注重几何直观 突出几何变换体现几何模型

黄江泉

[摘要]几何试题注重几何直观，突出几何变换，体现几何模型.研究中考数学几何试题对初中几何教学有很好的启发，特别是对学生几何解题能力的培养有很好的导向作用.

[关键词]中考试题;几何直观;几何变换;几何模型

[中图分类号]

G633.6

[文献标识码] A

[文章编号] 1674-6058（ 2020）23-0005-02

2019年广西贵港市的中考数学试卷中，共有两道几何综合试题，分别是第24题和第26题，两道题均具有较强的欣赏与研究价值，对几何教学有着较好的教学启示，

第24题：如图1，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.

（l）求证：AE是半圆O的切线;

（2）若PA=2，PC=4，求AE的长，

欣赏与分析：本题是圆的综合题，从知识的层面看，直接考查了切线的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等几何基本知识;从思想方法的层面看，考查了截长法与补短法、转化等数学思想方法;从几何变换的层面看，考查了翻折（轴对称）变换;从几何模型的层面看，考查了等腰三角形模型、角平分线型全等三角形模型、一线三等角型相似模型、双垂直型相似三角形等几何模型，因此本题是一道知识非常丰富、方法非常灵活的几何综合题，

对问题（1），从构造不同的几何模型出发，可得到不同的解法.

第一步是作辅助线——过O作OF⊥AE于F.

OE⊥OA，O是BC中点，利用“等腰三角形模型（三线合一）”——延长AO、DC相交于M或延长EO、AB相交于N，问题也不难解决，

对于问题（2），已知和所求之间的关系比较隐蔽，不好人手，不妨从已知出发，考虑到BC是直径，P是圆周上的点，故联结BP，有△ABP ∽△ACB，由此可求出AB，进而求出BC、BO，再利用△ABO∽△AOE，问题即可解决.可见，问题的关键依然是挖掘隐含的相似三角形△ABP∽△ACB.

第26题：已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A'B'C，记旋转角为a，当90°

（2）如图3，在（1）的条件下，设P是直线A'D上的一个动点，连接PA，PF，若AB=√2，求线段PA+PF的最小值.（结果保留根号）

欣赏与分析：本题是直线型综合题，考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识;从思想方法层面看，考查了截长法与补短法、转化等数学思想方法;从几何变换的层面看，考查了旋转变换、翻折（轴对称）变换以及平移变换;从几何模型的层面看，考查了等边三角形模型、等腰三角形（角平分线+平行线）模型、旋转型全等三角形模型等几何模型.因而是一道综合性强、难度大、方法灵活的几何压轴题，解题的关键是从基本的几何模型出发，学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，具体分析如下：

（1）②的思路一：在EF上截取EG=EC，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CEA'即可.

（1）②的思路二：过C作CG//A 'D交EF于G，先证△CEG为等边三角形，再证△CGF≌△CEA'即可.

（1）②的思路三：延长ED到G，使DC=DE，先证△CEG为等边三角形，再证△CGA'≌△CEF即可.

（2）的思路一：联结A'F，由△CGF≌△CEA'可知CA'=CF，从而可证△A'CF为等边三角形，进而可证AtE同时平分∠FEB'和∠FA' B '，从而△A'EF≌△A'EB'，于是得B'与F关于A'D对称，只要求出AB'即可.

（2）的思路二：过A'作A'M⊥B'E，得△A'ME和△A'M B'分别为含有45°角和30°角的特殊直角三角形，通过计算证明B'E=EF，进而可得到B'与F关于A'D对称，只要求出AB'即可，

通过对上述两道综合题的欣赏与分析，不难发现，中考不仅十分注重考查几何基本知识和基本技能，还十分注重考查几何证明的基本方法和基本变换，包括图形的平移、旋转和轴对称.对我们的几何教学有着很好的启示.

1.几何直观既是描述和分析问题的工具，也是解决数学问题的方法，更是数学学习的基本内容，切实加强几何直观的教学，对增强学生的学习兴趣、提高学生的学习能力和学习水平有着十分重要的意义.

2.加强几何基本图形和基本结论的教学是几何教学的基础和重点，是培养学生几何解题能力的基础和前提.

3.几何变换是研究图形关系的基本手段，是初中数学学习的重要内容之一，初中数学涉及的几何变换分为全等变换和位似变换，全等变换包括平移变换、旋转变换和翻折变换，由于几何变换能提供图形关系的依据和方法，为认识图形和构造图形提供思想指导和方法帮助，因而利用几何变换探究图形变化中数量与位置的不变性与变化规律，构造全等三角形、相似三角形及特殊三角形来解决问题，是解决几何综合题的基本策略和方法.

4.几何模型是平面几何中带有明显特征的典型图形，如平行线中的“M角模型”、角平分线中的对称全等模型及等腰三角形模型、三角形中的中点模型、全等模型、相似模型等，这些模型是我们解决综合问题中快速找到突破口、完成几何构图的重要依据，因此，切实加强数学模型意识的培养，强化数学模型的总结和训练，是培养学生的几何直观、逻辑思维和推理能力的重要方法和途径.

5.数形结合思想、转化思想、整体思想、和差法、割补法等数学思想方法是解決综合题的基本方法与策略，因此，加强数学思想方法的教学，是提高学生解题能力的重要方法和手段.

6.一题多解、一题多变、多题一解的训练，是以不变应万变、提高学生的应变能力、培养学生的创新意识的关键一招，因此，在解题教学中要切实加强，注重暴露思维过程，总结解题规律，

总之，初中数学中的几何直观、几何变换与几何模型是平面几何的核心方法与知识，是培养学生的空间观念、推理能力、模型思想、创新意识等数学核心素养的基本途径。在大力提倡核心素养的今天，我们要加大对中考数学试题的研究，更好地理解中考数学试题对落实学生核心素养的导向作用，明确初中数学教学落实核心素养的内容和要求，真正把学生的核心素养落到实处，特别是要通过初三的总复习教学，在帮助学生系统掌握初中数学知识、形成完善的知识体系、熟练掌握数学基本方法和基本题型的同时，要切实将学生核心素养的养成落实到总复习教学和训练之中，让总复习教学成为学生核心素养形成的重要时期和关键环节.

（责任编辑 黄桂坚）