探析椭圆内一类特殊的完全四边形中直线间斜率关系

首都师范大学附属回龙观育新学校(102208) 李路军

斜率是解析几何中刻画直线的重要因素,在判断直线间的关系时起到了不容忽视的作用.而圆锥曲线的考查中,常常又是与直线分不开的,当直线与圆锥曲线建立了联系,而且有多条直线牵扯在一起时,必然就有某种内在的约束关系,那么它们的斜率间也就会有某种内在联系了.在近几年高考、竞赛及各地的模拟习题中常常出现这个特殊完全四边形中直线斜率间的关系的探索或证明或变式等问题.

一、试题呈现

试题1(2019 镇江市高三期末考试)已知椭圆C:的长轴长为4,两准线间的距离为设A为椭圆C的左顶点,直线l过点D(1,0),且与椭圆C相交于E,F两点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(ⅠⅠ)若∆AEF的面积为求直线l的方程;

(ⅠⅠⅠ)如图,已知直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为Q,设直线l与QD的斜率分别为k(0),k′,求证kk′为定值.

图1

试题2(2018 全国高中数学联赛重庆预赛题)设椭圆C的左右顶点为A,B(a,0),过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,试证:为定值,并求此定值(用a的函数表示).

二、试题模型

上述两道题尽管所需证的问题不同,但是它们是在同一个结构下不同直线间斜率的问题,有共同的特征.今天要与大家分享的就是这种类型习题中直线间斜率间的运算关系.现归纳概括为下面这道题:

题干如图,已知椭圆的左右顶点分别为A、B,直线l过点D(m,0)(0＜m＜a),且与椭圆C相交于P,Q两点.连接PA,PB、QA,QB,直线AP,AQ分别交直线x=n(n＞a)于点M,N,线段MN的中点为G,连接DG.

图2

研究的问题六条直线AP,AQ,BP,BQ,PQ,DG它们的斜率是否有某种运算关系,如果有,是什么关系?是固定的还是变化的.如果是变化的,是哪个元素起了关键的作用.

三、预备知识

预备知识1(椭圆的第三定义)AB是椭圆C:的一条直径(过中心的弦),P在椭圆上,且直线PA,PB与坐标轴不平行,则直线PA,PB的斜率之积kP AkP B为定值

图3

预备知识2(极点、极线以及完全四边形定义)如图,P是不在圆锥曲线上的点,过点P引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于点N,连接EG,FH交于点M,则直线MN为点P对应的极线.同理,PN为点M对应的极线,直线PM为点N对应的极线.三角形MNP称为自极三角形.如果点P在曲线上,其极线为过点P的切线[5]四边形HGEF为完全四边形.

点P(x0,y0)对于椭圆的极线为焦点的极线是相应的准线.P在x轴上时(非原点),其极线与x轴的交点的横坐标与点P的横坐标之积为a2.

四、试题探析

斜率关系1根据预备知识1 可知,kP AkP B=为定值,不受点P,Q,D的约束,只要它们的斜率存在,那么此关系式就恒成立.

斜率关系2如图,根据预备知识2 可知,点D(m,0)对应的极线是且AP,QB的交点在极线上,设为M;AQ,PB的交点也在极线上,设为N,设极线与x轴的交点为R.

图4

因此,直线BQ,AP的斜率间的关系,而且可以发现它们的关系是受点D的制约.点D不同,斜率间的比值不同;若点D固定,它们的斜率关系就是固定的,不会受直线l以及直线x=n的约束.

根据上面的两个关系,可得直线AP,AQ的斜率关系.

斜率关系3

由此看来,AP,AQ,BP,QB四条线相互影响;而AP,QB与AQ,PB这两对直线的斜率是由点P或Q决定,而P或Q又由直线l所牵制,自然而然就会问,直线l的斜率与这四条线的斜率有什么样的数量关系.

斜率关系4(考虑结果的简洁性,没有用kAP表示kAQ).下面进行证明.

方法1设直线AP的方程为y=k1(x+a),与椭圆联立,化简得:(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2−b2)=0,根据根与系数的关系,可知:xP=代入直线后,可得把k1换成k2(直线AQ斜率)得点Q坐标;然后利用代入化简得:再根据上面斜率关系3:代入,得证;

方法2设直线AP、AQ的方程分别为y=k1(x+a)与y=k2(x+a),则点P,Q满足方程[y−k1(x+a)]·[y−k2(x+a)]=0,即:y2−y(x+a)(k1+k2)+k1k2(x+a)2=0;又点P,Q也在椭圆上,即有代入化简:即为直线PQ的方程.其斜率为又k1k2是常数,代入,得证.

下面研究直线AP、AQ与直线x=n的交点M,N的中点G与D的连线斜率与直线l的斜率的关系.

斜率关系5把x=n分别代入AP、AQ的方程y=k1(x+a)与y=k2(x+a)中,得yM=k1(n+a),yN=k2(n+a);则MN的中点

图5

可看出DG的斜率与AP、AQ斜率之和有关;而斜率关系4 中,PQ斜率也可以用AP、AQ斜率之和表示,故得:

特殊情况:如果点D为右焦点(c,0),直线x=n恰好为右准线,即时,可得:kP QkDG=−1.也就是以MN为直径的圆恒过右焦点.

至此,这六条直线的斜率关系全部解析清楚.下面分享一组习题.

五、试题链接

(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点F的坐标;

(ⅠⅠ)求证:D,B,N三点共线.

(Ⅰ)求椭圆方程;

(ⅠⅠ)设S为椭圆右顶点,过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P,Q两点(异于S),直线PS,QS分别交直线x=4 于A,B两点.求证:A,B两点的纵坐标之积为定值.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(ⅠⅠ)若∆PAF与∆PMF的面积之比为求M的坐标;

(ⅠⅠⅠ)设直线l与x轴交于点R,若P,F,Q三点共线,求证:∠MFR=∠FNR.

(ⅠⅠ)设点P是椭圆C上异于A,B的点,直线AP交直线l于点D,当点P运动时,判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(ⅠⅠ)设A为椭圆C的左顶点,记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2.

(i)若m=0,求k1k2的值;