从“碎片化拼凑”到“整体性建构”

周正娟

[摘要]“图形与几何”领域知识自身的逻辑性和教材的编排方式都为实施指向整体建构的教学提供了现实基础，只有解除碎片化教学的弊端，通过结构化教学，让学生悟得知识的内在本质和思想方法上的共性，明晰认知的主线和各知识领域之间的关联，才能变革学习方式，发展学生思维能力，促进学生可持续发展。

[关键词]“图形与几何”教学;整体建构;系统性;结构化

[中图分类号]G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020）26-0003-04

小学数学“图形与几何”领域的知识，是学生形成逻辑思维能力、发展空间观念、培养创新精神的重要载体。教学时有意识地帮助学生找到知识内在的结构、关键联结点、思想体系，进行整体性的建构，可以让学生的数学学习更具全局性，更有生长力，对小学数学教学改革具有重要意义。

一、“图形与几何”领域教材编排体系解析

知识的系统化是实施整体建构教学的前提。古希腊数学家欧几里得创造了一个具有极强逻辑性的几何世界，他从“点、线、面、距离、长度、角度”出发，借助几条简单的公理设定推出了整个几何逻辑体系。“图形与几何”领域知识内部强大的逻辑性和结构性，昭示着在教学中实施“指向整体建构”教学的必要性。小学数学教材的编写，既尊重知识自身的逻辑性，也遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》对教材编写的“体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性”的要求。

以苏教版教材为例，其在“图形与几何”领域一共编排了43个知识点，其中“图形的认识”板块有l5个知识点，“测量”板块有17个知识点，“图形的运动”板块有5个知识点，“图形与位置”板块有6个知识点，各板块的内容编排上基本遵循了从“初步辨认”到“掌握特征”的螺旋上升式展开的原则。同时，在编排重要课时之前，往往都会有一些铺垫性、准备性的课时，以此来辅助重要内容的学习。

以“图形的认识”这个板块的编排结构为例（如图1），整个认知沿着“立体一平面一立体”的主线展开，都是由“初识”“辨认”到“认识特征”。中途有为认识图形所做的知识准备，如在认识了长方形和正方形之后，并没有急于进入“三角形、平行四边形和梯形”的学习，而是穿插编排了“直线、射线和角的认识”“垂线和平行线”等内容，这为更好地探究三角形、平行四边形、梯形的特点做了准备;也有像直观认识立体图形、两次“观察物体”这样为高年级认识立体图形特征做的方法、能力上的准备。在认识图形的过程中，重视由生活经验迁移过来的对空间的认识过渡到对平面的认识，最后发展为理解空间与平面的关系。学生的空间观念在学习过程中逐渐发展起来。

教材的这些编排，既是对儿童认知特点和身心发展规律的尊重，也表明了在“图形与几何”教学时要拎清主次、分清轻重、突出重点、明确主线，这些都是在小学阶段开展基于整体建构的“图形与几何”教学的有力支撑。

二、“碎片化拼凑”教学现象及其归因分析

“图形与几何”领域的教学普遍存在重知识轻结构、重课时轻统整、重练习轻勾连、重静态辨识轻动态感知等现象，这就使得学生获得的对图形的认知呈碎片化状态。究其原因，一方面是“图形与几何”内容编排在不同年级教学，各知识板块相关知识点的编排前后相隔比较长，若教师在教学时不能吃透知识的本质、共通的结构、灵魂性的思想方法，就不能及时地在知识濒临遗忘和断层时给学生强化和巩固。比如“图形的运动”“图形与位置”知识板块，内容相对较少，长期的不接触、不喚醒，都容易造成碎片化的认知。另一方面，教师自身对“图形与几何”的认知存在差异，一些教师对教学内容仅有浅表的理解，对其在整个知识体系中的位置没有全局认识，缺少主线意识，这就造成了其在教学时仅仅着眼于某一课时的教学内容，而忽略知识系统的整体勾连。

碎片化的知识呈现零散状，而系统化的知识是整体的，是具有逻辑性的。儿童的学习倘若都是碎片化的、点状的，那么他们的学习只是不断扩充着自己的知识，这些知识孤零零地漂浮在脑海中，彼此之间缺少联系。长此以往，儿童获得的也就仅仅是一个没有灵魂的碎片化的拼图，他们不能理解这些散装的知识内部的逻辑关系，不能领略一整片森林的风景。

碎片化认知的弊端还在于增加了儿童学习的负担，由于没有掌握知识、思想、方法上的共通之处，没有掌握同一类知识的本质特征，就不能准确区分各知识点在知识体系中的位置。儿童学习“几何与图形”知识的主要途径是“直观感知一操作确认一演绎推理一度量计算”，标准化测试易于测量后两个环节的掌握情况。为防止知识被遗忘，教师往往会用大量重复性的练习来强化学生解题能力的培养，却不去关注概念、公式、性质产生的背景、原因、必要性等，不去前瞻后顾，寻找知识、方法间的共通之处，不去拔高一层纵览知识系统的全貌，这样的学习无疑缺少了生长的力量和逻辑的魅力。

三、指向整体建构的教学策略

指向整体建构的“图形与几何”教学是建立在图形知识系统和学生已有认知基础、活动经验之上的，以整体关联为抓手，以动态建构为核心，以发展思维为导向，以基础学力与数学素养为目标追求的学习过程、学习方式和方法。在实际操作时，不妨从以下几个方面展开。

1.领悟知识，紧扣本质用结构

“图形与几何”概念、定义、性质的教学不应单纯在概念的文字表述上下功夫，而要把重点放在通过“数学地交流”促进学生对其实质的领悟。学生的学习呈现碎片化的状态，很重要的一点就是学生缺少发现学习内容间的共性、知识点背后的结构的能力。教师如果能有意识地培养学生用数学的“慧眼”去发现“图形与几何”学习内容间内在的逻辑性，“四两拨千斤”，学生学习起来自然轻松。

比如计量单位的教学，长度单位、面积单位、体积（容积）单位是从一维到二维的测量，再到三维的测量，其内部的本质是什么呢？细细思考就会发现，其本质都是计量时需要确定一个统一的标准，使得表达计量的情况时别人能够明白计量情况，对计量的结果不存异议。这时候就需要一把大家公认的“尺”，用这把“尺”测量之后，就能准确地计量线的长短、面和体的大小。悟透了其本质，就能够找到计量单位学习的“三步曲”：第一步，定标准：在多样的、个性化的计量标准中确定一个具有通用价值的计量标准，获得大家的认可;第二步，去测量：用统一的计量标准去测量长度、面积或体积（容积）等;第三步，得结果：可以通过计数得出所需测量的长度、面积或体积（容积）中含有多少个计量单位，当然这个结果还可以通过计算得出，重点是得出的结果是大家都能理解的，能明晰其量值的。不管是长度单位、面积单位，还是体积（容积）单位，在教学时遵循这样的三步，学习方法上的结构自然就出来了。在教学长度单位时，让学生深刻地理解计量单位学习“三步曲”的意义，到教学面积单位时，唤醒学生学习长度单位的经验，也利用计量单位学习“三步曲”，尝试进行类比推理。结构一现，“活水”自然来：不仅看到知识生长的“源头活水”，还预见到知识生长的“未来模样”。这样的结构建立在对计量单位本质的理解之上，对同类型知识具有统摄作用，渗透、铺垫得越早，越利于学生进行角的度量、体积（容积）单位的建构，甚至“数与代数”领域计量单位的建构，结构的一致对同质知识的学习能产生较强的正迁移作用，常常起到事半功倍的效果。

2.探寻共性，前瞻后顾做统领

数学研究具有普遍的思想方法，其背后体现的是整体性思维。譬如转化思想就是“图形与几何”内容极其重要的思想，把不能解决的新问题转化成已经解决的旧问题，把繁难复杂的问题转化成简单易懂的问题，这些具有普遍意义。如果学生能够悟得这些数学思想，利用这些思想方法去统领各个知识点，就能让学到的知识连成线、织成网、架成体。

在教学梯形的面积计算时，教师出示问题：我们学过了平行四边形、三角形的面积计算公式，回忆一下是怎样研究它们的？在唤醒学生这些学习经验之后，让学生尝试研究梯形的面积可以怎么计算。学生给出的方法是多样的。教师的教学不应止于学生掌握了梯形面積计算公式，还应有意识地指导学生将几种推导方法进行梳理（如图2）。这样，学生就会发现：方法①②③是通过分割，将梯形面积转化成求长方形、三角形、平行四边形的面积，是由推导平行四边形面积计算公式的思路迁移过来的;方法④是通过添补一个完全相同的梯形，将求梯形面积的问题转化成求平行四边形面积的问题，是由三角形面积计算公式推导的思路迁移过来的。至此，得到了几类平面图形面积计算公式的共性：都是运用了转化思想，转化思想是推导图形面积计算公式的“魂”。

像上述转化思想的运用是以学习内容为载体，将学生的研究经验植入其中，既能增加学生对知识的整体认知，又能培养学生用几何研究的“基本套路”进行思考的习惯。这种将思想方法“普适”，将研究经验“一般化”，培养的是学生思维的结构性。

3.明晰主线，抓住关联显整体

“图形与几何”教学的价值体现在对儿童空间思维能力的培养。学生对图形的认知起于对客观空间的经验，经过数学的学习建立起平面图形的网络，然后再由平面图形的认知跨越到立体图形的空间架构。图形的世界如此丰富，要紧紧抓住“点一线一面一体”这条逻辑线，教学才能突出重点。在认识图形时，通过反复的渗透、点拨，让学生知道所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体。“点”是研究“线”的关键元素，“点”和“线”是研究“面”的关键元素，“点”“线”和“面”是研究“体”的关键元素（如图3）。

一年级上册通过迁移学生玩积木、玩玩具的经验引导学生认识立体图形长方体、正方体、圆柱;教学一年级下册时，如果教师通过让学生玩“盖章”的游戏，将长方体、正方体、圆柱、三棱柱等形状的印章在纸面上按一按，从实物中抽象出长方形、正方形、圆、三角形这些平面图形，学生就能在玩游戏的过程中感悟到“体”上有“面”，“面”从“体”上来。到二年级教学“角的初步认识”时，让学生在长方体、正方体、圆柱这些立体图形上找熟悉的平面图形。学生在长方体上找到了长方形，在正方体上找到了正方形，在圆柱上找到了圆。此时，课件动态展示“面”从“体”上而来的过程。“‘面上又有什么？”学生通过观察，发现“面”上有“点”，“面”上有“线”，“面”上有“角”……角是个新图形，于是学生将目光聚焦于角，开始新知识的学习。

再如认识直线、射线和线段时，让学生感受“点”动成“线”;认识长方形、正方形、平行四边形时，通过线段的平移，让学生感受“线”动成“面”;认识立体图形时，再通过长方形沿直线方向运动形成长方体，正方形沿直线方向运动形成正方体，圆沿直线方向运动形成圆柱，让学生体会“面”动成“体”。这样，学生就能感受到知识之间的内在关联，形成整体性的认知。

4.跨域链接，着眼全局促通透

“图形与几何”内容的学习要求学生具有良好的空间想象力，如果学生的空间观念不好，则很难理解图形知识。这时，教师可以链接“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”领域的学习，唤起学生的学习经验，让学生触类旁通，达到认识上的通透。

在认识射线和直线时，“射线和直线无限长”是理解的难点。为了突破这一教学难点，可以链接学生认数的经验。首先，教师出示一年级认数的课本页面：“我们认识0、1、2、3、4-的时候，会在直尺上表示它们。后来我们认识了十几、二十几……这把尺只要往右加长，我们认识的数都可以在上面排一排。数有无限多，这把尺就要向右无限延展。想一想，如果这把尺上的刻度、数字都消失了（课件显示从尺上抽象出线的过程），只会留下什么？”学生自然就能联想到，留下的是一条射线（如图4）。“以后你们还会认识比0更小的数——负数，这把尺就要向左延展（课件显示尺向左延展的动态过程，并逐渐隐去数和刻度），这时你又看到了什么线呢？”

将认数的经验迁移到对射线和直线的理解上来：数有无数个，线有无限长;能向一端无限延长的是射线，两端都能无限延长的是直线。换个角度来理解，学生的学习变得通透，具有灵性。

实施指向整体建构的小学“图形与几何”教学是避免儿童碎片化认知，突出知识本质特征，重视知识间的关联与沟通，实现几何认知系统化、结构化的回归与突围的一个视角。它尊重了儿童认识世界的规律，顺应了几何学自身逻辑性强的特点，促进了儿童整体性思维、全局性观念的发展，对改变儿童学习方式、提升儿童数学学科素养极具意义。

【本文系全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”的阶段研究成果，课题批准号：DHA190453。】

（责编金铃）