一类三阶积分边值问题的正解

张广新, 杨赟瑞 , 刘凯凯

(兰州交通大学 数理学院, 甘肃 兰州 730070)

0 引言

基于常微分积分边值问题在地下水流、等离子物理等领域的广泛应用,越来越多学者致力于此类问题正解的研究[1-4],并借助不动点定理、上下解方法结合极值原理、Leray-Schauder度理论等建立了一些有意义的研究成果,特别是偶数阶积分边值问题.

2011年,Ma[1]利用全局分歧方法结合Krein-Rutman定理研究了四阶积分边值问题

(1)

正解的存在性.

2020年,杨璐[2]基于Leggett-Williams不动点定理,研究了一类含双参数的四阶积分边值问题

(2)

三个正解的存在性.但是,对奇数阶三阶积分边值问题正解的研究尚不多见[5-7].

2013年,杨佳[6]借助Guo-Krasnoselskill不动点定理研究了带积分边界条件的三阶边值问题

(3)

单调正解的存在性.

近来,何燕琴等人[7]利用混合单调算子方法建立了三阶积分边值问题

(4)

单调正解的存在性.

基于上述工作,本文利用Guo-Krasnoselskill不动点定理研究一类三阶积分边值问题

(5)

正解及两个正解的存在性.注意到,积分边值条件包含两点边值条件以及非局部条件.因此,本文完善并推广了一些三阶边值问题正解的研究结果[6,8].

1 预备知识

首先,给出本文需要的假设条件、相关定义和主要工具:

(A1)f∈C([0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞));

1)‖Tu‖≤‖u‖,u∈P∩∂Ω1,且‖Tu‖≥‖u‖,u∈P∩∂Ω2；

2)‖Tu‖≥‖u‖,u∈P∩∂Ω1,且‖Tu‖≤‖u‖,u∈P∩∂Ω2,

引理1 边值问题(5)有唯一解

(6)

其中

证明过程类似于文[6],故此省略.

引理2Gi(t,s)(i=1,2)有以下性质:

(7)

(ii) 对∀t,s∈[0,1],有(1-t)(1-s)≤G2(t,s)≤1-s

(8)

(9)

证明(i) 当0≤s≤t≤1时,

(ii) 不难验证,对任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有(1-t)(1-s)≤G2(t,s)≤1-s成立.

记E=C1[0,1],对任意的u∈E,定义

引理3 若(A1)～(A3)成立,则边值问题(5)的唯一解u满足u(t)≥0,u′(t)≥0,且

(10)

所以u′(t)≥0.由引理2可知,对任意的t∈[0,1],有

证毕.

(11)

在K上定义算子T为

(12)

则边值问题(5)有解等价于算子T存在不动点.

引理4 若(A1)～(A3)成立,则T:K→K是全连续算子.

证明对任意的u∈K,有

(13)

因此(Tu)≥0,(Tu)′≥0.由式(12)、式(13)以及引理2知

和

所以

(14)

(15)

因此,结合式(12)～(15)及引理2,可得

所以Tu∈K.

假设um,u∈k且‖um-u‖1→0(m→∞),则存在M1>0,使得对任意的自然数m,有‖um‖1≤M1.令

M2=sup{f(t,u,u′):(t,u,u′)∈[0,1]×[0,M1]×[0,M1]},

则对任意的t∈[0,1],由引理2可知,

由勒贝格控制收敛定理可知,当t∈[0,1]时,有

和

从而

‖(Tum)-(Tu)‖1=‖(Tum)-(Tu)‖+‖(Tum)′-(Tu)′‖→0, (m→∞),

即T是连续算子.再利用Arzela-Ascoli定理不难证明T:K→K是全连续的.证毕.

2 主要结论

定义

定理2 若(A1)～(A3)成立,则边值问题(5)至少存在一个正解,当且仅当下列条件之一成立:

(16)

(17)

令Ω1={u∈E:‖u‖1<ρ1},则由式(17)可知,对任意u∈K∩∂Ω1,有

于是

同理可得

‖Tu‖1≤‖u‖1,u∈K∩∂Ω1

(18)

(19)

(20)

令ρ2≫ρ1,Ω2={u∈E:‖u‖1<ρ2},则由式(11)和式(20)可知,对于任意的u∈K∩∂Ω2,有

于是

同理可得

从而,由式(19)可知

即

‖Tu‖1≥‖u‖1,u∈K∩∂Ω2

(21)

(ii)的证明与(i)相似,故此省略.证毕.

定理3 若(A1)～(A3)和下述条件成立:

则边值问题(5)至少存在两个正解u1,u2,且满足0<‖u1‖1<γ<‖u2‖1.

‖Tu‖1≥‖u‖1,u∈K∩∂Ωz

(22)

其中Ωz={u∈E:‖u‖1

‖Tu‖1≥‖u‖1,u∈K∩∂Ωδ

(23)

其中Ωδ={u∈E:‖u‖1<δ}.

记Ωγ={u∈E:‖u‖1<γ},则由条件(ii)可知,对任意的u∈K∩∂Ωγ,有

‖Tu‖1=‖Tu‖+‖(Tu)′‖<γ=‖u‖1.

即

‖Tu‖1<‖u‖1,u∈K∩∂Ωγ

(24)

因此,由式(22)和式(24)及定理1可知,边值问题(5)存在正解u1,且z≤‖u1‖1<γ;同时,由式(23)和式(24)及定理1可知,边值问题(5)存在正解u2,且γ<‖u2‖1≤δ,故边值问题(5)至少存在两个正解u1,u2,且满足0<‖u1‖1<γ<‖u2‖1.证毕.

3 应用举例

例1 考虑三阶积分边值问题

(25)

例2 考虑三阶积分边值问题

(26)