三角形内角和定理的证明 教学设计

潘维松

一、指导思想与理论依据

在《数学新课程标准》中强调要以学生发展为本，特别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用。基于这样的思考，我设计了三角形内角和定理的证明这节课。课标要求数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。本节课通过对三角形内角和定理的证明，调动学生关于平行线的性质的相关知识和逻辑证明的相关经验，在此基础上经过讨论，探究，进而给出证明，学生能清晰、有条理的表达自己的思考过程。在典例解析，合作探究这个环节引导学生积极参与合作、探究、解决问题的全过程，使学生在自主学习、探索、交流中会学数学和乐学数学，力求体现“以学生发展为本”的指导思想。

二、教学背景分析

（一）教材分析

三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法，还为解决四边形和多边形的内角奠定了基础提供了方法。其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识，构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用。

基于此，确定本节课的教学重点探索证明三角形内角和定理的不同方法。

（二）学情分析

根据经验，在本节课学习之前， 学生在小学里对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识，前面又学习了三角形的有关概念，平角定义和平行线的性质，为三角形内角和定理的证明做了铺垫。但学生并末真正去论证过，尤其是辅助线的作法学生在几何证明过程中接触不多。 基于此，确定本节课的教学难点运用添加辅助线的方法对三角形内角和定理进行证明。

三、教学目标设置

知识技能：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线的方法进行证明。

数学思考：通过探索三角形内角和定理的证明过程，培养学生观察、猜想、和推理论证能力，体会“转化”的数学思想。

问题解决：能综合运用平行线的性质和添加辅助线的方法解决三角形内角和定理的证明问题，形成解决问题的一些基本策略。

情感态度：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。形成与他人交流、合作的意识和探究精神。

教学重点难点：

教学重点：利用一次函数的图象和性质解决与一次函数相关的面积问题。

教学难点：在平面直角坐标系中求三角形面积的常用方法及对三角型面积的各种方法的归纳提升。

四、教学策略分析

教学方法：

教学中采用引导发现法、尝试探究法，让他们自主探索、合作交流，充分发挥学生学习的积极主动性，让他们在展示中体验成功的快乐，培养他们的思维能力与创新精神。

教学手段：

本节课选择多媒体辅助教学，同时借助几何画板，为学生自主探究和发现新知提供必要的技术支持

五、教学过程

（一）观察情境 探索问题

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起了……”“为什么？” 老二很纳闷。

同学们，你们知道其中的道理吗？

三角形蓝和三角形红见面了，蓝炫耀的说：“我的面积比你大，所以我的内角和也比你大！”红不服气的说：“那可不好说噢，你自己量量看！” 蓝用量角器量了量自己的内角和，就不再说话了！

同学们，你们知道其中的道理吗？

1.提出问题：

（1）“三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？

（2）你都可以运用什么方法来验证这个结论呢

教师引导学生用手中的工具对结论进行验证：度量，折纸，剪拼。

教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能说明他的真实性，才能作为定理。

（二）寻找方法 研究规律

学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：①平角，②两平行线间的同旁内角。教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？下面同学们利用准备好的3三角形纸片拼一拼，画一画。

1.我探究我快乐

每個学生画出一个三角形，并将它的内角剪下，分小组做拼角实验。通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？

1、开展小组竞赛（看哪个小组发现多？说理清楚。），各小组派代表展示拼图，并说出理由。

学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法。

归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线（学生讨论，教师点评），为书写证明过程做好铺垫。

组员之间交流思路，探索不同证明方法，形成共识，准备展示。（写到展示板上）

2.我展示我精彩

小组交流之后，请学生代表展示

教师预设方法：

延长BC，过C作CE∥AB                过A作MN∥BC

在BC上任取一点D，

过D分别作DM∥AC，DN∥AB

在△ABC内部任取一点D，                 在△ABC外部任取一点D，过D点

过P点作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。          作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。

学生可能还有其它画法。

“抓住根本” 抓住“把三个角‘搬到一起，让三个顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角的定义”这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点;可以把三个角集中到三角形的某一边上;可以把三个角集中到三角形的内部的一点;可以把三个角集中到三角形的外部的一点。学数学要善于抓住不变的根本，又要灵活地在变化中认识、处理和解决问题。让学生学会“抓住根本”，而不在于有几种证明方法。培养学生的推理与证明能力。

过A作AN∥BC

也可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，

教师引导学生进行证明：三角形的内角和等于180°这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？（需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。）

已知：如图，△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA.

∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直线平行，内错角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）

你能用其他添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理吗？

（4）平面直角坐标系中的求三角形面积的万能方法（特属于平面直角坐标系中求三角形面积的方法）

已知：在平面直角坐标系中，点A（0，3）、B（1，4）、C（3，0）是△ABC

的三个顶点，

（1）求直线AC解析式

（2）求△ABC的面积。

3.我归纳我提升

在平面直角坐标系中，求图形面积的方法有

教师和学生共同总结：

1.割补法：就是分割与补形。

2.证垂直的方法的关键是猜想，猜想是在对研究的对象或问题进行观察、分析、比较等基础上，依据已有的材料和知识做出推测性想象的思维方法。

3.作平行线法，我们选择这种方法，对平行线间的面积首先要理解两个性质：1平行线间的距离处处相等;2等底等高的三角形面积相等。

4. 平面直角坐标系中求三角形面积的万能方法（特属于平面直角坐标系中求三角形面积的方法）平面直角坐标系中任意一个三角形的面积都可以写成（ ×水平宽×铅垂高）。

（三）变式练习  历练能力（我练习我成功）

已知：在平面直角坐标系中，点A、B、C是△ABC的三个顶点，

1.求直线AB解析式;

2.求△ABC的面积。

【设计意图】通过变式练习，使学生练习的过程中，巩固在平面直角坐标系中求三角形面积的方法，重点练习水平宽和铅垂高的方法。