培养平面向量语言能力的目标与手段

沈 健

(江苏省太仓高级中学 215411)

数学语言能力的培养是数学教育的重要任务之一，它是数学素养的关键因素.平面向量(以下不特别说明，向量均指平面向量)有着丰富的图形内涵和缜密的运算特征，因此它是除解析法之外，联系代数和几何最有效的工具，它能把抽象问题直观化，充分体现了数形结合思想.向量的数学价值及向量学习价值的体现，必须以向量语言为载体，以向量语言能力的培养为目标.

1 向量语言和向量语言能力

1.1 向量语言的内涵

图1

向量语言是描述向量的概念、关系、运算和规律，且具有特定形式的一种数学语言.这里的特定形式主要包括文字形式和符号形式.如在描述两向量a,b的共线关系时，可以有以下不同的形式：①文字形式：向量a,b共线； ②符号形式：a∥b或者a=λb(b≠0,λ∈R且唯一)；③图形形式：如图1.

从语言的内涵来看，向量语言有表示抽象概念的，如0表示零向量；有表示关系的，如a=-b表示两向量互为反向量；有表示向量运算的，如a·b表示两向量作数量积运算；有表示规律的，如λa=aλ表示实数与向量的积满足交换律.以上诸例体现出向量语言形式的多样性和内涵的丰富性，它是描述向量内容的工具，是向量思想方法建立的载体.

1.2 向量语言能力

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《标准》)[1]在课程目标中明确阐述了在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，提高从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力；同时在主题三“几何与代数”说明中提出，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.

《标准》对向量语言能力的要求是非常明确的，而对于利用向量推理论证、运算求解、关系处理、用向量的方法处理实际问题等一系列的与向量有关的能力，必须建立在一定水平的向量语言能力之上，它是形成和提高其他能力的基础和必备条件.向量的语言能力应该包括以下不同的几个方面：①对向量抽象符号意义理解的能力；②对向量语言内涵挖掘的能力；③向量语言的各种形式之间的转化能力；④把向量语言转化其他数学语言的能力；⑤利用向量语言进行推理论证、运算求解的能力；⑥在向量思想方法的指导下利用向量语言解决问题的能力.向量语言能力的形成，有助于对向量知识的理解和深化，有助于学生思维能力的培养和提高，有利于培养学生的数学基本素质.

2 向量语言能力的培养目标

针对向量语言能力的不同侧面，在学生原有知识结构和认知规律的基础之上，向量语言教学应该注重以下几个方面：①了解向量丰富的实际背景，经历从具体问题抽象出向量概念和符号的过程，理解向量符号的内涵，建立符号感；②在实际问题背景中，理解几种向量运算的运算法则、运算律及其几何意义，并能用向量语言的坐标形式进行各种向量运算；③能娴熟地在向量语言的各种形式间相互转换；④能够将向量语言转化为图形、坐标、方程等其他可操作的数学语言，形成语言转化意识；⑤通过向量语言的学习和使用，体会向量语言的简洁性、准确性、多样性及深刻的内涵性和广泛的应用性，从而形成用向量的思想方法思考和解决问题.

3 向量语言能力培养的手段

3.1 理解概念内涵，谙熟符号表达

深刻理解概念、法则、规律的内涵，谙熟它们的符号表达形式，是向量语言能力形成和提高的基础及保证.符号以及符号构成的表达式是向量语言的主要表述形式，几乎所有的向量内容都有其固定的符号描述.所以对相关符号的意义的理解是使用向量语言、形成向量语言能力的基础.在教学过程中，应注意以下两个问题.

②注意形式相近易混淆的向量语言.向量语言中有很多形式相近的内容，在学习过程中必须要在透彻理解有关内容的基础上加以明确区分，若不然肯定会影响语言能力的形成和发展，它往往是阻碍语言能力发展的一个重要的障碍.比如两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⟺x1y2-x2y1=0，而a⊥b⟺x1y1+x2y2=0，很多学生容易混淆两种位置关系的等价条件，像这样易混的语言形式应强化区分，以保证向量语言的准确使用.

3.2 重视向量语言的理解和转化

由于向量语言具有高度的抽象性，所以在具体应用时，必须转化为具体、形象的可操作性语言.这是向量语言能力的关键因素.而转化建立在对向量语言含义有深刻理解的基础之上.以下列举一些向量语言与图形、坐标及方程语言间的常见转化[2].

(3)以线段AB为直径的圆过点P⟺(xA-xP)(xB-xP)+(yA-yP)(yB-yP)=0.

以上转化说明向量语言具有丰富的内涵，但在具体应用的时候，适当的形式变化是十分有必要的.由于向量语言是抽象简洁的(这也是向量语言美的体现)，往往给理解带来麻烦，此时可以将其转换为图形语言，便于理解向量语言所描述的数量和位置关系，进而把问题直观化.同时，向量语言有广泛的应用性.做为工具，它最重要的价值体现在，用数的方法处理几何图形问题.可见，将向量语言转化为坐标和方程语言是十分必要的，这有利于进一步用解析法处理几何问题.

3.3 注重向量语言的表达

数学表达能力是数学语言能力的最直接的体现，华罗庚先生曾教育中学生在数学表达上要“想得清楚，说得明白，写得干净”[3].在教育实践中我们发现，向量语言表达得准确与否是影响解题能力的关键.如在向量运算的教学中，对于实数与向量的积一定不能简称为向量的数量积，它们是明显不同的两个概念.再如，向量a在向量b上的投影与射影，一字之差却有着质的区别.投影是个数量，而射影却是几何图形.对于这些概念的语言描述，应该做到准确描述，正确使用.另外，还有些问题也值得关注：增减条件、不设先用、以图代算、语意含糊等[3].对于这些问题，可以针对平时课堂发言、课后作业和考试练习中暴露出的问题及时纠正，认真讲评，保证言必有据， 培养学生良好的语言习惯，促进表达能力的提高；经常要求学生口述某些数学内容， 如公式、结论以及推导过程，以促进学生学习、记忆、理解、应用向量语言.

3.4 强化向量语言的应用意识

平面向量的图形内涵及其丰富的运算性质决定了向量语言具有广泛的适应性，它可以渗透到中学数学的各个主干知识中去.除此之外，它在物理中也有体现.以下仅就题目设置与向量语言的关系举例说明.

·三角中的向量语言

说明 用向量语言描述三角形中元素的特征.

·函数中的向量语言

例2(2006·湖北理16题)设函数f(x)=a·(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx)，b=(sinx, -3cosx)，c=(-cosx,sinx)，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)将函数f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.

说明 向量语言构造函数，考查函数图象的变换，解决问题的关键是合理使用向量语言.

·数列中的向量语言

说明 以函数为背景，用向量语言和向量的方法构造数列.

·不等式中的向量语言

说明 巧妙地构造向量，让a+2b具有明确的向量意义，使抽象的不等式证明变得直观.

·解析几何中的向量语言

A.9 B.6 C.4 D.3

说明 用向量语言确定曲线上点的位置时，关键是深刻理解向量语言的内涵，将其转化为点的特征.

·线性规划中的向量语言

图2

说明 本题以平面向量为载体，在考查平面向量运算法则的同时，着重考查在给定区域内的点的线性表示问题.由于题型设计新颖，且所给图形不一般，所以处理起来难度较大.

·物理中的向量语言

教材中在引入向量的概念时就列举了大量的物理中的力、速度、加速度等实际背景，在向量运算的引入时分别用了力的合成和分解以及功为背景.所以在物理中使用向量语言是自然的，这也是数学应用的体现，是学科整合的要求.现列举一例来说明问题.

图3

例8如图3,在加速行驶的火车上固定一个斜面，斜面的倾角为θ，有一物体置于斜面上.若火车加速度小于某一值a0， 物体就会下滑.设物体质量为m，物体与斜面间的摩擦因数为μ，求a0.[4]

解设物体的重心为点O，以过点O与斜面平行的直线为x轴，与斜面垂直的直线为y轴建立坐标系.设重力为G，斜面对物体的支持力为N，摩擦力为f，惯性力为F，则|G|=mg, |f|=|N|μ, |F|=ma0.由平衡原理列方程：

说明 借助向量语言，利用向量的思想方法解决物理问题.

3.5 注意向量语言能力形成的几种障碍

向量语言能力的提高是循序渐进的过程，应该有计划、有步骤，由简单到复杂，由低级到高级，由静止到运动组织教学.需要学生通过读向量、写向量、说向量、阅读理解、交流讨论等方式，逐步提高正确运用向量语言的能力.在这个过程中，以下几种常见的语言障碍值得我们注意.

·向量语言转换障碍 它是指学生在不同表达形式的向量语言之间，或在向量语言和其他形式的数学语言进行转换时产生了困难.如前所述，在向量的教学过程中，应该加强语言间转化的训练，形成较强的语言转化能力是向量语言能力的核心问题.

·向量语言操作障碍 它是指学生在运用向量语言进行推理 、运算的过程中出现错误的现象.例如，很多学生通常会犯a·b=a·c⟹b=c和a·b=0⟹b=0或a=0的错误.这首先说明了对向量基本运算的理解不够透彻，其次也体现了对向量语言本质的内涵的理解不够.