核心素养视域下的数学测评研究——以2019年全国卷II高考数学试题为例

陕西汉中镇巴中学

陕西师范大学(712000)罗新兵

1 问题提出

数学教育的目的不仅是传授数学知识和教会学生解题，使学生具备数学精神、思维方式，并形成正确的人生观、价值观和适应未来的素养更是数学教育肩负的不可推卸的重任.数学核心素养是课程目标的集中体现，是学生在数学学习和运用的过程中，逐步形成与发展的具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现[1].核心素养源于20世纪90年代经合组织所开展的“素养的界定与遴选”研究项目，将核心素养界定为人们都应该具备的共同素养中那些最关键、且居于核心地位的素养.20世纪初欧盟执委会发表了《终生学习核心素养：欧盟参考框架》指出：核心素养主要包括知识、技能与态度.之后，美、英、法等国相继结合本国的情况对核心素养实施了界定[2].我国对核心素养的研究相对较晚，2014年3月教育部印发了《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》，明确提出制定不同学段、不同学科的核心素养体系是首要任务，这是我国官方首次提出核心素养.2016年9月，北师大林崇德团队发布了“中国学生发展核心素养”研究成果，提出了核心素养的3个方面、6个维度和18个要素.2018年1月，人教社出版了《普通高中数学课程标准(2017版)》(下面简称《课标(2017版)》)，首次将数学学科核心素养的含义、分类、主要表现、水平划分和评价写进了课程标准，史宁中和王尚志教授组织课标修订组进行了详细的解读[3]，这标志着数学学科核心素养正式融入高中数学教育.

数学学科核心素养是数学教育研究的焦点，而核心素养导向下的数学评价是其核心，查阅数学教育主流期刊，以往文献主要研究的倾向是核心素养的构建与内涵等，如文[4-6].而对数学核心素养评价的实证研究还处以起步阶段，参考相关文献，发现仅有3篇是结合中高考数学试题对核心素养评价的实证研究，其中张惠英、王瑞霖以2017年河北中考数学试题为例[7]，朱先东、吴增生以2017年浙江中考试题为例[8]，仅有1篇，即李作滨以2018年全国卷I为例，对高考数学核心素养的考查情况开展了研究[9].

在上述背景下，以2019年高考数学全国卷II为例，探究高考中核心素养的考查情况与特征.

2 全国卷II数学试卷的特点

2019年是《课标(2017版)》颁布以来的第二次高考，也是国务院推进建立中国特色现代教育考试招生制度的倒数第二年，根据教育部公布的最新信息，2019年全国高考考生达到1031万，这是近十年首次突破1000万，比去年增加56万人.全国卷II数学试卷主要适用于重庆、辽宁、吉林、黑龙江、陕西、内蒙古、宁夏、甘肃、青海九个省份，这九省主要分布在我国东北和西部地区，涉及地域广，是我国经济大开发的重点区域，也是我国推进教育改革相对缓慢地区，所以研究全国卷II数学试卷的特征和核心素养的考查情况，对推进教育改革和落实高考数学测评的有效性有着十分重要的意义.

2019年高考结束后，全国卷数学试题遭到了成千上万人的吐槽，是恢复高考以来媒体和网络反映最强烈的一次.然而整体上来说，试题还是延续了全国卷Ⅱ的命题风格，稳中有变、稳重求新，注重对“四基”(基本知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验)“四能”(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力)“三会”(会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界)和六大数学核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析)的考查，注重考查通性通法，突出主干知识，从多角度、多层次考查了学生的数学素养.

表1 2018与2019年全国卷II试题对比

稳中有变，稳中有新的是：(1)文理科相同试题大幅度减少，由2018年的12道，共计91分，减少到2019年的7道，共计45分；(2)文科试题难度变化不大，得分率较高，然而理科试题难度明显变大，是近几年难度最大的一年，理科生数学成绩的差距与区分度增加，选拔性增强；(3)在2018年框图、三视图与线性规划三考二的基础上，文科三考一，只考了线性规划，理科则全部删除，同时理科还没考察二项式定理与定积分等内容，这些内容在《课标(2017版)》和新教材中都已经删除，试题正逐年向新课程改革接轨；(4)试题没有突出对高中数学双基的全覆盖，而是注重了核心知识与通性通法，加大了对数学思维、数学运算、数学逻辑等方面的考查，体现了数学的深刻性与灵活性；(5)渗透数学文化，增设试题的真实背景，体现数学的育人价值.如文科第4题以科学实验为背景命制，文科第5题以“一路一带”为背景命制，文理第16题以中国历史悠久的金石文化为背景命制，理科第4题以中国伟大的航天成就为背景命制，理科第13题以我国高铁发展为背景命制，理科第18题以我国“国球”乒乓球比赛为背景命制等；(6)试题的顺序发生了很大的变化.以近十年的全国卷II解答题为例，命题的落脚点基本是数列或解三角形、概率与统计、立体几何、圆锥曲线、函数与导数、极坐标与参数方程、不等式，然而2019年全国卷II文科解答题顺序变为立体几何、数列、概率与统计、圆锥曲线、函数与导数、极坐标与参数方程、不等式，理科考察顺序变为立体几何、概率、数列、函数与导数、圆锥曲线、极坐标与参数方程、不等式；(7)试卷的阅读量变大.理科试卷由2018年的1329字增加到2019年的2165字，增加836字，文科由2018年的1239字增加到2019年的1934字，增加695字，文理科试卷都由4页增加到5页，这是在过去全国高考和日常模拟考试中难以遇到的；(8)题型灵活，有创新试题，填空题出现一题两空，这在近十年全国卷中首次出现.

3 试题数学核心素养的考查

根据《课标(2017版)》对数学核心素养的界定、分类与水平划分和史宁中教授等的解读，参考喻平教授、吕世虎教授和蔡金法教授文献[4-6]，以2019年全国卷II高考数学试题为例，对核心素养的考查作出详细分析，深入探究数学核心素养的考查情况.

需要指出的是，六大数学核心素养数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析、逻辑推理及直观想象的考查，往往不是在某一道题中独立考查，而是在突出考查某一核心素养时，也对其它数学核心素养有所要求，在体现试题综合性的同时，也顺应了六大数学核心素养相互联系的特征.

3.1 数学抽象素养的考查

数学抽象是指舍弃事物的一切非数学属性(如物理属性、化学属性、生物属性、社会属性等)，从数量与数量关系、图形与图形关系等方面抽象出数学概念及概念之间的联系，从事物与事物之间的联系、事物内部要素之间的联系中抽象出一般规律和结构，并用数学语言加以表征的素养.数学抽象主要表现为：探究数学规律和概念，发现数学问题和模型，体会数学思想和方法，理解数学结构与体系.在2019年全国卷II文理科试题中，考察数学抽象的试题约有12道，下面以理科第12题为例.

真题1(2019年高考全国卷II理科第12题)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)= 2f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m]，都有则m的取值范围是()

核心素养考查分析此题是理科选择压轴题，难度比较大.纵观整道试题，不难发现其核心条件是数量关系：f(x+1)= 2f(x)，解决本题的难点就是要通过对此数量关系的抽象，获得继续研究此题的对象和一般规律，并表征为：自变量每增加1，函数值变为原来的2倍，或从函数图象的视角表征为：函数图像横向向右每平移1个单位，则纵向拉伸为原来的2倍，由此再结合二次函数的图像和函数周期性解决.此题在重点考查数学抽象素养的同时，对几何直观、逻辑推理和数学运算素养都有一定的要求.

在高中阶段，要引导学生慢慢认识到数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要桥梁，反映了数学的本质特征，学生要能在具体的情境中抽象出一般的命题或规律，积累从具体到抽象的活动经验，关注数学的产生、发展与运用，形成理性思维，理解数学本质.教学中，教师要善于基于问题情境，采取多种措施，重视过程引导、学生习惯和思维方式等培养学生的数学抽象素养.

3.2 逻辑推理素养的考查

逻辑推理就是符合思维规律的推理，在形式和结构上正确的推理，数学逻辑推理就是以一些基本的数学事实和数学命题为根据，按照规则获得其它命题的素养.逻辑推理素养主要表现为：理解逻辑推理的基本规则和形式，发现和提出命题，探究、表达和论证推理过程，掌握命题体系，有逻辑的思考、表达与交流.在2019年全国卷II文理科试题中，考查逻辑推理的试题多达26道，下面以文科第5题为例.

真题2(2019年高考全国卷II文科第5题)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙

核心素养考查分析该题以甲、乙、丙三人对“一带一路”知识测验成绩的预测为背景，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，即另外两人预测错误，所以不妨分别假设甲、乙、丙三人预测正确，然后根据题目的规则和逻辑关系寻求矛盾，分三种情况论证如下：(1)若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；(2)若丙预测正确，则乙预测也正确，不符合题意；(3)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，符合题意.显然，此题通过实际情景重点考查了学生的逻辑推理素养.

在高中阶段，要引导学生逐渐意识到逻辑推理素养是获得数学命题与建构数学体系的主要方式，是保证数学严谨性的重要工具，是数学活动与交流的基本思维品质，其意义不仅仅说明了数学问题的正确性，更重要的是揭示了数学命题之间的本质联系，保证了数学体系的严密性.教学中，教师要有意识的将逻辑推理贯穿于整个高中数学学习过程中，准确把握其各个阶段的水平要求，充分发挥不同逻辑推理形式的思维促进功能，培养学生的逻辑推理素养.

3.3 数学建模素养的考查

数学建模是对实际问题的数学抽象，在实际情景中，以问题为核心，以学生为主体，以实验、合作探究、交流分享为基础，从数学的视角出发，发现、提出、分析问题，建立数学模型，明确参数，通过运算，分析检验和改进模型，使之更切合实际，最终达到解决实际问题的能力和素养.数学建模主要表现为：发现、提出、表征与分析问题，将实际模型转化为数学模型，建立和求解模型，检验和修改模型，数学模型解决，即实际问题解决.严士健、张奠宙教授等在上个世纪90年代就曾大力提倡高考数学应该考查关于数学运用与建模方面的应用题，在2019年全国卷II文理科试题中，考查数学建模的试题比去年有所增多，达到8道，下面以2019年全国卷II理科第18为例.

真题3(2019年高考全国卷II理科第18题)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

(1)求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

核心素养考查分析本题以中国的“国球”乒乓球比赛的规则为背景，设置概率问题，在解决时需要建立概率模型，将实际模型转化为数学模型，在运用数学知识解决.第(1)问X=2表示“10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球甲均获胜或乙均获胜”，然而这两个事件不能同时发生，所以恰当的建立互斥事件概率模型，因此P(X=2)= 0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)= 0.5.第(2)问X=4且甲获胜，表示”10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，整体建立独立事件模型，局部涉及互斥事件，因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.建立合理的概率模型使得问题的解决事半功倍，显然此题通过体育运动在渗透健康意识的育人功能时，对数学建模素养要求较高，同时对运算素养也有一定要求.

在高中阶段，要引导学生认识到数学建模是联系外部世界与数学的桥梁，是运用数学解决实际问题的基本形式与手段，是促进数学发展的重要动力，数学建模能促进学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.教学中，教师要善于创设开展数学建模活动的情境与问题，引导学生经历数学建模活动的全过程，鼓励创新与多元评价，使不同的学生在数学建模素养上得到不同的发展.

3.4 直观想象素养的考查

直观想象是指利用几何直观和空间想象感受事物的形态与变化，借助图形理解和解决数学问题的素养，具体来说就是运用空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形表述、分析数学问题，构建数与形的联系，凸显数学问题的直观模型，寻求问题解决的方向与思路，从而解决数学问题的素养.直观想象主要表现为：构建数与形的联系，借助图形表征问题，利用直观理解问题，运用空间形式感知事物.在2019年全国卷II文理科试题中，考查直观想象的试题有12道，下面以文理科第16题为例.

真题4(2019年高考全国卷II文理科第16题)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____个面，其棱长为____.(本题第一空2分，第二空3分.)

图2

图1

核心素养考查分析此题以我国历史悠久的传统金石文化为背景命制，在解决时第(1)问需要借助图形的空间形式来认知半正多面体的各个面，第(2)问需要运用空间想象，将三维空间图形降维为二维的平面图形，然后再结合几何直观，运用平面几何知识解决.显然，本题在渗透数学文化的同时，重点考查了学生的空间想象能力和将空间降维到平面的问题解决能力，对直观想象素养要求较高，同时也对逻辑推理和数学运算有一定的要求.

在高中阶段，要引导学生意识到直观想象是提出、发现、分析与解决问题的重要工具，是沟通数与形的媒介，是探究推导方向，实施数学推理与构建数学结构的思维基础.教学中，教师要善于培养学生的画图习惯和利用图形认识、描述、理解问题，注重数与形的联系，抓住问题的本质，探究问题的解决程序.

3.5 数学运算素养的考查

数学运算能力指在数学运算中起到调节作用的个性心理品质，这种调节必须解决定向问题(明确运算方向与运算结果，确定运算步骤)和运算的操作与程序问题(具体的每步运算).数学运算主要表现为：对运算对象的理解、运算法则的掌握、运算思路与方向的探究、准确求解运算结果.数学运算是数学最典型的特征，在2019年全国卷II文理科试题中，考查数学运算的试题多达36道，考查频率最为频繁，下面以理科第4题为例.

真题5(2019年高考全国卷II理科第4题)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：设由于α的值很小，因此在近似计算中则r的近似值为()

核心素养考查分析此题以中国伟大的航天成就“嫦娥四号”实现人类历史上首次月球背面软着陆为背景命制，试题的字数多达234字，信息量大，阅读量大，表面看像一道物理问题，实则是一道数学运算问题，核心信息是题干后面的一句话设由于α的值很小，因此在近似计算中审题结束后，纵观四个选项，重点要寻求运算方向，很显然首先需要对方程两边同时除以M1得：结合题目的第二个条件得：利用题目的第三个条件得：解得本题对数学运算素养的要求很高，找到运算的切入点，然后结合题目条件，展开有序运算是解决此题的关键.

在高中阶段，要引导学生意识到数学运算属于演绎推理，是正确解决数学问题的保障和发展其它数学素养的前提.数学运算能规范学生思考问题的品质和一丝不苟、严谨求实的科学态度.教学中，教师要善于创设问题情境，将有关问题转化为运算问题，明确运算对象，合理选用运算法则，确定运算思路，切实培养学生的数学运算素养.

3.6 数据分析素养的考查

数据分析是指收集、整理、处理数据，并作出推断与决策等，主要是在大量数据中提取和从具体情境中获得相关的数据信息进行数学思维活动，并最终得到结论.数据分析主要表现为：收集与分析数据，解释和整理数据，归纳和理解结论，抽象和生成知识.数据分析能力是信息时代的必备能力，在2019年全国卷II文理科试题中，考查数据分析的试题有6道，下面以文科第19题为例.

真题6(2019年高考全国卷II文科第19题)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

y的分组[-0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80)企业数2 24 53 14 7

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：

核心素养考查分析该题以企业产值的增长与亏损情况为背景命制，试题的阅读量也比较大，达到186字，第(1)问主要考查了频率的计算，第(2)问需要根据题目提供的数据和参考数据分析平均数与标准差：

此题在考查学生数学阅读能力的同时，重点考查了数据分析素养，同时对数学运算能力也有一定的要求.

在高中阶段，要引导学生意识到数据分析是研究自然现象的重要技术手段，是大数据时代的主要工具，数据分析已经渗透到科学、技术、工程和现代生活等各个方面，通过数据形成认识事物的辩证唯物主义观念.教学中，教师要善于通过问题情境引导学生亲身经历数据分析活动的全过程，充分发挥案例教学的作用，注重过程评价，关注学生在数据上的表现，培养学生数据分析素养.

上述通过典型高考试题重点分析每种数学核心素养的考查情况，众所周知，高考试题代表着国家选拔优秀人才的意志，六大数学核心素养之间即相对独立又联系紧密，有的试题在突出考查某一核心素养时，对其它数学核心素养也有所要求，所以为了更加详细的了解2019年全国卷II数学试题核心素养的考查情况，对46道文理科试题做了详细的分析，如下表2.

通过表2发现，2019年全国卷II文理科试题对六大数学核心素养都有所考查，并且在考查侧重方面的趋势基本相同，即考查数学运算和逻辑推理素养的试题明显多于考查数学抽象、数学建模、直观想象和数据分析素养的试题，由于逻辑推理是构建数学体系的工具，数学运算是解决数学问题的基本手段，都体现了高中数学的典型特征：严谨性.2019年全国卷II文理科试题单独只考查某一种核心素养的试题很少，综合考查多种核心素养的试题较多.

4 结论与建议

基于上述对2019年全国卷II文理科数学试题核心素养的考查研究，可以获得以下结论.

(1)继承创新，包容开放.创新与开放主要体现在两方面：(i)文理科试题顺序发生了很大变化，如：立体几大题处于解答题第一题位置，纵观近十年全国卷II今年是首次，立体几何是学生的难点，这让很多高三师生措手不及，所以2019年6月7号数学考试结束后，网上便大量涌现如下段子：呕心沥血讲了几个月的数学老师，到头来连个题号都没押对.(ii)2019年的文理科填空题命制了多填题，这也是近十年来全国数学试题首次如此命制，应证了教育部考试中心任子朝先生等在文[10]中的结论.

(2)文理科相同试题大幅度减少，文理科试题的难度差异变大.文理科相同试题由2018年的12道减少到2019年的7道，理科试题难度明显上升，与文科试题难度的差距进一步扩大，增加了区分度与选拔性，这为文理不分科之后，数学高考试题的命制是趋于相同还是分层考核做了很好的实践尝试[11].

(3)试题的阅读量变大.文理科试卷相对于2018年增加了1531字，其中理科增加836字，文科增加695字，试卷都由4页增加到5页，这种情况在近十年全国卷II中首次出现.

(4)试题的命制注重真实情景，试题背景丰富，在考查学生数学素养的同时，对学生德智体美劳“五育”都有所要求与熏陶.如：以中国伟大的航空成就和国人为之骄傲的高铁等为背景命题，激发了学生的民族自豪感与爱国情怀.以“国球”乒乓球比赛为背景命题，以提升学生的健康审美意识，宣扬劳动精神.并且教育部考试中心任子朝先生等在今年高考结束后在文[12]中再次强调高考数学要加强“五育”考查.

(5)试题的综合性进一步加强，单纯只考查某一数学核心素养的试题很少，大部分试题综合考查了多种核心素养，美中不足的是对数学运算素养的考核过于偏重，考查数据分析与数学建模素养的试题相对较少.

数学测评是数学教育的关键环节，是落实立德树人、培养学生德智体美劳的重要组成部分，担负着提高数学教育质量和选拔合格大学生的责任.高考是我国的基本教育制度，是目前相对公平的终结性测评方式，发挥着至关重要的作用.基于上述分析，并结合目前现状，提出以下建议.

(1)减少套路，回归教材，返璞归真，重视数学本质.首先，高考命题要减少套路，避免每年高考数学试卷都以相同的题型和模式命制；其次，教师高三复习备考教学要摒弃“考啥教啥”，过分押题的功利心理；最后，学生在解决数学问题时要多关注通性通法，减少“题海战术”，关注探究性问题，回归教材，返璞归真，重视数学问题的根源与本质.

(2)高考命题在渗透数学文化的同时，要善于创设真实情境，焦距素养，体现数学学科特点，“五育”并举，陶冶学生情操，关注真善美，促进学生全面发展.教师在高三复习备考中要关注学生的数学阅读能力，引导学生会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.

(3)在落实“四基”的同时，促进创新型人才的培养与选拔.这就需要命制一些创新性试题，创新性高考数学试题主要包括：多选题、多填题、举例题与开放性试题等，教师在日常教学过程中要关注数学创新题，在继承中国传统数学教育的优点时，要有开拓创新的觉悟.

(4)建议数学高考命题适当减少数学运算，增强数学试题的思维含量，适当延长高考数学时间，加大数据分析与数学建模的考查力度，因为随着信息技术与人工智能的高速发展和数据时代的到来，数据分析与决策是学生适应未来的必备技能，复杂的数学运算建议理解运算原理、方向与程序即可，不必在高考短时间内大量考查，而淹没数学火热的思考.

(5)文理科相同试题减少，难度差别变大，为文理不分科后分层命题与考核提供了参考，丰富了学生的选择性，提高了高考的选拔性.对于教师来说，需要根据这种导向，注重分层教学，因材施教，从而避免“优等生吃不饱，学困生消化不了”现象，最大效率的让每位学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.