2019年中考中的传统文化试题赏析*

王成良 罗 伟

(江苏省常州市实验初级中学 213000)(江苏省徐州市第二十四中学 221000)

对于数学文化，顾沛教授认为：简单地说，是指数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展；广泛些说，除了上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分，数学与社会的联系，数学与各种文化的关系等．喻平教授认为：每一个中考试题都蕴含一定的数学思想方法，都具有数学文化．而传统文化试题，相对来说文化成分的呈现方式是明显的，在各地中考试题中频繁出现．笔者选取2019年部分中考试题进行研究，包含中国传统文化与数学的融合、中国古代数学名著中的问题、中国古代著名的数学问题、外国传统文化试题四方面，现选取部分经典题目进行赏析．

1 中国传统文化与数学的融合

在中国传统文化中，有许多具有代表性的东西，为人们的生活带来了便利，促进了人们健康文明的生活.这些与数学也有一定的关系，在中考中经常能见到它们的身影．如甘肃陇南的象棋与坐标，甘肃天水的太极与概率，湖北武汉的“漏壶”与函数，四川达州的剪纸与轴对称图形，江苏苏州的七巧板与正方形边长，山东济宁的“三孔”、5G网络与分式方程，都显出了传统文化与数学的融合．

例1(甘肃陇南)中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强而深受大众喜爱．如图1，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0,-2)，“马”位于点(4,-2)，则“兵”位于点．

图1 图2

思路 根据“帅”“马”的坐标先确定原点的位置．

解根据题意可得原点位置，建立直角坐标系，如图2所示，则“兵”位于点(1,-1)．

赏析本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系中原点的位置．象棋是中国的传统，不仅是一种老少皆宜的娱乐活动，还蕴含着丰富的哲理以及许多数学知识．把棋子看作点，不同的点也就有了不同的坐标．本题还可再增加一个问题：“若下棋时出‘马’，则‘马’移动后的坐标为．”这样使传统文化与数学进一步融合，显示出数学的趣味性和应用广泛性．

2 中国古代数学名著中的问题

中国古代有许多数学名著，记录了数学文化的发展历程，为中国数学文化的传播做出了重要的贡献．近年来，一些中考题便从这些名著中选取，其中考查频率最多的是《九章算术》，另外还有《孙子算经》《周髀算经》《算学启蒙》《增删算法统宗》《御制数理精蕴》《洛书》等；从内容上，主要考查一元一次方程、二元一次方程组的列法、解法，有的要求列出方程或方程组，有的则需要求出结果．另外也有试题涉及函数、勾股定理等知识．

例2(山东泰安)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．

思路 根据题意先找出题目中的两个等量关系： ①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)-(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两．

赏析此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

《九章算术》成书于公元1世纪，是中国乃至东方第一部自成体系的数学专著，总结了战国、秦、汉时期的数学成就，创立了机械化算法体系．其内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股共九章．本题为盈不足问题．《九章算术》中的算法比欧洲同类算法早1 500多年，对世界数学发展产生了重要的影响．《九章算术》的问题在中考中大都是出示文言文之后又给出了现代文翻译，主要是考虑到初中学生的阅读能力．

例3(浙江金华)元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”图3是两匹马行走路程S关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是．

图3

思路 从问题看，是追及问题，可以通过设未知数列一元一次方程求出时间t，再结合图3中一次函数与正比例函数的图象即可求出点P的坐标．

解根据题意得150t=240(t-12)，解得t=32，150t=150×32=4 800，故点P的坐标为(32, 4 800)．

赏析本试题出示的文言文相对简单，绝大多数学生能看懂，所以没有给出现代文翻译．从图象看，点是一次函数与正比例函数的图象的交点，从问题叙述来看，则是追及问题，所以列一元一次方程求解比求出两个函数再求交点坐标更简单易懂．

《算学启蒙》是元朝朱世杰所著，全书共三卷，20门，总计259个问题和相应的解答．包括从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程等数学各方面，由浅人深，形成了一个较完整的体系． 其中正负数乘法法则不仅是在中国数学著作中，也是在世界上首次出现．该著作曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展．本题则主要为方程问题．

3 中国古代著名的数学问题

在中考中，有时涉及中国古代著名的数学问题，如浙江宁波的勾股定理应用、浙江绍兴的幻方计算、台湾的勾股容圆计算等.在这些计算中可以发现古代数学的智慧．

例4(浙江宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图4，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图5的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )．

图4 图5

A．直角三角形的面积

B．最大正方形的面积

C．较小两个正方形重叠部分的面积

D．最大正方形与直角三角形的面积和

思路 先把直角三角形的三边分别用a,b,c表示出来，再把阴影部分的面积表示出来之后，与四个选项对比．

解设直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，斜边长为c．由勾股定理得a2+b2=c2，阴影部分的面积为c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c)，较小两个正方形重叠部分的长为a，宽为a-(c-b)，面积为a[a-(c-b)]=a(a+b-c)，恰好等于阴影的面积，故选C．

赏析本题考查勾股定理的内容及折叠等知识，需要较强的空间想象能力，具体做题时学生可以动手折叠，培养几何直观能力及思维能力．

《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法．唐初规定它为国子监明算科的教材之一．勾股定理是人类宝贵的财富，被称为千古第一定理，是数形结合的典范，中国古代《周髀算经》最早有相关的记载，在国外则相传为古希腊毕达哥拉斯发现．

4 外国传统文化试题

也有许多有关外国传统文化的试题出现在中考中，如浙江衢州的“三等分角”、浙江温州的《几何原本》相关的内容、江苏扬州的哥德巴赫猜想、江苏徐州的斐波那契数列，这些内容值得我们去学习．

图6

例5(浙江衢州)“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的．借助如图6所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在点O相连并可绕O转动，点C固定，OC=CD=DE，点D,E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是( )．

A．60° B．65° C．75° D．80°

思路 求∠CDE的度数可根据“三等分角仪”中给出的三条相等的线段，转化为两对相等的角，再结合三角形内角和等知识求解．

解因为OC=CD=DE，所以∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC．设∠O=∠ODC=x°，则∠DCE=∠DEC=2x°，所以∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x°．因为∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，所以x+(180-4x)+75=180，解得x=25，所以∠CDE=180°-4x°=80°．故答案为D．

赏析三等分角是古希腊人提出来的一个古老的数学问题，只借助直尺和圆规把一个角三等分，与化圆为方、立方倍积问题并列称为古代数学的三大难题，包括阿基米德在内的许多数学家都没有做出来，如今证实了这个问题无解．本题的“三等分角”加上了三条线段相等的条件，用到了度量，故不是真正意义上的三等分角，但这种方法却给实际生活带来了方便.比如图6中，先调整仪器，使∠BDE与所要测量的角重合，然后再把点O移到与点D重合，沿OA就可以画出它的一条三等分线，题目要是再说清楚使用方法就更好了，这体现了数学的应用意识与创新意识．

图7

赏析本题通过图形展示了平方差公式的证明方法，但接下来的问题比较难，是选择题的压轴题，考查数形结合的思想，运用了勾股定理、相似、换元等知识和方法，需要较强的思维能力．

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，成书于公元前300年左右，又称《原本》，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，创立了逻辑演绎体系，被广泛地认为是历史上最成功的教科书，以严谨的几何论证闻名，决定了整个西方数学和科学的发展史．

在以后的教学中，教师可以多精选蕴含传统文化的题目让学生去阅读、欣赏和解答．首先，在课本中有不少它们的身影，让学生仔细品味传统文化的精髓所在．其次，在一些中考题中引导学生去发现这类问题所需要的知识、思想、方法，不断进行总结．另外，教师可以把《九章算术》《孙子算经》《几何原本》等图书放到教室供学生课余时阅读并写些心得体会，让学生体会传统文化之美，领略中外数学精神，进而提升自己的数学文化素养．