2019年全国高中数学联赛一试A卷第10题的探究

广东省佛山市乐从中学

一、题目呈现

题目(2019年全国高中数学联赛一试(A卷)第10题)在平面直角坐标系xoy中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于抛物线Γ的焦点F，求圆Ω的半径.

二、解法探究

解法1(利用均值不等式)由题可知抛物线Γ的焦点为F(1,0)，由对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，设圆Ω的半径为r.故圆Ω的方程为

由均值不等式知

评注本解法是官方参考答案，其思路是基于：圆Ω与抛物线Γ:y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于抛物线Γ的焦点F⇔两曲线只有一个公共点，且r最小.所以只要求出r的最小值，并且取最小值时，y的值是唯一的.在求r的最小值时用到了四元均值不等式，这是其中一个思路难点.

解法2(利用导数)由解法1，可得令则所以f(y)在单调递减，在单调递增，于是当且仅当时，r取最小值

下同解法1.

评注解法2的思路与解法1是一致的，只是在求r的最小值时用导数法，技巧性较解法1低.

解法3(利用抛物线的切线方程)由题可知抛物线Γ的焦点为F(1,0)，设圆Ω的半径为r，圆心为M.由对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，故圆Ω的方程为(x-1)2+(y-r)2=r2.

图1

如图1所示，当圆Ω与抛物线Γ相切于点P时，圆Ω满足条件.设切点P(t20,2t0)，则抛物线在点P处的切线方程为2t0y=2(x+t20)，即t0y=x+t20，从而切线的斜率为又所以解得r=t30+t0.

又|MP|2=(t20-1)2+(2t0-r)2=r2，即t40+2t20+1-4rt0=0.所以t40+2t20+1-4t0(t30+t0)= 0，化简得解得所以，当时，所以圆Ω的半径为

解法4(利用公切线)由题可知抛物线Γ的焦点为F(1,0)，设圆Ω的半径为r，圆心为M.由对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，故圆Ω的方程为(x-1)2+(y-r)2=r2.

如图1所示，当圆Ω与抛物线Γ相切于点P时，圆Ω满足条件.设切点P(x0,y0)，则圆Ω在点P处的切线方程为(x0-1)(x-1)+(y0-r)(y-r)=r2，化简得(x0-1)x+(y0-r)y=(x0-1)+ry0.同时抛物线在点P处的切线方程为y0y=2(x+x0)，化简得2x-y0y=-2x0.

评注解法3与解法4的思路是：两个二次曲线若只有一个公共点，则两曲线必然相切.所以圆Ω与抛物线Γ:y2=4x恰有一个公共点⇔圆Ω与抛物线Γ相切，且两者在切点处的切线相同.两解法都要熟练掌握圆锥曲线的切线方程，不同之处是解法3只利用抛物线的切线方程；而解法4分别利用抛物线与圆的切线方程，且两切线是重合.所以在竞赛层面，要重视方法的积累和知识的储备，熟练掌握一些有用的结论，才有可能缩短思维的长度，提高效率，达到事半功倍的效果.

解法5(利用抛物线的光学性质)我们知道抛物线有如下的光学性质：

抛物线的光学性质从抛物线的焦点处发出的光线照射到抛物线上，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴，且经过反射点的镜面所在的直线为抛物线的切线.

如图2所示，P是抛物线上任意一点，抛物线在点P处的切线为QT，则光线FP经过平面镜QT反射后的反射光线为射线PR.由反射定律，可知∠FPR的平分线PH垂直于切线QT(也称PH为切线QT的法线).

回到原题，如图3，设圆Ω的圆心为M，由对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，且圆Ω与抛物线Γ相切于点P，在点P处的切线为QT，光线FP经过切线QT反射后的反射光线为射线PR，连接MP,MF,MR,FR.

图2

图3

由抛物线的光学性质可知∠FPM=∠RPM.又因为圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，故由圆的性质可知∠PFM=∠RFM，所以M为ΔPFR的内心.另外M已是ΔPFR的外心，所以ΔPFR为正三角形.

设正ΔPFR的边长为a，则点P的坐标为由P在抛物线上可得解得在ΔPMF中，由正弦定理，得解得所以圆Ω的半径为

解法6(利用抛物线的光学性质及定义)如图4，设圆Ω的圆心为M，由对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，圆Ω与抛物线Γ相切于点P，抛物线Γ的准线为l，作PG⊥l，垂足为G，GP与FM延长线交于点H，连接FP.

图4

因为圆Ω与抛物线Γ相切于点P，故PM是切线的法线，由抛物线的光学性质，可知PM平分∠HPF，从而∠HPM=∠MPF=∠MFP，易得∠FHP=900，故∠HPM=∠MPF=∠MFP=300，于是

评注光线的反射总是满足反射定律(入射角等于反射角)，光线被曲线反射也不例外，抛物线的光学性质在解决与“切线”相关问题时会起到简捷作用，其要点往往是利用法线就是过反射点的曲线的切线的垂线.

以上的几种解法，从不同的角度出发思考问题，各显神通，这充分体现试题的不拘一格，一道试题往往考查多种能力、多种思想方法；试题思维方式、解答方法不是唯一的，给考生提供了较大的发挥空间.这样通过方法的选择、解题时间的长短，甄别出考生能力的差异，达到精确区分考生的目的.

另外，数学问题的解答，需要平时学习中的善于积累和勤奋钻研，只有通过量变达到质变，才能引起飞跃式的发展.熟练掌握一些有用的结论，考试时方能厚积薄发，达到“会当凌绝顶，一览众山小”的境界.

三、问题的提出

解答完本题后，思考：

问题1在原竞赛题中将抛物线一般化，即当Γ:y2=2px(p＞0)时，则圆Ω的半径是多少?

问题2在原竞赛题中将抛物线改为椭圆或双曲线时，能否求得圆Ω的半径?

四、借题探究 结论推广

通过探究，可得如下结论：

结论1在平面直角坐标系xoy中，圆Ω与抛物线Γ:y2= 2px(p＞0)恰有一个公共点，且√圆Ω与x轴相切于抛物线Γ的焦点F，则圆Ω的半径为

评析结论1的证明的可以参照原竞赛题的各种解法，显然，当p=2时正是原竞赛题的情形.

五、拓展探究 类比性质

我们知道，抛物线，椭圆与双曲线都是圆锥曲线，很多时侯三者之间有可类比的性质，这体现了圆锥曲线性质的内在统一的和谐美.那么素被称为“姊妹曲线”的椭圆与双曲线是不是也有类似于结论1的性质呢?经探究，得到如下结论：

结论2 在平面直角坐标系xoy中，圆Ω与椭圆恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于椭圆Γ的焦点F，若c为Γ的半焦距，e为Γ的离心率，则圆Ω的半径为

为了更好地证明结论2，先给出一个引理：

引理若F是椭圆的焦点，点P是椭圆上的点，过点P的切线与焦点F对应的准线l交于点Q，PE⊥l，垂足为E，设椭圆的离心率为e，则

引理的证明如图5，不妨设F(c,0)，对应的准线为l:则过点P的切线方程为

图5

图6

结论2的证明如图6，由椭圆的对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于F，椭圆的焦点F(c,0)，焦点F对应的准线为l:且圆Ω与椭圆Γ相切于点P，过点P的切线与准线l交于点Q，与x轴交于点D.

设圆Ω的圆心为M，连接MD，并与PF交于点H.作PE⊥l，垂足为E，设∠FPQ=α，∠EPQ=β，则易得

∠FDP=β.

由于圆Ω与椭圆Γ相切于点P，与x轴相切于Γ的焦点F，即DP,DF是圆Ω的两条切线，从而有DP=DF，且MP=MF，所以MD是PF垂直平分线.

又因为DP=DF，故有∠DPF=∠DFP=α.因为∠DFP+∠MFP=900，∠FMH+∠MFP=900，所以∠FMH=∠DFP=α，同理，易得∠FMH=∠PMH=∠DFP=∠DPF=α.

在RtΔPHD中，有∠DPH+∠PDH=由引理，得即cosα=ecosβ，而

所以cosα=e(1-2cos2α)，即2ecos2α+cosα-e=0，解得从而sinα=

由椭圆的第二定义，得PF=ePE.另有PE=所以整理得将代入得所以在RtΔMFH中，得

结论3在平面直角坐标系xoy中，圆Ω与双曲线恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于双曲线Γ的焦点F，若c为Γ的半焦距，e为Γ的离心率，则圆Ω的半径为

结论3的证明可参照结论2的证法，限于篇幅，不再给出证明过程.

评析在结论2的证明中，若以F为极点，x轴的正半轴为极轴，也可由椭圆的极坐标方程得到从结论2的证明可以看出，将原竞赛题的抛物线改为椭圆或双曲线，题目的运算量倍增，解答难度会高很多，这应是命题人使用抛物线的原由.结论1，2，3均已在数学软件GeoGebra中验证.

六、反思提升

从不同的思维角度分析同一道题目，得到不同的解题方法，一题多解的方式增加了题目涉及的知识广度，以一带多，减少了考查同样多的知识所需的题量.从数学知识的角度来看，通过解题发现知识的相互联系，体会知识之间的转化过程，从多角度地思考和发现问题，构建知识网络体系.这样，在学习基础知识、掌握基本技能的同时，能培养学生思维的广阔性、深刻性、灵活性以及创新性，能够使学生对学习的内容有一个整体的认识，并将知识融会贯通，举一反三，活跃思维，从而提炼出数学思想与方法，这正是数学教学的核心.

对题目的拓展、引申探究是一名数学教师必备的专业素养，平时要重视对典型问题的深入研究，探研规律，并适当拓展，充分挖掘题目的育人价值.高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，而学东西的最好方式是发现它，所以要鼓励学生通过合情推理对某些问题作大胆的猜想，并进行探索与证明，这样的探索在数学学习中起到重要作用.教师可根据学生实际，通过探究活动，让学生体验数学的发现和创造历程，引导他们勇于发现问题、提出问题、解决问题，进而让学生在分析、类比、猜想、证明过程中全面提高学生的综合能力，从而提升学生的数学核心素养.