活用解析法处理解三角形问题

浙江省杭州学军中学 (310000) 王加义

众所周知，解三角形问题的常规思路就是结合题意灵活运用正、余弦定理及面积公式加以求解.但有些解三角形问题如此分析，往往过程较繁很难顺利求解，这时我们不妨灵活运用解析法去探求解题思路，优化思维，简化过程.

类型一、借助两点间距离公式，巧求线段长度的取值范围

图1

例1 如图1，在等腰三角形ABC中，底边BC=1，底角B的平分线BD交AC于D，求BD的取值范围.

图2

评注：上述求解的关键在于准确分析BD2的函数表达式，转化为求函数的值域问题.

类型二、借助阿波罗尼斯圆，巧求三角形面积的最大值

图3

例2 (广东省七校联合体2019届高三第二次联考理数第16题)在ΔABC中，AB=AC，D为AC边上的点，且AC=4CD,BD=2，则ΔABC面积的最大值为．

此外，根据本题还可以获得如下推广性结论：

类型三、借助三角形中的引高技巧，巧求三角形内角的正切值

图4

评注：该解法的关键是建系、设元、构建关于x,y的方程组(即获得由①②两式构成的方程组)，以便利用方程思想轻松获解.

图5

评注：该解法与方法二的切入点相同，均是建系、设元，且最终均是通过解方程获解，区别在于两点：一是具体建系的方式不同；二是后续过程不同，其中方法一侧重利用了三角恒等变形，而方法二侧重借助消元以及除法运算实施适当变形.

类型四、借助二次方程有实数根，巧求边长的最小值

图6

综上，活用“解析法”可迅速求解一些看似较难的解三角形问题，其解题关键在于——灵活建系，利用相关解析几何知识分析、解决问题.