2020届大联考数学文化试题赏析与命题趋势思考

广东省中山市桂山中学(528463) 余铁青

2017年全国高考大纲中就明确要求:“在数学中增加数学文化的内容”.这是国家教育主管部门首次要求高考试题命题者必须将数学文化融入数学试题.实际上是要求考生具有一定的数学视野,试题在考查考生掌握数学的科学价值的基础上渗透了人文价值的影响.旨在培养学生崇尚数学的理性精神,形成审慎的思维习惯,体会数学的美学意义.

据统计,前两年全国各地的数学文化试题有以下特征:第一,从题型来看,大数都是以选择题的形式进行考查,少数以填空题形式出现,整体难度中等;第二,从知识点的分布来看,涉及概率与统计、立体几何、数列与方程组、不等式、跨学科综合、优美曲线等;第三,从题目来源来看,包括以《九章算术》、《张邱建算经》、《周易》等中国古代经典数学著作中的数学名题、相关素材以及国内外数学家的优秀成果、数学与其他学科的联系和实际生产生活的内容等为背景.结合最新的2020 届全国各大联考试题,题源主要来自《古代蹴鞠》、《算经十书》、《中国古代音乐》以及《七巧图谱》等,可见数学文化试题极有可能仍然是2020年高考考查的重要内容.

下面笔者给出2020 届联考的部分数学文化试题并从命题价值角度进行赏析,再结合笔者自己教学实际谈谈这些试题对笔者的教学启示.

一、以古代国内外优秀作品为背景

题目1(全国大联考2020 届高三4月联考文科数学试卷)《九章算术》中“开立圆术”曰:“置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求球的直径d的公式:若球的半径为r=1,根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为____.

评析由r=1⇒d=2⇒2=所以答案为D.

此题的计算是没有什么太大的难度.它却给我们带来了我们优秀的中国传统文化,让考生在掌握数学知识的同时领略古代数学的光辉.《九章算术》内容十分丰富,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学.本题是以该著作里面的内容来研究的几何体的数学文化为背景,试题难度设计不大.题目价值主要是体现在考查考生的推理素养,逻辑思维素养,数学运算素养等.人文价值是通过做题引导考生去理解数学,思考数学,并崇尚当时古代数学家的理性精神,当时的条件能够将数学推广到如此程度,古代数学家艰困奋斗史也是一部学习史,值得考生们深刻感悟.

题目2(全国大联考2020 届2月理科数学)我国古代木匠精于钻研,技艺精湛,常常设计出巧夺天工的建筑.在一座宫殿中,有一件特别的“柱脚”,其三视图如右图所示,则其体积为( ).

评析很明显这就是一个竖着的三棱锥和半个圆柱体的组合体,由正视图和左视图可以把三棱柱的底面三角形看成是一个底边长为4,高为2 的三角形.那么此部分的体积为而半圆柱的体积为所以该组合体的体积为8+4π,所以该题答案选择C.

本题以中国古代灿烂的木匠文化为背景命题,此题是基于此灿烂的古代木匠文化,考查学生对程立体几何三视图,体积以及空间结构复原能力的考查,体现数学的直观素养,逻辑推理素养,运算素养等等.古代木匠不使用铁钉,他们用榫卯结构解决了连接转角的固定问题,实际上已经将自由度与立体几何的知识应用发挥到了很高的水平.在现代人看到实物,依旧是感叹我们先人的文化,可以想象古代数学家早在几百上千年钱就已经有了这种思想萌芽,毫无疑问这是非常伟大的,我国的古代数学先驱的智慧值得学习,作为炎黄子孙感到无比骄傲,通过此题不仅弘扬了中国优秀的传统文化还潜移默化的培养了考生高尚的爱国主义情操.

题目3(学科网2020年3月高三第二次在线大联考新课标一理科)胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以2倍的塔高,恰好是祖冲之发现的密度设该胡夫金字塔的高为h,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度为( ).

C.(8π+)hD.(2π+)h

评析设胡夫金字塔的底面长为a,有题意知所以该金字塔的侧棱长为

所以需要的灯带总长约为

所以最后答案选D.

金字塔,在阿拉伯文里是“放锥体”的意思,形状颇似汉字的“金”字,因此被形象地称为金字塔.最著名的金字塔有,胡夫金字塔,卡夫拉金字塔和狮身人面像,孟卡拉金字塔等.它是古埃及人埋葬国王和王后的陵墓,其建造的历史从埃及第三王朝延续到第十三王朝(前2686年-前2181),距今已有四千六百多年.古代埃及金字塔是世界性的成就,里面所运用数学知识达到了古代数学的高峰.本题是以此作为文化背景,结合立体几何的相关知识点对学生进行考察,题目难度不大.其命题意图是想让考生在做题过程中不知不觉的感受国外的古代数学的灿烂与辉煌,让考生在取得数学知识的同时,开阔眼界,具有很好的人文价值.

二、以实际生产活动的内容为背景

题目4(2019 广东省百校大联考文科第11 题)

蹴鞠起源于春秋战国,是现代足球的前身,到了唐代,制作的蹴鞠已接近于现代足球,做法是:用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳,在球壳内放一个动物膀胱,“嘘气闭而吹之”,成为充气的球如图所示,将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体,在几何体内放一个气球,往气球内充气使几何体膨胀,当几何体膨胀成球体(顶点位置不变)且恰好是原几何体外接球时,测得球的体积是则正三角形的边长为( ).

评析图中的八个全等的正三角形缝制而成的空间几何体时正八面体,设正三角形的边长为a,正八面体的外接球半径为R,那么依题意所以那么所以于是只要脑中能够清晰地想象出模型,实际上不难.

蹴鞠,又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等,“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.据史料记载,早在战国时期汉族民间就流行娱乐性的蹴鞠游戏,而从汉代开始又成为兵家练兵之法,宋代又出现了蹴鞠组织与蹴鞠艺人,清代开始流行冰上蹙鞠.因此可以说蹴鞠是中国古代流传久远、影响较大的一朵体育奇葩.蹴鞠已列入我国非物质文化遗产第一批名录.

本题以此为背景,考查立体的平面展开图,是典型的多面体内切球问题.旨在考查考生的空间想象能力与运算求解能力,体现了数学建模、直观想象、数学运算等核心素养,本题在弘扬中华优秀传统文化的同时,引导考生树立正确的历史观、民族观、国家观.

题目5(2020 届金太阳高三理科第三次模拟)

中国古代乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制作材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春宫·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为( ).

评析打击乐器一共四个,从这八种乐器之中抽到打击乐的有两种情况.于是分类,如果四种里面选到一种的概率为如果四种里面选到了两种,则概率为综上至少取到一种打击乐的概率为所以答案选择B.

古代乐器主要有埙、缶、筑、排箫、箜篌、筝、古琴、瑟等,乐曲一般缓慢悠扬,主要是为了适合宫廷生活或宗教的需要.到汉朝和唐朝以后,中国通过西域和国外的交流频繁,西方主要是伊斯兰教世界和印度的音乐和乐器大量流入,汉唐时中国强大,心胸宽广,善于吸收其他文化,源于外国的乐器如笛子、筚篥、琵琶、胡琴等大量为中国音乐采纳,并被中国人改良发展,逐渐将中国原来的乐器排挤出乐坛.

此题以八音作为文化背景进行出题在考查数学排列组合的同时,对学生的音乐方面的常识进行补充,使考生了解更多的古代音乐.考后可能出现有很多考生去网上搜集关于这方面的内容,使得我国古代的灿烂音乐文化得到传承,甚至发扬和推广.

题目6(2020年全国100 所名校最新模拟试卷理科第6题)中国折叠扇有深厚的文化底蕴.

如图(2),在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇形的形状较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为( )

评析设∠AOB=θ,半圆O的半径为r,扇形OCD的半径为r1,于是有即从而因此

“折叠扇”又称为“撒扇”、“纸扇”等.它是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子;用时须撒开,成半规形,聚头散尾.本题以中国古折叠扇的平面图为背景,较好地考查了考生对平面的相关内容知识的掌握情况,考生以这个实际生活中的模型入手,应用数学知识解决实际问题,另外也传播了中国悠久的文明和智慧,同时还能让考生感受数学的神奇与魅力.增强了数学的应用性,让考生深切体会数学是实用优美的.

三、命题趋势和思考

在上述2020 的各大主流联考模拟试题中,此类题型都是以国内古代文化为背景进行设计试题的,那么在今年的高考中还是要以准备中等难度的试题为主,同时很有可能还会以外国文化背景与数学时进行融合命题,其意在增强数学文化的浸润,将眼光进一步打开,由国内走向世界.在感受中国古代灿烂的数学的文化时进一步吸收世界数学文化的精华,层次得到提高,境界得到深化.

命制的试题题型可能不再以小题为主,可能会渗透到概率统计大题.前面有排列组合和概率的小题考查,那么进一步升华成考察以数学文化为背景的大题也是有可能的,那么这就要求在后面教学复习中依旧还是强调数学核心素养的渗透.因为百变不离其宗,只是载体在变更,数学考查的核心却从未改变.