解三角形中一类问题模型的求解思路探析

马孟华

(云南省下关第一中学 云南省高中数学张勇名师工作坊 671000)

解三角形作为高考重点考查的内容之一，主要要求考生通过对任意三角形边角关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等,并借助三角函数中的相关公式加以综合与运算,包括解决一些简单三角形的度量问题及一些与测量和计算有关的实际问题等.解三角形与三角函数知识大多运算量大、公式应用多,这就要求考生不仅要具有较高的运算能力、较强的应变能力和较好的记忆能力,还要善于分析与总结,形成解决此类问题的系统方法.实际上这类题型在高考中不仅具备选拔功能，而且对考生的数学核心素养提出了较高的要求，也就倒逼教师在课堂教学中应该重视和强化对解三角形问题的处理和系统认识，从而提升学生的应变能力和数学素养.下面从解三角形中“已知一角及一边”的问题展开对相关问题的深入探究和系统认知.2010—2019年全国新课标高考试题中，“已知一角及其对边”是高频考点，与三角函数综合考查并作为压轴题的情况屡屡出现.我们先来看看这个模型.

模型1已知三角形的一角及其对边

图1

如图1，在△ABC中，已知的三个内角为A，B，C，其对应的三边为a,b,c，且A=60°，a=2(即已知三角形一角及其对边)，则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件：

变形：4=(b+c)2-3bc.

以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系(内角和定理)、边角的关系(正余弦定理)．掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法.

例如，在上述条件下可求：(1)B+C；(2)△ABC外接圆的半径；(3)sinB+ sinC的取值范围(扩展到求t1sinB+t2sinC(t1t2≠0)的最值)；(4)b+c的取值范围(扩展到求λb+μc(λμ≠0)的最值)；(5)△ABC周长的最大值(即求a+b+c的最大值)；(6)△ABC面积的最大值.

结合“已知三角形一角及其对边”的三个隐含条件可知以上6个问题的解答为:

(1)(2)略.

(5)△ABC的周长为a+b+c=2+b+c，转化为问题(4)，可得周长的最大值为6．

评析以上6个问题的求解过程深刻地展现了解三角问题中已知一角及其对边的处理方法，揭示了三角形中边角之间的相互转化关系要靠正余弦定理来实现.该系统总结不仅强化了对解三角形中边角关系的理解，而且求解过程中使用了三角恒等变换化简三角函数式，利用三角函数图象求解范围的方法更是提升了学生对三角函数模块的掌握和使用，锻炼了学生的整体思维品质，提升了数学素养和能力.

下面我们再以模型1的问题(4)为出发点，结合高考试题的考查方向和特点，继续深入探究解三角形中已知一角及其对边模型的通性通法.

例在△ABC中，已知△ABC的三个内角为A，B，C，其对应的三边为a，b，c，且A=60°，a=2，求b+c的取值范围.

当然，如果采用一些技巧也可快速解决问题.我们来看看巧解并与通法进行对比.

评析显然，巧法利用不等式放缩快速解决了问题．乍一看非常完美实用，但如果稍加改变问题中的条件或结果，那么巧法将黯然失色.请看下面的变式.

变式1 在△ABC中，已知△ABC的三个内角为A，B，C，其对应的三边为a，b，c，且A=60°，a=2，求2b+c的取值范围.

变式2 在锐角三角形ABC中，已知△ABC的三个内角为A，B，C，其对应的三边为a，b，c，且A=60°，a=2，求b+c的取值范围.

更一般的有以下变式：

变式3 在△ABC中，已知△ABC的三个内角为A，B，C，其对应的三边为a，b，c，且A=60°，a=2，求λb+μc(λμ≠0)的取值范围.

值得关注的是，2012年全国课标卷文理科17题、2010年全国课标卷理科16题、2014年全国课标卷Ⅰ理科16题、2013年全国课标卷理科18题、2016年全国课标卷Ⅰ理科18题、2017年全国课标卷Ⅰ理科18题都在考查解三角形中“已知一角及其对边”的模型，而且均在模型1的问题(1)～(6)中进行考查.如果我们一线教师在教学中结合以上经验，带领学生深入探究思考，在解三角形模型1的基础上提出问题：将模型1中的“已知一角及其对边”更改为“已知一角及其一条邻边”，会出现什么样的新问题呢？2019年高考全国新课标卷Ⅲ文理科的18题就给了我们答案！

模型2已知三角形的一角及其一条邻边

图2

此题也可使用余弦定理求解，方法如下．

方法2看似简洁实则计算庞大冗长，且在全用边的不等式求解边范围的过程中容易出错．故此法虽巧，但操作性不强，也不能深刻揭示出问题的本质， 故不宜用于解题教学，通法才是解决该问题的最佳方法.

通过模型1和模型2的通法讨论，我们可以总结得到：在三角形中已知一边和一角的系统求解策略是：将边的表达式转化为角的三角函数进行处理，这是通法. 而已知三角形的“一角两边”“两角一边” “三边”等模型均可直接使用正余弦定理解三角形，且三角形是确定的，也就不存在求解范围的问题了！这样一来，解三角形中已知“一角一边”的问题就得到了系统的认识，学生在教师的带领下也就形成了解决三角形问题中已知边角问题的整体解决方案，当然也就形成了解决一类问题的系统方法.可以想象，2020年高考数学全国新课标卷中解三角形问题仍将会是“宠儿”，希望以上的论述能够给予备考的师生一些 帮助.