例谈直角三角形性质的应用

张佳萍

[摘要]直角三角形是初中阶段学习的重要图形，许多问题都需转化为直角三角形问题加以解决.探讨直角三角形性质的应用，可以提高学生的逻辑推理能力和数学问题的转化能力.

[关键词]直角三角形;性质;初中数学

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020） 23-0031-02

直角三角形是初中阶段学习的重要图形，许多问题都需转化为直角三角形问题加以解决，直角三角形有诸多性质可以利用.如利用直角三角形两锐角互余，结合同角或等角的余角相等，可得到相等的角;利用含30°角的直角三角形的性质，结合勾股定理可得此类直角三角形的三边之比;根据直角三角形斜边中线的性质，斜边上的中线将它分成两个三角形，一个为钝角等腰三角形，一个为锐角等腰三角形.利用直角三角形的勾股定理可以求线段的长，直角三角形性质的应用，一方面考查学生对直角三角形性质的掌握情况;另一方面考查学生的逻辑推理能力和数学问题的转化能力，

一、直角三角形中“∠A+ ∠B= 90°”的应用

三角形的内角和为180°，直角三角形有一个角是90°，所以其余两个角一定互余，在直角三角形中，作斜边上的高线，根据直角三角形两锐角互余，可得两组等角，再作一锐角的平分线，可得一等腰三角形.

[例1]如图l，在△ABC中，∠BA C=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于F，试说明AE=AF.

解析：根据角平分线的定义求出∠ABE= ∠EBC，再利用∠BAC=90°，AD⊥BC于点D推出∠AEF=∠AFE，然后根据等角对等边的性质得证，

评注：此题如果作锐角C的角平分线，交高线与对边有两点，这两点与点A构成的三角形也是等腰三角形，解答思路与上述相同，需要注意的是，在本题的图形中，同时存在四个直角三角形，其中△ABE是直角三角形不易发现，是本题的难点，

二、特殊直角三角形“a=1/2c”的应用

直角三角形有两类特殊的三角形，它们分别是含30°角的直角三角形、等腰直角三角形，根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边与斜边的关系是a=1/2c，据此，可得这类三角形的三边之比为1：√3：2.在等边三角形中，作任意一边上的高，或者过边上任一点作垂线，都会出现含30°角的直角三角形.

[例2]如图2所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F.

（1）求证：2BD= 2CF+ BE;

（2）若AB=4，过F作FQ ⊥AB，垂足为Q，PQ=1，求BP的长.

评注：本题在等边三角形内作了三次垂直，得到了三个含30°角的直角三角形，分别三次利用这类直角三角形直角边与斜边的一半关系，使这条直角三角形的性质得到了充分的发挥，另一方面，第2小题有两种情况，在解答时要通过画各种情况的图形找到这两种情况，不能漏解，

三、直角三角形“斜边中线的长=1/2斜边长”的应用

直角三角形斜边中线的性质是，斜边上的中线与斜边存在数量关系：中线长=1/2斜边长，斜边上的中线将它分成两个三角形，一个为钝角等腰三角形，一个为锐角等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角，可以在这样的图形中求线段长或角度，

评注：判定一个三角形的形狀时，这个三角形的形状一般为直角三角形、等腰三角形或等边三角形，这是考虑此类问题的三个方向，在解答第（3）小题时，求出∠DEC的度数使用了整体的方法，即将∠CAB+∠DBA作为一个整体处理，不能分开，

四、勾股定理的应用

直角三角形的三边有特定的数量关系，即两条直角边的平方和，与斜边的平方是相等的，也就是勾股定理.

[例4]如图8，秋千绳索OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），已知OC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，BE⊥OC于点E，OA= OB，求秋千绳索（叫或OB）的长度，

评注：在直角三角形中，已知两直角边长求斜边时，取已知两边平方和的算术平方根就是斜边长;已知一直角边和斜边时，取已知边的平方差的算术平方根就是另一直角边长，已知一边长及另两边的关系，也可以利用勾股定理建立方程求出另两边的长，本题在构图时将一个梯形通过作高分割为一个矩形和一个直角三角形，从而将四边形问题转化为直角三角形问题，

以上仅是在三角形问题中直角三角形性质的应用，属于直角三角形性质的直接应用，当然直角三角形性质的应用并不仅仅局限于此，在四边形、圆、图形变换问题中，都会用到直角三角形的性质，如在正方形中会用到等腰直角三角形性质，在矩形、菱形问题中会用到勾股定理，在应用垂径定理时常会用到勾股定理等.

（责任编辑黄桂坚）