不过假设法是从特殊的数字开始，而列举法是从普通的情况开始，而本质不变的是关注总数的相差数与两种不同物体的相差数。这两个层面的沟通融合，会让学生顿悟，让学生豁然开朗。

（责编金铃）