课程标准视域下的高中数学新旧教材比较分析*——以“三角函数”章节为例

广西南宁市第二中学 (530000) 刘存华 岑盛锋

广西师范大学数学与统计学院 (541004) 周 莹

党的十九大明确提出“立德树人”的目标，基础教育课程在其中发挥了至关重要的作用.2003年教育部发布《普通高中数学课程标准(实验版)》(以下简称为旧课标)，并据此编写了2007版普通高中课程标准实验教科书，但是随着时代和社会的发展，旧课标和教材显现出不足之处.因此，2013年教育部开启了普通高中课程修订工作，2018年发布《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称为新课标)并编写出版了2019年版普通高中数学教科书.十余年来，一线教育工作者已经习惯了旧教材的旧教材的内容和教学模式，新教材的发布与实施会产生一定的不适应性.只有认识新旧教材的共性与差异，才能掌握新教材、用好新教材，为落实“立德树人”目标助力.那么，新旧教材有何区别？新教材有何改进与特色？改进有何依据？

为探讨以上问题，本文以2007版普通高中课程标准实验数学教科书(以下简称为旧教材)[1]和2019年版普通高中数学教科书(以下简称为新教材)为研究对象，从开章引言、正文内容、例习题、章末小结五个方面对“三角函数”内容进行比较分析，为教师理解教材和实施教学提供些许参考.

一、结构编排比较

表1 结构编排比较

变化一:将旧教材1.5节中的振幅、周期、频率以及相位等改编至三角函数的应用中，借助与物理学中的“简谐运动”结合引出，有助于学生体会利用三角函数构造刻画周期变化的数学模型[3].

变化二:旧教材在旧课标的指导下——用向量的数量积推导两角差余弦公式，因此在“三角函数”和“三角恒等变换”中间穿插了“平面向量”，此做法割裂了“三角函数”与“三角恒等变换”的联系.新教材将“三角恒等变换”合并至“三角函数”中，考虑因素有二：其一，沿用单位圆性质推导两角差余弦公式，体现研究方法的连续性，达到“减负”效果；其二，注意“函数”主线内容的逻辑关系，体现同一主线内容之间的有机衔接.建议在必修第二册的向量学习中增加“向量积推导两角差余弦公式”的教学，拓展向量应用的同时复习旧知，将不同主线内容联系起来构建知识体系.

二、开章引入比较

人教版数学教材的每一章开头都会有章导言和一幅与文章内容相关的章头图等素材，由此来进行开篇引入学习.开章引入在课堂导入、内容教学、联系巩固等多方面有着广泛的应用.因此，有必要对开章引言进行比较研究.

旧教材的开章引入占用2页篇幅，内容包括：章标题、目录、大小章头图、引言四部分.章头图以宇宙天体的运行为大背景，辅以质点运动小图，进行说明周期性现象无处不在.章引言中第一段举例叙述了周期性现象，第二段由函数是一种模型指出本章要学习的另一种函数模型，第三段呈现问题串引入本章学习.

新教材的开章引入仅用了1页篇幅，内容包括章标题、章头图以及章引言.章头大图不变，删减了小图举例.章前言第一段和第三段相较旧版而言内容并无太多变化，第二段引导学生类比指数函数的研究过程和方法来学习三角函数.

表2 新旧教材引言对比

从上面的对比我们可以看出，新教材删减了“目录”，因为主要内容已经在书本目录中已经有所体现，就不用再次赘述.“章小图”的作用是为了表达“周期性无处不在”，但是引言第一段的若干例子已经达成了这个目的，因此将其改编至第244页的习题不失为一个好办法.删除“目录”、调整“章小图”、精炼引言的词句表达，体现数学简洁美的同时降低学生的阅读负荷量.另一个变化在于引言第二段，既继承了旧教材的“由旧知导新知”，还引导学生用已有的知识经验、研究方法去学习新知，增强教材可读性和指导性.

三、正文内容比较

(一)主体内容比较

概念深化的不同.同样以“诱导公式”一节为例，旧教材在讲解公式二的推导过程中，对于公式三、四等都是在“同理，我们有”之后直接给出结论.这种“重结果轻过程”式地直接给出结论，十分不利于学生学习知识和理解结论.新教材在展现每一个结论之前，都会给出一定的提示语来帮助学生自证结论，如“如图，作P1关于x轴的对称点P1，则以OP3为终边的角为-α......”，抑或是以设置探究问题和旁白的形式引导学生.这种通过问题解决的方式驱动学生去学习，学生可以在这样的过程中主动探究，从而获得知识，发展能力.

细节处理的不同.新教材较旧教材更加严谨细致，譬如在“诱导公式”一节中，旧教材的多个图形均用“P1、P2”标示不同的点.但是新教材在此节中不同的图和不同的点依次以“P1、P2、P3、P4、P5”来标示，这不仅是体现了教材的科学性，更是给学生展示数学的严谨性.又如第178页中，给三角函数下定义时将教材中“正弦、余弦”更改为“正弦函数、余弦函数”，新教材在概念、符号等方面都更注重规范性[5].

(二)信息技术整合比较

“互联网+”时代，数学教育也需响应时代要求，利用信息技术来促进自身发展.在旧课标已经明确提议将信息技术与课程进行整合，新课标教材编写建议也指出可通过信息技术融入课程实现教材内容呈现方式多样化，那么新教材在信息技术融入方面有何突破？主要体现在以下情形：

与正文内容整合，第197页利用信息技术描绘足够多的点，从而连成精确正弦函数图象，克服常态教学的不足；与例题整合，第173页的例4和例5中演示了如何利用计算器进行角度制与弧度制的互化；与练习题整合，第203页随堂练习中指出可借助技术画出函数图象检验题目所求函数的周期，提升学生的实操能力；值得注意的是，新教材将旧教材中“利用正切线画正切函数图象”的信息技术应用一栏删去，这是因为在课堂教学已经讲解了正切函数图象的画法，此处有“多此一举”之嫌.新教材的处理方法，是将其改编为第214页的一道复习题，真正实现“用”信息技术，而不是“看”信息技术.

(三)数学文化融入比较

新课标指出教材应当把数学文化融入到学习内容中，新教材在这方面表现在：第一，利用数学文化进行导入.譬如，通过探究“筒车”的盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系，从而得出三角函数模型.利用中国传统文化中的数学元素进行导入，一来可以增强学生的文化自信，二来可以使得引入自然不强硬.第二，与例题进行结合.在第238页的例题2中，以学生熟悉感兴趣的“摩天轮”进行设题，提升学生的学习兴趣，也能让学生体会数学与人类生活的密切关系.从新课标可知，将数学文化融入教材已经形成意识，但是融入方式、融入程度还有待加强.

因此建议参考湘教版、北师版教材，在三角函数一章设置“阅读材料”栏目来展现数学文化材料，比如“数学与音乐”、“数学家傅里叶”.抑或是与习题结合设题，这样可以改善练习题“无背景”占比过高的现状[6]，在学生做题时无形的渗入数学文化.

(四)例习题比较分析

1.例习题数量比较

表3 新旧教材例习题数量对比

由表3可得知，总体数量上新旧教材的习题相差20道题，例题相差无几.这是由于旧教材中将“三角恒等变换”独立作为一章，因此在习题的数量上比新教材更多一些.认真研究各小节的习题对比，新教材将其合并到“三角函数”当中，是因为考虑到同一主线内不同知识点之间的逻辑关系，习题虽然相对减少，但是足以达到训练和评价效果.另外，可以看出在“诱导公式”和“三角函数的图像与性质”两个部分，新教材的例题、习题占比均高于旧教材.因此较之以前，教师在“诱导公式”、“三角函数的图像与性质”应该着重教学与训练.

2.习题调整变化

在例题上有两处改变：其一，在例题更具示范性.例如“三角函数的概念”的例2，旧教材给出了角α终边上固定一点P(-3,-4)，求角的三角函数值，基本达到巩固知识的效果.新教材将终边上的点一般化为P(x,y)，求证三角函数.一般化的例题更具备上更注重内在思维的训练，做到每一道例题都更具典型性与示范性.其二，例题更注重引导性.新教材在某些较为复杂的例题比旧教材多了一个环节——“分析”，分析主要是给予思路和方法上的提示，这有利于学生自主学习，降低例题难度.

在习题上有三处变化：第一，随堂练习更具有针对性.新教材通过衡量知识点容量和难度设置随堂“练习”，其做法是将旧教材中的习题拆解成为多处训练，“一讲一练”式的设计有利于学生及时巩固知识点，亦有利于教师的教学设计.第二，小节习题更具层次性.新教材改变了旧教材中“A组”、“B组”混乱设置，将习题重新按照难度分类为“复习巩固”、“综合运用”、“拓广探索”.不同层次的习题可供不同水平的学生选用，由浅入深，帮助学生巩固知识、理解应用、培养创新能力.第三，复习题更具有效性.新教材的复习题全盘考虑整章内容，通过“筛选”、“删减”、“合并”、“增加”，最后形成的题目既能保证全面评价有效性，又能避免题海战术，从而提高复习有效性.

五、小结比较分析

新旧教材的小结均包括“本章知识结构”和“回顾与反思”，新教材在这两部分均有所改进：

(一)本章知识结构比较

知识结构框图主要是根据知识的发展和研究路径，用流程图(或结构图)的形式串联主要知识点，从而形成的思维导图.新教材的知识结构框图有机的整合了旧教材中的“三角函数”与“简单的三角恒等变换”两章的主要内容，并且在“三角函数的图像和性质”进行了扩展.总体而言，新教材的思维导图更加完整.建议在以知识为主的思维导图的基础上，适当补充所学到的数学思想和方法，培养学生的“四基”.在实际教学当中，教师可以结合教材知识结构框图，运用思维导图软件带领学生进行章末复习，或可达到事半功倍之效.

(二)回顾与反思比较

“回顾”是以“先”、“然后”、“接着”等关联词串讲了本章的主要内容，然后分知识块进行详细的阐述.在阐述的过程中阐述了本章内容与其他内容之间、本章内容内部之间的关系，揭示了数学思想和研究方法，从而发展学生的数学学科核心素养.

“反思”给出若干个问题，以问题驱动学生回忆和复习全章核心知识.问题涉及的内容十分广泛，例如：“概括引入弧度制的必要性”、“归纳一下研究三角函数的图像与性质的过程与方法”、“画一张公式逻辑图，并指出数学思想方法”、“搜集数据并建立函数模型”.这种“问题引领”的反思形式极大程度上调动学生学习数学的积极性，发展学生自主学习和归纳的能力.相对旧教材零散的“回顾与反思”，新教材更加系统和全面，所提出的问题更具有引导性，给学生“鱼”的同时授之以“渔”，更进一步提升其“欲”.

总之，新教材充分地体现了新课标中的基本理念和目标要求，依据教材编写建议，将“立德树人”理念渗入教材.较之旧教材，在结构、内容、例习题、小结等方面均有较大的改进.希望教育工作者关注变化，在继承旧教材的基础上把握好新教材，顺利进行新旧教材的过渡，落实“立德树人”目标.[6]