利用端点值巧解不等式恒成立问题*

2020-07-21杨亮

中学数学月刊 2020年7期

杨亮

(海南省临高中学数学名师工作室 571800)

用导数证明不等式恒成立或由不等式恒成立求参数取值范围的问题是新课标高考压轴题的重要考点，因为这类问题要求学生熟练掌握函数与方程、数形结合、分类整合、化归与转化等思想方法．学生在解决此类问题时往往有较大的恐惧心理，觉着无从下手.其实只要学生认真分析，整理各类题型用到的思想方法和出题人考查的数学核心素养的目的，解法还是有规律可循的.笔者深入分析了历年高考导数压轴题，发现2006年、2010年、2014年、2018年高考导数题惊人地呈现周期性规律，都考查了这方面的内容．经过仔细剖析，笔者发现其函数解析式有共同的特点，解法有共同规律，可以说都可以用一个通法来解决，即“端点值切入、恒增或恒减入手找恒成立必要条件、反面找极值点证端点后立刻反单调排除”这三步解题法．下面具体阐述这种方法．

1 特例入手，牛刀小试

我们先来看2018年全国新课标卷Ⅱ理科21题第(1)小问：已知函数f(x)=ex-ax2．若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1．

分析当a=1时f(x)=ex-x2,要证明当x≥0时，f(x)≥1.注意到端点值f(0)=1恰好为f(x)≥1中的函数值1，那么我们要证明x≥0时f(x)≥1，有一种情况是一定成立的：只要x≥0时f(x)为增函数，就有f(x)≥f(0)，即f(x)≥1一定成立.所以我们很容易就想到要用导数来证明x∈[0, +∞)时，f(x)为增函数，即证明x≥0时f′(x)≥0恒成立这种方法.

显然此题作为2018年高考导数题的第(1)问，入手比较容易，但它体现了我们解题方法中的前两步：“端点值切入--恒增或恒减入手找恒成立必要条件”．这也算是我们这种方法在无参数问题情形下的一次预热.

2 接触正题，初试锋芒

我们看2006年全国卷Ⅱ理科20题：设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

题设要求对函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，要有x≥0时f(x)≥ax恒成立.我们可以构造函数g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，只需要x≥0时，g(x)≥0恒成立就可以了.注意到端点值g(0)正好为0，与给出的g(x)≥0的函数值0相吻合，即只要g(x)≥g(0)恒成立就可以了.这就满足了我们三步解法中的第一步“端点值切入”，但此题显然比2018年的导数题第(1)问要难.因为g′(x)=ln(x+1)+1-a，显然g′(x)的正负与参数a的值有关，不可能像2018年那题那样用导数恒正进而用x≥0时函数递增来证g(x)≥g(0)成立.

这样，我们就得先进行第二步，先看x≥0时g′(x)≥0恒成立时a取什么范围，把这个必要条件求出来，即进入“恒增或恒减入手找恒成立的必要条件”这一环节．因为g′(x)=ln(x+1)+1-a，又x≥0时，ln(x+1)≥ln 1=0,故只要1-a≥0即a≤1时，g′(x)≥0就恒成立，从而g(x)在x∈[0, +∞)时为增函数就恒成立，则g(x)≥g(0)=0成立，所以a≤1时f(x)≥ax一定成立.但这时下结论还不够严谨，a≤1只是结论成立的必要条件，我们还没讨论a>1时有没有可能成立.数学是严谨的，我们必须进行讨论.现在进入第三步“反面找极值点证端点后立刻反单调排除”，即只要说明在x≥0时，f(x)马上递减.这样在x≥0时，函数值马上就有负值，则x≥0时f(x)≥0显然不会成立.这样我们就证明了它就是这种特殊情况.

显然a>1时，由g′(x)=ln(x+1)+1-a=0时可解得x=ea-1-1，且我们知道g′(x)= ln(x+1)+1-a在x∈[0,+∞)时为单调递增函数.因为对于01时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．故a>1舍去．综上,a≤1为充要条件，a的取值范围是(-∞，1]．

这道题就是“端点值f(0)切入、恒成立找必要条件a≤1(x≥0时恒增)入手、在a>1时反面找极值点，即x在大于0时马上找0到极值点内导数小于0，函数递减来排除”这三步.

我们可以用几何画板软件构造参数a，画出g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax在参数a取不同数值时函数的图象.可以直观地看出，在x≥0条件下，当a≤1时，g(x)在x∈[0,+∞)时为增函数恒成立；当a>1时，g(x)在x∈[0,+∞)时呈先减再增的变化规律.有条件的话，可让学生动态演示这个课件，加深学生的理解.

图1 图2

3 检验实效、趁热打铁

我们再来看2014年新课标卷Ⅱ理科21题：已知函数f(x)=ex-e-x-2x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0,求b的最大值．

直接看第(2)问.g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,因为当x>0时，g(x)>0恒成立，而g(0)=0，所以只要g(x)>g(0)，端点值属于代入成立问题，满足第一步.故我们自然想到进入第二步，恒增入手.

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