数学实验与空间观念——以苏科版“图形的运动”的教学为例*

沈轶群 王晓峰

(江苏省苏州市吴江区实验初级中学 215200)(江苏省苏州工业园区教师发展中心 215021)

空间想象力是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新形象的能力，是数学诸多能力中的重要组成部分．空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知，对二维与三维图形及其性质的领会和感知；图形间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面．空间观念是空间想象力的基础，是我国几何课程的主要目标，也是《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)的核心概念之一．数学实验是学生动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是学生在教师引导下运用有关工具，通过具体操作在认知和非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动．根据初中生形象思维相对较强的特点，设计学生主动参与、积极动手动脑的数学实验活动，在实验的过程中体验、感悟几何图形的抽象、运动与变化，能够培养学生的空间想象力、发展空间观念．

1 教材分析

“图形的运动”是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级上册第5章“走进图形世界”中的学习内容．此章围绕认识几何体的认识而展开，包括几何体的组成、几何体的形成、几何体的展开与折叠、几何体的视图等四个方面．在本课之前，学生已在小学阶段认识了正方体、长方体、圆柱和圆锥，通过“5.1 丰富的图形世界”的学习认识了几何体的构成，知道了几何体是由点、线、面构成的，学会了描述几何体的方法．“5.2 图形的运动”则是围绕几何体的形成而展开的，是对几何体的进一步认识，同时也是对图形的组合与分解，对图形的平移、翻折、旋转的初步认识，能为后继具体学习平移、翻折、旋转并用平移、翻折、旋转研究图形和解决问题奠定基础，是培养学生空间观念的重要载体和教学契机．

本课的学习内容是从图形运动变化的角度体会几何体的形成，感悟“点动成线，线动成面，面动成体”的形象；了解图形的组合与分解，感悟“复杂的图形的构成”；认识图形的翻折、平移、旋转，感悟让图形“动”起来，是研究图形性质的重要方法．本课的知识特点决定了其教学应以活动为主，强调“做数学”，因此本课宜采用数学实验的教学方式，引导学生经历观察、想象、实验、思考、交流、应用等大量的活动，通过“先做一做、再想一想”，过渡到“先想一想、再做一做”，在直观与抽象、实物操作与空间想象的相互转换中发展学生的空间观念．本课的基本教学流程为“问题情境—想象、实验、交流—归纳、应用、拓展—总结”．

2 教学过程

2.1 回顾与思考

图1

知识回顾 如图1，通过上节课的学习，我们知道了面与面相交得到线，线与线相交得到点，图形是由点、线、面组成的．

引发思考 如图2，点、线、面组成了一些几何体．那么，这些几何体又是怎样形成的呢？今天，我们通过学习“图形的运动”来对此加以认识．

图2

设计意图通过回顾已学知识,引发新的思考,从而展开新问题情境的设计.这种立足于知识的来龙去脉的问题提出方式有利于学生感悟知识的发生、形成与发展的整个过程，有利于学生对知识的全面认识和系统建构．

2.1 探索点、线、面、体之间的关系

(1)点动成线

欣赏与想象 欣赏朱自清的散文《雨》的片段(配音、背景音乐)——“雨是最寻常的，一下就是三两天．可别恼．看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着，……”引导学生说出自己的猜想“点动成线”后，通过呈现春雨的GIF动态图片，再从图片中“抽”出“点动成线”．

操作与发现 引导学生先用铅笔在纸上写出自己的姓名，再用直尺、圆规画等划线，从而获得发现——点动成线．

归纳与应用 教师归纳出“点动成线”，并说明点动成线的多样性后，引导学生尽可能多地举出相应的实例．

设计意图本环节是围绕“点动成线”进行的设计．通过“欣赏散文进行想象—观察操作获得发现—点动成线的多样性演示—举出生活实例”，让学生经历“点动成线”的知识发生、形成和应用的过程，培养学生发现数学、认识数学、应用数学的意识和能力．同时，本环节也凸显了对学生“数学抽象”能力的培养——雨点、铅笔的笔尖、圆规的笔尖可以看作什么？(点.)雨点下落、写字、画图的过程又可以看做什么？(点在运动.)运动的结果又形成了怎样的图形？(线.)在初步感知数学抽象的基础上，再给予尽可能多的时间和空间让学生举出丰富的“点动成线”的实例，目的是进一步强化学生的“数学抽象”能力，也为“线动成面” “面动成体”的探索积累思维与活动经验．

(2)线动成面

观察与想象 通过呈现动态转动的汽车雨刮GIF图片，引导学生观察并说出自己猜想的“线动成面”，再从图片中“抽”出“线动成面”．

操作与发现 学生在纸上移动一支笔，获得发现——线动成面．

归纳与应用 教师归纳“线动成面”，并说明线动成面的多样性后，引导学生尽可能多地举出相应的实例．

设计意图本环节是围绕“线动成面”进行的设计．与“点动成线”的设计类似，学生经历着“观察进行想象—操作获得发现—线动成面的多样性演示—举出生活实例”的探索过程．采用同样的设计，有利于学生运用获得的活动经验进行新知的探索和对数学进一步认识．通过该环节的学习，学生的活动经验获得了累积，数学抽象能力得到了进一步的提高．

(3)面动成体

思考与想象 引导学生“自然地”思考——面动成什么？然后提出问题：①把一张长方形纸片绕它的一条边转动1周；②把一块直角三角尺绕它的一条直角边转动1周；③把一枚硬币在桌面上竖直快速转动．它们分别形成怎样的几何体？引导学生想象并作出猜想“面动成体”．

操作与发现 学生通过教师提供的长方形纸板、直角三角尺、硬币等实物工具进行操作，获得发现——面动成体．

解释与应用 教师利用几何画板软件分别进行演示并解释后，学生再尽可能多地举出“面动成体”的实例．

设计意图本环节是围绕“面动成体”进行的设计．“点动成线”“线动成面”的设计突出了在教师引导下教会学生“用数学的眼光观察世界”的方法，因此这两个问题由教师提出，重点落在分析问题和解决问题层面，体现了教师在学习活动中的主导作用．作为“点动成线”“线动成面”这两个问题的自然延伸，在经过对“点动成线”“线动成面”的探索后，学生已经具有了“面动能够形成怎样的图形？”的问题意识，因此为培养学生发现问题、提出问题的能力，本环节改由引导学生提出这个问题.这样的设计关注了“四能”的落实，体现了学生在学习活动中的主体地位．同时，通过该环节的类比学习，学生的活动经验再次获得了累积，数学抽象能力再次得到了提高．

对“点动成线”“线动成面”“面动成体”的探索都经历着想象→猜想→实验→应用的过程，这既是培养学生空间观念的过程，也是培养学生“三会”的过程，凸显了对学生数学素养的课堂落实．

(4)几何体的形成

交流与思考 通过上面的探索，我们发现了点动成线、线动成面、面动成体，知道了圆柱、圆锥、球体可分别通过转动长方形面、直角三角形面、圆面而形成．那么，其他的几何体，如正方体，又是怎样形成的呢？

演示与感悟 教师利用几何画板软件演示“点的运动形成正方体”和“正方体退缩为点”的过程，学生获得发现——图形的运动本质是点的运动．

鼓励学生课后继续从“面动成体”的角度研究更多的几何体是怎样形成的．

设计意图本环节是围绕“正方体的形成”进行的设计．学生先独立思考、合作交流，再通过观察“点运动形成正方体”和“正方体退缩为点”的演示，进一步加深对点动成线、线动成面、面动成体的理解，体验体由面形成、面由线形成、线由点形成，图形都是由最基本、最简单的图形“点”所构成，从而认识到图形运动的本质是点的运动．

2.2 探索复杂图形的组成

拼图与体验 如图3，将两块相同的直角三角尺拼接在一起．

(1)可以拼接成哪些不同的平面图形？并指出这些图形的名称．

(2)怎样拼接，就可以使得拼接成的平面图形既不重复，又不遗漏？

观察与感悟 如图4，动画演示“勾股树”，并指出组成勾股树的基本图形．

图3 图4

设计意图本环节是围绕“复杂图形的认识”进行的设计，由图形的组合与图形的分解两部分组成．拼图的目的是通过操作，让学生体会图形的组合；观察“勾股树”图，找出其中的基本图形，是让学生体会图形的分解，通过这两个方面引导学生在动态与静态中感悟复杂的图形是由简单的图形组合而成的，图形的组合与分解是认识复杂图形的重要方式．另外，通过拼图引导学生发现图形的拼接应具备“两个图形存在相等的边”这个条件；寻找构成勾股树图的基本图形，渗透着缩放变换，目的是让学生提前感知这种图形运动的方式，为后继学习做好铺垫和准备．

2.3 探索图形之间的变化关系

感悟“翻折” ①在图5(1)～(3)中，直线两旁的图形完全相同吗？

图5

②如图6，在空白方格中画出相应的图形，使直线两旁的图形相同．

图6

感悟“平移” 如图7，怎样由图7(1)得到图7(2)？把图7(1)虚线以下的部分向右平移4格，可以得到怎样的图形？

图7

图8

感悟“旋转” 如图8，如何分别将图中的三角尺转到图中虚线所示的位置？

设计意图本环节是围绕“图形之间的变化关系”进行的设计．通过观察、想象、实验，在动手操作、动脑思考中，引导学生发现可以通过翻折、平移、旋转对自己的猜想进行验证，感悟让图形“动”起来是认识和研究图形的重要方法，初步认识三种图形运动的基本特点．

2.4 巩固与应用

知识巩固 ①如图9，说说下列图案是怎样形成的？

图9

②如图10，阅读材料 “电视画面的清晰度”，思考电视画面清晰度形成的原理．

图10

知识应用

①如图11，先观察在蘑菇钉插板上制作的美丽图案，然后在拼插板上运用翻折、平移、旋转进行图案设计，最后展示学生的作品．

图11

②教师利用几何画板软件进行图案设计，先画出三角形，然后进行平移、翻折、旋转，再着色、拖动，演示图形的丰富变化，如图12．

图12

设计意图本环节是围绕知识的巩固与应用进行的设计．目的是巩固所学知识，并应用所学知识解决问题,创造生活中的美，感悟数学的作用与价值．“知识应用”中，先通过观察体会翻折、平移、旋转在图案设计中的作用，再利用蘑菇钉插板(或网格纸)设计图案，深化对翻折、平移、旋转的认识与理解．教师利用几何画板软件进行图案设计，目的是通过多彩缤纷、千变万化的图案的直观呈现，让学生感受翻折、平移、旋转的价值，体会图形运动的应用，激发进一步学习的欲望．

2.5 本课小结

通过本节课的学习知道了几何体是怎样形成的，了解了复杂图形是由简单图形组成的，认识了图形的平移、翻折、旋转，感悟到让图形“动”起来是研究图形性质的重要方法．在后面的学习中，我们将继续认识几何体，对翻折、平移、旋转展开具体的研究，并利用翻折、平移、旋转研究三角形、四边形、圆等图形．

数学是美丽的,也是美妙的.学习数学不仅要动脑去“想”，还要动手去“做”，学会通过观察、实验、猜测、计算、推理、验证的方式去研究数学，会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言描述世界．

设计意图课堂总结不仅是对所学知识的归纳与整理，也应该是对探究过程、思想方法、活动经验的总结，还应该有对知识发展的展望与对新知的期盼，应该有对学生学习的赞扬与鼓励．

3 思考

空间观念的形成基于对事物的观察与想象，现实世界中的物体及其关系是学生观察的最好材料，学生已有的经验是观察、想象、分析的基础，教学中结合学生熟悉的现实问题情境是发展学生空间观念的有效策略．初中阶段，图形的运动、几何体的展开与折叠、几何体的视图等都蕴涵着三维图形与二维图形的相互转换，都是培养学生空间观念的重要载体，而数学实验是学生利用实验工具进行观察想象、操作验证、推理证明的数学活动.借助数学实验工具，学生可以亲身体验、感悟几何图形的抽象、运动与变化，这与《标准》提出的“空间观念的目标的达成是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程”具有高度的一致性．因此，数学实验有助于培养学生的空间想象力，借助数学实验工具可以有效促进学生空间观念的形成与发展．