自定义工具，让GeoGebra如虎添翼*

罗建宇

(江苏省张家港市沙洲中学 215600)

在“互联网+”时代，有效应用技术以解决教与学的实际问题，推动学生对数学本质的认识和数学思维的提升，已成为当下数学教育工作者面临的新课题．GeoGebra(简称GGB)作为一款“专为教与学的动态数学软件”，能实现几何作图、代数运算和数据处理等的跨平台联动，能深入学科内部而帮助学习者洞悉数学本质，能构建“抽象的数”与“可见的形”间的联系通道而提升思维层次，更能突破数学“难以意会、无法言传”的障碍而转变学习方式.于是,让GGB走进课堂，实现GGB与数学教与学的深度融合，已成为诸多一线教师的共同选择，“懂得GGB，她就给你独到眼光，让你洞悉数学世界”[1]．

GGB中有着多样的工具和丰富的指令，与之相对应的是，构造数学对象时有工具构造和指令输入两种基本方式．前者是所有动态几何软件的通用方法，具有面向对象的优势，操作方式直观易懂；后者恰是GGB的一个显著特色，只要在指令输入框中输入相应指令，便可实现数学对象的构造．在教学实践中，我们发现GGB中更有创建自定义工具的功能，当我们将需要重复构造的对象自动“记忆”成工具后，便可以如同复制粘贴一样反复使用，可以说自定义工具让GGB如虎添翼，带来的是更加灵动的数学和便捷的学习．本文以GeoGebra Classic 5.0.553.0-d版本(中文界面)为例，谈谈如何创建自定义工具以及如何应用自定义工具推动深度学习，进而发展学生数学学力．

1 自定义工具的创建举例

1.1 阿波罗尼斯圆的构造

到两定点A,B的距离之比为定值t(t>0且t≠1)的点P的轨迹为圆.这个结论是阿波罗尼斯(Apollonius,约公元前260-前190)发现的，所以称为阿波罗尼斯圆(简称阿氏圆)．

如图1，阿氏圆以MN为直径，因此构造的关键是找到点M,N，其中点M在线段AB上(称为A,B的内分点)，点N在线段AB的延长线上(称为A,B的外分点)．

图1

(1)新建窗口，构造滑动条t(范围0～5)，构造任意两点A，B；输入指令“位似(B,t/(t+1),A)”“位似(B,t/(t-1),A)”，得到阿氏圆的直径端点M,N．

说明“位似”指令的语法结构为“位似(<几何对象>,<位似比>,<位似中心> )”，这样以点A为中心、以t/(t+1)为位似比，将点B缩放得到点B，相较几何画板而言，GGB的构造要简捷许多[2]．

图2

说明相较几何画板而言，GGB中创建自定义工具更加智能，当我们选定“输出对象”时，软件会自动提示构造对象的父对象(即先决条件)为“输入对象”(通常默认即可，也可在下拉菜单中重新选择或更改顺序)．

1.2 椭圆光学性质的拟合

图3

如图3，光线PQ经过椭圆一个焦点A，经椭圆内壁位置Q反射后得到的反射光线必经过另一焦点B，这就是椭圆的光学性质．椭圆的光学性质在生产与科技方面有着广泛应用，如电影放映机的聚光灯泡以及光能的换位聚焦等就是利用椭圆的这一性质．

(4)新建窗口，构造任意三点A,B,C，输入指令“椭圆(A,B,C)”得到椭圆c；构造椭圆c内一点P和椭圆c上一点Q．

(5)输入指令“切线(Q,c)”，得到椭圆c在点Q处的切线f；输入指令“反射(P,f)”，得到P关于f的反射点P′；输入指令“射线(P′,Q)”，得到射线g；输入指令“交点(c,g,2)”，得到射线g与椭圆c的第2个交点R．

说明(5)中的四步操作可以用一句指令“交点(c,射线(对称(P,切线(Q,c)),Q),2)”来替代，在减少中间对象的同时提高构造效率，体现指令输入法快捷灵动的特性．

图4

说明在自定义工具时需要特别注意“输入对象”的顺序，“输入对象”的顺序直接决定了自定义工具的语法法则.如本例语句“反射位置点(c,P,Q)”中，P为起始点，Q为反射点，得到的点D为反射位置点．

2 自定义工具的应用

从上述两个案例可以发现，GGB中创建自定义工具还是比较方便的，我们可以将一系列操作整体打包定义为一个工具(指令)，一旦定义成功，便可以在菜单工具栏中调用，也可作为指令在指令区输入.(3)和(6)中涉及的只是自定义工具的简单应用，如果加上“迭代”“序列”指令， 带给我们的将不仅是令人震惊的视觉冲击，更有豁然开朗后的数学理解．

2.1 构建有趣的数学情境

椭圆的光学性质对学生而言不难理解，然而当光线无数次反射后呢？结果却有着异样的精彩：当入射光线经过椭圆的一个焦点时，反射光线经过另一焦点的同时向长轴方向“聚合”(图5(1)).而当入射光线不过焦点时，反射光线构成的轮廓(或者说包络)为圆锥曲线，其中点P位于A,B之外(在椭圆内)时，轮廓为椭圆(图5(2))；点P位于A,B之间时，轮廓为双曲线(图5(3))．而“发现”这样的结论只需要增加一行指令：

图5

(7)构造整数滑动条n(范围1～100)，输入指令“迭代列表(反射位置点(c,P,Q),P,Q,{P,Q},n)”，得到列表l1；输入指令“序列(向量(元素(列表1,i), 元素(列表1,i+1)),i,1,n,1)”，得到列表l2．

数学的学习离不开情境的作用，数学概念的理解、数学命题的掌握、数学技巧的形成、数学思想的应用、数学问题的解决都要基于数学情境的创设、运行、反思来完成．应用自定义工具可以创设有趣的数学情境，从简单到复杂、由已知探未知，复杂多变的图形背后蕴涵着深刻的数学规律，正如“以境启知，由知怡情”．数学情境是产生数学学习的条件，只有学生积极主动地参与进来，课堂氛围才能活跃、教学效果才能凸显．

2.2 实现有劲的深度学习

图6

2.3 推动有用的应用探索

我们知道，玫瑰线的极坐标方程为ρ=asinkθ，如果说输入“曲线((a+sin(kθ);θ),θ,0,2π)”可以揭开玫瑰线神秘面纱的话,那么将玫瑰线定义为工具1，输入“序列(工具1(t,k),t,0,5,0.2)”，则可以从整体上探究玫瑰线背后的数学故事．事实上，系数a决定玫瑰线的线径，参数k则决定花瓣数，当k是奇数时玫瑰线有k个花瓣(图7)，当k是偶数时玫瑰线则有2k个花瓣(图8)．以此为基础，可以将玫瑰线应用于生活中，设计成窗帘、地毯图案来装扮我们的生活，正如数学源于生活又应用于生活．

图7

图8

GGB走进课堂，构建了交互式、多样化的学习环境，也让数学的推理演绎过程可视化；而创设、应用自定义工具，呈现不一样的数学的同时，也让学生对数学有用、有趣有了直接的感知，从而保证学生可以“看他们以往只能‘想象’的数学，‘做’他们以往不能做的数学”．当然，发挥教育技术在数学教学中的优势，需要更好地理解数学教学中的技术，不断地挖掘和开发课程资源，用“火热的思考”融化“冰冷的美丽”，唯其如此才能推动学生的数学思维往更高层次发展．