“统计与概率”领域整体建构教学思考

唐小琴

[摘要]“统计与概率”领域教学的实质是对数据进行分析。为了使学生对数据产生亲切感，更好地形成数据分析观念，可以将“统计与概率”领域置于整体建构理念下学习，从全局出发，让学生在活动中尽可能地经历数据的收集、描述、分析和应用的全过程，从而发展学生的数据分析观念，培养学生的整体性思维。

[关键词]统计与概率;整体建构;数据分析观念

[中图分类号]

G623.5

[文献标识码]A

[文章编号] 1007-9068（ 2020） 26-0007-03

自2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将原来的“统计初步知识”调整为“统计与概率”后，该领域的教学一直备受关注。之后，《义务教育数学课程标准（2011年版）》将原来的核心词“统计观念”改为“数据分析观念”。2017年，普通高中数学课程标准修订时，将“数据分析观念”列为数学学科六大核心素养之一，“统计与概率”教学再次成为大家研究的热点。

将现行的苏教版教材中“统计与概率”领域内容与其他领域相比，可以发现，整套教材中“数与代数”领域有90个知识内容，约占比52.9%;“图形与几何”领域有43个知识内容，约占比25.3%;“综合与实践”领域有25个知识内容，约占比14.7%;而“统计与概率”领域只有12个知识内容，仅占比约7.1%，具体内容如下：

一年级上册：分一分

二年级下册：数据的收集和分类整理

三年级下册：数据的汇总和简单分析

四年级上册：数据的分段整理;单式统计表、条形图;简单平均数;可能性及大小（概率）

五年级上册：复式统计表;复式条形图

五年级下册：单式折线图;复式折线图

六年级下册：扇形统计图

从教学实际来看，“统计与概率”领域的内容不多，难度也不算大，但为什么一直能成为大家关注和研究的焦点呢？究其原因，主要是大数据时代的来临，使得生活、学习比过去都更加依赖来自各方面的数据信息，人们根据问题收集数据，从中获取有价值的信息，并做出合理决策的数据分析能力已成为一项基本素养。

总体看来，“统计与概率”领域教学的重点目标是数据分析，也就是说，收集数据、整理数据、表达数据、应用数据是贯穿整个“统计与概率”的主线。具体地讲：

1.统计与概率的核心：用数据来“说话”

统计的核心是数据分析，这不难理解，因为统计的第一步就需要学生收集数据，再把数据按恰当的方式记录和整理出来，找到有价值的信息，然后解决一些问题。整个过程，就是用数据来“说话”。因此，在小学阶段的统计教学都可以出这个课题，只需要副标题不一样。

比如二年级学习统计，课题写成“用数据来‘说话——数据的收集和分类整理”，到六年级学习统计，课题写成“用数据来‘说话——扇形统计图”，这样就抓住了统计学习的核心，突出统计里最核心的——数据。（如图1）

概率的核心为什么也是“数据”呢？现在小学教材里的概率学习不要求学生用数据去描述结果，只要求学生感受可能性的大小。但作为教师，要清楚学生要学的概率就是学会用数据描述可能性的大小。什么叫“一定”？“一定”就是这个事件的可能性是1。什么叫“不可能”？“不可能”就是这个事件的可能性是0，它们都属于确定事件。什么叫“可能”？“可能”就表示这个事件发生的可能性在0和1之间，可以用分数来表示（等可能事件总量做分母，研究的目标量做分子）。当然，在苏教版教材中所涉及的用数据描述概率一般都是抛骰子、扔硬币、转转盘这些等可能事件。北师大版教材的概率教学还涉及非等可能性事件，如“抛啤酒瓶盖”的实验，对于这种非等可能性事件可以通过大数据研究得到一个频率，用频率代替概率，本质上还是数据应用。

2.统计与概率的主线：收集数据、整理数据、表达数据、应用数据

表面上看，统计学习就是通过不同的方式来刻画与描述数据。但是，不管是用哪种方式来描述数据，整个统计学习都是以数据为核心，围绕数据的收集、整理、表达（描述）和应用这条主线展开的。低学段（1-3年级），学生需要经历数据的收集和整理，整理后也会对调查的数据进行简单分析，只不过更侧重于数据的收集和整理。高学段（4-6年级），收集和整理数据后可以把它变成统计表和各种各样的统计图，然后在这些图表的基础上进行分析，这就是数据的表达和应用，高学段更侧重于数据的表达和应用。虽然低、高学段的侧重点不同，但它们是相互渗透、相互交融的，学生在“统计与概率”学习中都会经历数据的收集、整理、表达和应用整个过程，因此它是贯穿整个“统计与概率”的教学主线。

分析了“统计与概率”领域教学的核心和主线，就可以用“整体建构”理念来开展教学。下面结合部分课例，加以说明。

1.尽可能多地经历完整的数据产生过程

良好的开端是成功的一半。重视数据收集的“准备”，实际上就是增强学生发现问题、提出问题的意识。学习“统计与概率”时，很多数据都是直接用教材的，也就是学生在学习过程中没有经历数据的产生过程，只是做了得到数据之后的统计，这样的数据对学生来说是没有温度的，难以产生“共鸣”。学生对统计的数据没有感觉，培养数据分析观念又从何谈起？因此统计学习应该让学生尽可能多地经历完整的数据的产生过程。

比如教学“平均数”，课始让学生完成20秒的口算，得出算对的题数，这里并不是简单地练习口算，而是通过口算得到原始数据，让学生真实地经历数据的产生过程。有了这些数据，就可以比较谁的口算水平高，谁的口算水平低，这是用单个数据来“说話”。如果研究“哪一小组口算水平高”，当两组人数相同时，用总数可以比，但是如果两组人数不相同，就要用平均数来“说话”。学生在不断解决认知冲突的过程中，经历数据的分析过程，平均数的重要意义也就自然凸显。当然，收集数据这个过程可能需要花费大量的时间，不过，学生在真实地经历数据的产生过程中，也会感觉到数据的一些基本特性。

（1）数据的真实性

学生只要真实地经历数据的产生过程，他们就能感受到数据就在身边，但在统计过程中有可能也会出错。比如调查学生最喜欢的水果时，全班60人，但汇总后发现少了一个人，这时就要重新进行统计。这个过程给学生渗透的观念就是数据是严谨的，允许有误差但必须真实，不可以人为编造、随意修改数据。

（2）数据的时效性

正因为数据具有时效性，因此制作统计图表时都必须如实填写制表日期，如果学生不明白这一点，就会觉得填写日期是多此一举，以至于经常忘写。但如果教师在学生统计出全班同学身高的数据后追问一句：“你觉得明年咱们班同学的身高的数据还是这样吗？”学生就会感受到数据是会随着时间变化而发生变化的，它具有时效性。

（3）数据的随机性

史宁中教授认为“体验数据的随机性”是数据分析观念的重要部分，它有两个层次的含义：一是对于同样的事情，每次收集到的数据可能是不同的;二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。从这两层含义中可以看出，感受数据的随机性不只是针对概率学习，平时的统计教学也要不失时机地渗透数据的随机性。

2.每一节课的学习都置于整体结构中

通过分析发现，虽然低学段和高学段的统计内容各有侧重，但都是围绕数据的收集、整理、表达和应用这条主线展开的。因此教学这一板块内容时要有“长程”眼光，将每一节课的统计学习置于大的背景之下，置于统计与概率这条主线上，从整体上加以观察、研究和把握，而不能只见“珍珠”不见“项链”，否则就会陷入“散点式”“割裂式”的教学困境。

图2是笔者执教三年级“简单的数据汇总”的板书，从中可以看出，虽然是简单的数据汇总，但已把它置于统计学习的整个主线中，使它成为整个链条中不可缺少的一环。当然，除了需要整体把握大背景和结构，也需要关注一节课内在的逻辑和关联。这节课除了需要让学生完整地经历统计过程，还需要让学生体验到按照不同标准分类，可以得到不同的数据信息，不过这与二年级学习的根据事物不同属性（颜色、大小）分类不同，这节课是对同一属性的事物不断汇总，不断升级：首先通过收集原始数据汇总出本班各个月出生的人数，再根据各个月出生的人数汇总出各个季度出生的人数。“如果没有第一张统计表，也能知道各个季度出生的人数吗？”显然，它也可以直接由原始数据进行汇总。通过各个季度出生的人数，又可以汇总出上、下半年的出生人数，这张统計表还可以在各个月份出生人数的基础上进行汇总，也可以直接由学生手中的原始数据进行汇总。通过多个箭头使各个分类标准之间建立关联，学生既可以更好地体会原始数据的重要性，又能领悟到汇总的本质含义。

3.感悟每一种统计方法都是基于不同的需要

统计是人们根据问题背景选择合适的标准分类收集、整理、表达和应用数据，因此不同的分析方法其实没有简单意义上的对与错，只有“好”和“不好”。如何让学生感悟这种具有哲学辩证意味的思想呢？比如“简单的数据汇总”里涉及的“按出生月份”“按出生季度”“按上、下半年”这三种分类标准，在课末可以通过“你觉得哪个更好？”这一问题，引导学生的思维向更深处发展，使得学生感受每一种分类标准都是基于不同的需要，都有其合理性。再比如整个小学阶段中，学生会用不同方式来表达和描述数据，哪种表达方式更好呢？如果要比较各种数据之间的数量关系，用条形统计图比较好;如果要了解数据的变化情况，用折线统计图比较好;如果要表达部分数据在整个数据中所占比例，用扇形统计图比较好。学生站在更上位、更统整的高度比较和辨析，就能感受到每一种统计都是基于不同的需要，“适合的就是最好的”。这种在整体中的对比和感悟，可以更好地促进学生思维品性、思维品质和思维品格的提升。

总而言之，要将“统计与概率”领域置于整体建构理念下学习，从全局出发，让学生在真实的统计过程中亲近数据、感悟数据、描述数据、分析数据，从而有效提升学生数据分析观念，促进学生整体性思维、系统思维的快速发展。

【本文系全国教育科学“十三五”规划2019年度教育部重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”的阶段研究成果，课题批准号DHA190453。】

（责编金铃）