直观想象素养下一道高中数学联赛试题的再探究

湖南师范大学数学与统计学院 (410081) 祁盛苗 谢圣英

直观想象是六大核心素养之一，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要表现为：建立形与数的关系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物[1].

文[2]中，江智如基于直观想象素养，对2019年全国高中数学联赛(A卷)一试第10题进行了解法探究，提供了三种解题方法：几何法、导数法和AM-GM不等式法.其中，几何法利用抛物线的光学性质进行求解，导数法和AG-GM不等式法都把原问题转化为函数的零点问题.考察了考生数形结合思想、直观想象能力、化归与转化思想和运算求解能力[2].本文在此基础上，对该题解法进行再探究.

1.试题重现

在平面直角坐标系xOy中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x恰有一个公共点，且圆Ω与x轴相切于Γ的焦点F.求圆Ω的半径.

2.解法再探究

2.1 相同切线法

思路分析：由条件“圆与抛物线恰有一个公共点”知，它们在该点有相同的切线，因此可考虑利用二者在公共点处的切线重合进行求解.

图1

解法1:如图1所示，易知抛物线Γ的焦点F的坐标为(1,0).设圆Ω的半径为r(r>0).

由对称性，不妨设圆Ω在x轴上方与x轴相切于Γ的焦点F，故圆Ω的方程为(x-1)2+(y-r)2=r2.设圆Ω与抛物线Γ相切于点T(x0,y0)，则在点T处，圆Ω与抛物线Γ的切线方程分别为

(x0-1)(x-1)+(y0-r)(y-r)=r2①.

评注：解法1由条件“圆Ω与抛物线Γ恰有一个公共点”得到它们在该点处相切，即有相同的切线，因此分别写出二者在该公共点处的切线方程，利用它们表示同一条直线得到半径r关于切点坐标(x0,y0)的表达式，再由切点满足抛物线Γ的方程，求得半径.相比于利用抛物线的光学性质，要求考生具有扎实的几何功底[2]的几何法，此解法巧用考生在初高中都学过的切线，更符合考生的思维习惯，考生更容易从头脑中的图示和产生式中提取熟悉的知识，高效解题.该解法数形结合，考察了考生直观想象能力，具体表现为借助几何直观理解问题，并建立形与数的关系从而解决问题.

2.2切线长相等法

思路分析：同样从“相同切线”入手.考虑到圆Ω与抛物线Γ有公切线，又考虑到圆Ω与x轴相切，这两条切线必然相交于圆外一点，因此可用切线长定理求解.

图2

解法2：如图2所示，点F为抛物线Γ的焦点，点T为圆Ω与抛物线Γ的唯一公共点.过点T作二者的公切线TB交x轴于点B.

评注：同是利用切线解题，与解法1考虑两圆锥曲线的公切线不同，解法2从一条圆锥曲线的两条切线入手，利用过圆外一点的该圆的两条切线长相等求解.因巧设切点T的坐标，减少了未知量的个数，从而可减少计算量.此解法同样数形结合，考察了考生直观想象能力.此外，受解法2启示，在解法1中，也可设切点T的坐标为(t2,2t)，再求解.

3.总结与启示

直线和圆锥曲线的关系问题是高中几何中一类常见的问题，这道全国高中数学联赛试题将直线换成了二次曲线，考虑两条圆锥曲线的关系，因此可如同解决直线与圆锥曲线的关系问题一样，将二者的方程联立.但由于直线换成了二次曲线，所以需要突破利用根与系数的关系这种常用解法，另寻其他方法求解.又因二者只有一个公共点，想到它们在该点相切，以此为突破口，最终得到文中的两种方法，解题思路充分体现了直观想象素养中几何直观和数形结合思想的运用.

史宁中教授认为，在大多数情况下,数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的.“看”是一种建立在长期的有效能的观察和思考的基础上的直觉判断.人能够获取知识是因为具有一种先天的“直观能力”，但一个好的直观能力的养成却是依赖于经验的[3].且已有研究表明[4]，近些年来高考数学试题中部分问题出现了“竞赛化”的趋势，或以数学竞赛相关定理为背景，或以数学竞赛解题技巧为背景等等，以考察学生的思维能力和数学素养.这启示教师在发展学生的直观想象素养的日常教学中，不仅要挑选有利于培养直观想象素养的经典例题，精心设计问题情境，引导学生仔细观察，凭借几何直观进行思考，还可以挑选、设计或改编一些与高中教材和考试大纲密切相关的、难度适当的数学竞赛几何题，鼓励学生自主寻找多种解法并反思总结，使学生不断积累直观想象经验，形成对几何图形敏锐的洞察力和良好的直观想象素养，从而提升数学问题解决的能力.