一道高三联考试题的推广

湖南省桃江县第一中学 (413400) 胡芳举 徐令芝

2020届高三全国第一次大联评数学试卷(理)第19题为:

图1

已知抛物线y2=2x，过点P(1,1)分别作斜率为k1，k2的抛物线的动弦AB、CD，如图1,设M、N为线段AB、CD的中点．

(Ⅰ)若P为线段AB的中点，求直线AB的方程；

(Ⅱ)若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

本文将给出该题的一个推广,下面以椭圆为例来说明.

先给出一个引理:

下面给出推广的两个巧妙证明.

证法一:设点M(x1,y1),N(x2,y2),则直线MN的方程为(y1-y2)x-(x1-x2)y=y1x2-y2x1①.

证法二:以点P为坐标原点建系,则曲线E的方程为a(x+m)2+b(y+n)2=1.由引理及平移法则知,点M,N的轨迹方程为ax2+by2+amx+bny=0.