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一类无穷区间上分数阶微分方程的三点边值问题解的存在性

2020-06-18张瑞鑫王文霞

关键词:边值问题不动点算子

张瑞鑫,王文霞

(太原师范学院数学系,山西 晋中 030619)

近年来,由于分数阶微分方程在物理、生物、化学等很多领域有着重要的应用,分数阶微积分理论的研究得到了极大的关注.有限区间上的分数阶微分方程的研究已取得很多优秀成果[1-3],但无穷区间上的分数阶微分方程的研究成果相对较少[4-9].

冯子鑫、周宗福和许文序[4]运用压缩映像原理及单调迭代法研究了如下的边值问题:

受上述文献的启发,本文研究如下无穷区间上的三点边值问题:

(1)

1 预备知识及引理

定义1[2]连续函数f:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义为

对任意的α>0,右端在R+上逐点可积.

定义2[2]函数f:(0,+∞)→R的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义为

其中,n是大于等于α的最小正整数,等式的右端在(0,+∞)有定义.

其中ci∈R(i=1,2,…,n)为任意常数,n为大于等于α的最小正整数.

引理2假设(H0)成立,h(t)∈C[0,+∞)∩L[0,+∞),那么边值问题

(2)

再由

及(2)的边界条件得

其中λ(0)>Γ(α),因此

证毕.

引理3函数G(t,s)满足以下性质:

证明由G(t,s)的表达式可知结论1)成立.以下证明结论2).

证毕.

其中,

G1(t,s)=

定义空间

其范数分别定义为:

定义算子T如下:

则T:Y→Y,且

引理5[9]设Z⊆Y是一个有界集,若

2)任意给定ε>0,存在常数T=T(ε)>0,使得对任意的t1,t2≥T及u(t)∈Z有

均成立,则Z是一个相对紧集.

引理6[10](Schauder不动点定理)设D是E中有界凸闭集(D不一定有内点),A∶D→D全连续,则A在D中必具有不动点.

2 主要结果

本文将用到如下假设:

(H1)f∈C(R+×R×R,R),且存在非负函数p,q,r∈L1(R+),tα-1p∈L1(R+),使得

f(t,u,v)|

(H2)a∈C(R+,R+),(0

(H3)f∈C(R+×R×R,R),存在w∈C(R+×R+)非减及Φ∈L1[0,+∞)使得

a(t)f(t,(1+tα-1)u,v)|<

Φ(t)(w(u|)+w(v|))+

定理1假设(H0),(H1),(H2)成立,若

λ(0)-Γ(α)≥

则边值问题(1)至少有一个解.

第一步 证明T:U→U.选取

所以T:U→U.

第二步 证明T:U→U是连续的.设un∈U,n=1,2,3,…,un→u∈U(n→+∞),于是

q(s)]+a(s)r(s)}ds<+∞,

a(s)r(s)}ds<+∞.

这就证明了TΩ在[0,+∞)上任意有限子空间上是等度连续.

又因

所以对任意的u∈Ω有

因此,T(Ω)在无穷点收敛.由引理5知T(Ω)为U中的列紧集,故T为紧算子.

综上所述,T:U→U是全连续算子.故由引理6可知边值问题(1)在U中至少有一个解.证毕.

定理2假设(H0),(H2),(H3)成立.若(H3)中的函数Φ,w满足∃ρ>0使得

(3)

证明首先证明T是解Y→Y连续的.设un(n=1,2,3,…)是Y中任一序列,并且un→u(n→+∞),于是

即T(I)一致有界.又对∀t1,t2∈R+,不妨设t1>t2,以及任意的u∈I有

由此可知TΩ在[0,+∞)上任意有限子空间上等度连续.

此外又因

所以对任意的u∈I有

因此,T(I)在无穷点收敛.由引理5知T(I)为Y中的列紧集,故T为紧算子,又由T的连续性可知T:Y→Y全连续.

进而有

3 例子

例1考虑下面边值问题

显然,

经计算可知

因定理1的条件皆满足,所以边值问题至少存在一个解.

例2考虑下面边值问题

a(t)f(t,u,v)=

|a(t)f(t,(1+tα-1)u,v)|≤

令ρ=5,有

因定理2的条件皆满足,所以该边值问题至少存在一个解.

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