唤醒数学灵魂，突出数学本质

夏华

苏教版普通高中教科书必修4中明确指出本小节的重点：一方面，让学生理解弧度的意义，并能正确地进行弧度与角度之间的换算，其中弧度的概念是本节课的教学难点;另一方面，弄清1弧度的角的含义是我们建立弧度概念的关键所在。根据笔者多年的教学经历发现，学生对于“为什么要引入弧度制”以及“如何定义1弧度的角”始终觉得很突兀，感觉教材中对1弧度角的“规定”就像是天上掉下来的一样。下面结合笔者在一次市级比赛中对《弧度制》一课的设计与执教，谈谈如何在概念教学中运用数学史料，唤醒学生对数学概念产生的过程及背景的探究，感悟概念产生的必要性，突出数学本质。

一、情境创设，提出问题——引入弧度制的必要性

著名数学家华罗庚曾经说过：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。”本节课我们就从这句话开始体会其中的内涵。

师：上节课我们学习了“任意角”的概念，初中时我们度量角的单位是什么？

生：度。

师：1°角有多大？它是如何定义的？

生：规定周角的为1度的角。

师：1°角还可以细分，1°=60′，1′=60″。

师：将1°角作为角的度量单位，去度量其他角，像这种用度作单位去度量角的单位制叫作角度制。

【设计意图】现已无法考证古人为什么要将圆周分为360等份，据说是在公元前4000年，古希腊人发现随着四季更替，天上的星座呈现出周期性的变化，并且近似观察出每360天循环一次，也就是一年。古时候人们认为天圆地方，因此天（圆）就被等分成了360份， 1份即为1度。虽然后来人们发现了一年大约是365天，但是因为360度已经使用多年，成为习惯，并且它在度量一些特殊角（平角、直角和一些正多边形的内角）数据都是整数，非常好计算，所以就被保留了下来。

师：比如30°角是1°角的30倍，那30°与sin 30°这两个量能相加吗？

生：30°是一个角度，sin 30°是一个实数，它们度量单位不统一，所以不能相加。

【设计意图】在最初的时候，三角学属于天文学的一部分，随着时代的发展，它逐渐脱离天文学，成为数学的一个分支，特别是随着近代数学的发展，人们发现用度作为角的单位度量角的大小，已不能满足科学研究的需要。人们发现：如果能统一“角”与“实数”的度量单位，就能解决更多的实际问题。但是“角度运算是60进制的”，而“实数运算是10进制的”，它更符合我们的日常习惯，于是人们就想：“角的大小能否也用一个实数来度量，这样实数与实数就能相加。”那么“用什么样的实数来度量角的大小”就成为我们迫切需要解决的问题。因此，人们就试图定义一种新的度量角的单位制，经过几代人数百年的努力，最终确立了另一种度量角的单位制——“弧度制”。

二、探究新知，揭示概念——弧度制的概念及公式表示

问题1：如图1，在半径为r的圆中，随着弧长l的改变，圆心角α会发生怎样的变化？它们之间有怎样的关系？

生：弧长越长，角越大;或弧长越短，角越小。

师：反之，是否成立？

生：成立，即角越大，弧长也越长。

师：为什么角随着弧长的改变而改变呢？大家在已有知识中能否找到依据？——基于代数的证明。

生：由弧长公式可知，当半径r一定时，圆心角α随着弧长l的增大而增大。

【设计意图】弧度制不是瞬间确立的，而是经过古人长期的探索与反复实践，慢慢摸索出来的，在此过程中，人们在思考一个问题：影响角的大小变化的因素有哪些？

师：基于上面的发现，请大家完成以下活动。

学生活动：如图2，请各小组设计方案，比较∠AOB与∠COD的大小。

生：方案一：量角（量角器）;方案二：量弧长。

【设计意图】数学探究活动就是让学生自己动手去操作，进行探究、发现、思考、分析，然后归纳、概括获得概念，并理解和解决问题的一种教学实施过程。在这个过程中，通过让学生自己设计方案比较两个角的大小，进一步体会弧长与角的大小变化的关系。

师：那么是否可以用弧长度量一个角的大小呢？请同学们思考下面一个问题。

问题2：如图3，在半径不同的圆中，长度相等的弧所对的圆心角的大小变化有何规律？

生：一方面，通过实验观察到，弧长l一定时，半径r越大，角α越小，半徑r越小，角α越大;另一方面，由弧长公式可以证明实验结果。

【设计意图】虽然弧长是影响角的大小的一个因素，但不是唯一因素，半径也是影响角的大小的因素，即在没有其他限制条件下，弧长与角之间不是一一对应关系。

师：如果没有前面的限定，弧长l与半径r变化是怎样影响圆心角α的大小的呢？请结合弧长公式，作出判断，并加以解释。

生：由，得，所以圆心角的大小n由弧长l与半径r的比值决定。

师：当比值确定了，角的大小就确定了，反之，角定，比值也定。

师：我们能否用一个实数的大小来度量圆心角的大小呢？

生：用的大小来度量圆心角的大小。

师：我们将这种度量角的方式叫作弧度制。

师：类比角度制，首先要定义“1个单位的角”（即：度量单位）。

一个很自然的想法：当=1时，就称圆心角的大小为1弧度，当=2时，就称圆心角的大小为2弧度……以此类推。

师：你能用自然语言给“1弧度的角”下个定义吗？

（学生思考并概括归纳）

1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度（radian）的角，记作1 rad（如图4所示）。这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制叫弧度制（radian measure）。

师：根据角的旋转方向不同，角有正角、负角、零角之分，相应地，我们也规定：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0。

概念深化：

若圆的半径为r，则长度为πr的弧所对的圆心角的大小为_rad。（生：π）

若圆的半径为r，则长度为2πr的弧所对的圆心角的大小为_rad。（生：2π）

若圆的半径为r，则长度为l的弧所对的圆心角的大小为_rad。（生：）

一般地，在半径为r的圆中，长度为l的弧所对的圆心角为α rad，那么圆心角的大小|a|=，α的正负由角的终边的旋转方向决定。

想一想：从运算角度看，运算结果的单位是什么？

生：因为l与r都是长度，所以它们的比值是一个没有单位的实数。

师：非常棒，也就是说弧度制其实就是用一个没有单位的实数来度量角的大小。我们给它取了个单位“rad”，只是提醒我们这个数在此表示角。因此，在用弧度表示角的大小时，在不引起误解的情况下，弧度单位“rad”可以省略不写。比如：1 rad，2 rad，π rad，可分别简写成1，2，π。

三、深入探究，有机融合——弧度制与角度制的相互转化

师：现在有了两种度量角的单位制，它们有关系吗？与角度制相比，1 rad大约有多大？

教师引导学生通过几何直观，初步感受到1 rad大约比60°略小一点（如图5）;进一步，2 rad大约比120°略小一点，是一个钝角;3 rad大约比180°略小一点，还是一个钝角。

师：那么1 rad到底有多大？弧度制与角度制“如何精确换算”呢？由前面的分析可知，平角的弧度数为π（如图6），从而有：

例1：填写下列各角的度数与弧度数的对应表。度 54° 300°

弧度 2.5

师：根据以上研究我们发现，在弧度制下，每一个角都能用一个实数来度量，反之，每一个实数也都能度量一个角。

这样，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间就建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（这个角的弧度数）与之对应;反之，每一个实数也有唯一的一个角（弧度数等于该实数的角）与之对应（如图7）。

四、问题解决，遥相呼应——推导弧度制下的弧长及扇形面积公式

例2：如图8，设长度为r的线段OA绕端点O旋转形成角α（α为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角α所对的弧，设弧长为l。

五、设计与思考

教科书首先通过类比及章头图引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法。在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中更好地形成弧度概念，建立角的集合與实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础。弧度制的引入，一方面统一了角与实数的度量单位，让一些运算成为可能，提高了解决问题的效率;另一方面，在弧度制下，很多数学公式能大为简化（如弧长公式、扇形的面积公式）。总之，弧度制的引入为后续三角函数的学习以及未来大学高等数学的学习奠定基础。

本节课从高中学生学习数学的动机、需要、兴趣出发，立足课堂实践，运用数学史实施有效的“唤醒”，即从“屏蔽”模式化、经验式的教学开始，建立基于学情、优化生态、尊重差异的新型课堂结构与价值诉求。

【备注：本文系江苏省教育科学“十三五”规划2018年度课题

《高中数学教学中“唤醒”艺术的美学建构研究》（编号D/2018/02/26）的阶段性成果之一】